黃俊歆 ，郭小先，王李管，譚正華，畢林，李德，陳建宏

(1.中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長沙，410083；2.湖南工學(xué)院 安全與環(huán)境工程系，湖南 衡陽，421001；3.西部礦業(yè)股份有限公司，青海 西寧，810001；4.玉溪礦業(yè)有限公司，云南 玉溪，653100)

編制露天礦采掘進(jìn)度計劃的總目標(biāo)是確定一個技術(shù)上可行且能夠使總體經(jīng)濟(jì)效益最大化的礦巖采剝順序。礦床開采的總體經(jīng)濟(jì)效益最大是指從動態(tài)經(jīng)濟(jì)觀點(diǎn)出發(fā)，使礦床開采中實(shí)現(xiàn)的總凈現(xiàn)值最大；技術(shù)上可行是指采掘進(jìn)度計劃必須滿足一系列技術(shù)上的約束條件，主要包括：(1)在每一個計劃期內(nèi)為選廠提供較為穩(wěn)定的礦石量和入選品位；(2)每一計劃期的礦巖開采量應(yīng)與可利用的采剝設(shè)備的生產(chǎn)能力相適應(yīng)；(3)各臺階水平的推進(jìn)必須滿足正常生產(chǎn)要求的時空發(fā)展關(guān)系，即最小工作平盤寬度、安全平臺寬度、工作臺階的超前關(guān)系、采場延深與臺階水平推進(jìn)的速度關(guān)系等[1]。目前，國內(nèi)編制露天礦采掘進(jìn)度計劃普遍采用手工方法，即使借助計算機(jī)，現(xiàn)在已有的輔助設(shè)計軟件都只是提供模擬手工操作的方法，無法準(zhǔn)確考慮上述技術(shù)約束條件，導(dǎo)致編制出來的露天礦采掘計劃難以指導(dǎo)生產(chǎn)。國外發(fā)達(dá)國家通常利用計算機(jī)來解決露天礦生產(chǎn)計劃編制問題(Open-pit mine production scheduling problems, OMPSP)。最初有研究者提出利用LG圖論法[2]或浮錐法[3]通過調(diào)整價值模型分別進(jìn)行計算，得出一系列嵌套分期境界作為各計劃期的期末圖，但這種方法無法滿足采掘進(jìn)度計劃的技術(shù)約束條件，而且試算法調(diào)整價值模型的工作量非常大。隨后又相繼產(chǎn)生 heuristics算法[4]、Korobov算法[5]、參數(shù)化算法[6]、動態(tài)規(guī)劃法[7]、混合整數(shù)規(guī)劃法[8]，等等。其中：混合整數(shù)規(guī)劃法能夠充分考慮露天礦生產(chǎn)計劃編制問題的一系列技術(shù)約束條件，該算法的時間復(fù)雜度為指數(shù)階[9]，因計算量太大，該方法僅在理論上可行，無法解決實(shí)際的大規(guī)模 OMPSP。Natashia等[10]針對OMPSP從優(yōu)化線性規(guī)劃問題求解算法的角度進(jìn)行研究，有效地降低了其時間復(fù)雜度，但該方法實(shí)現(xiàn)難度非常大。在此，本文作者提出一種基于成本流的開采錐模型(CFCM)。采用圖論的方法將正價值塊與其開采錐內(nèi)相關(guān)負(fù)價值塊聚合，減少了混合整數(shù)規(guī)劃模型中的變量個數(shù)，降低了計算復(fù)雜度，從而使解決實(shí)際的大規(guī)模OMPSP變成可能。此外，通過工程實(shí)例驗(yàn)證了該模型的有效性及可行性。

1 露天礦生產(chǎn)計劃編制流程

將礦床劃分為有限個尺寸相等的長方體(包括開采的礦石和剝離的廢石)，每個塊體形成的離散模型稱為礦床塊段模型。采用礦體解譯、地質(zhì)資料分析等方法，通過估值使塊段模型中每一塊的凈價值變?yōu)橐阎乐岛蟮膲K段模型稱為價值塊段模型。露天礦境界優(yōu)化流程圖見圖1。

圖1 露天生產(chǎn)計劃編制流程圖Fig.1 Flow chart of open-pit mine production scheduling

塊段凈價值是根據(jù)塊中所含可利用礦物的品位、經(jīng)營成本及產(chǎn)品價格計算的。由于礦床所含礦物的多樣性及礦山企業(yè)經(jīng)營體制和成本管理制度的差異，計算凈價值時用到的參數(shù)并不固定。其凈價值計算方法見圖2。其中：每個塊體的值表示開采該塊體的凈利潤，剝離的廢石為負(fù)值，Vore=Vo?Com?Cot?Cor?Cp?Cs；Vwaste=?Cwm?Cwt?Cwr。

2 CFCM模型的構(gòu)建

實(shí)際的露天礦礦床塊段模型的塊數(shù)通常在 106數(shù)量級以上。構(gòu)建混合整數(shù)規(guī)劃計算模型時，為了充分考慮露天礦生產(chǎn)計劃約束條件，必須為每一個塊建立一個整數(shù)變量(0表示不開采，1表示開采)。這樣一個大型的混合整數(shù)規(guī)劃問題，對現(xiàn)有的計算機(jī)軟、硬件技術(shù)來說是無法實(shí)現(xiàn)的。

2.1 基本原理

為便于敘述CFCM模型的基本原理，采用圖3所示的簡單二維塊段模型進(jìn)行闡述，以塊段的中心點(diǎn)表示該塊段(以下稱節(jié)點(diǎn))。

在滿足工作幫坡角幾何約束條件的前提下，只考慮開采礦床塊段模型中某一正價值節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)記為Ni，其凈價值記為Vi，其上方所有必須先開采的負(fù)價值節(jié)點(diǎn)的凈價值代數(shù)和即為開采正價值節(jié)點(diǎn)Ni所須承擔(dān)的成本。節(jié)點(diǎn)Ni與其上方所有必須先開采的節(jié)點(diǎn)形成1個倒圓錐，稱為正價值節(jié)點(diǎn)Ni的開采錐，記為Ci；開采錐Ci的頂點(diǎn)為Ni，正價值節(jié)點(diǎn)Ni與其開采錐內(nèi)某負(fù)價值節(jié)點(diǎn)Nj之間以有向邊相連，該有向邊表示節(jié)點(diǎn)Ni與節(jié)點(diǎn)Nj之間的成本流，記為fij；該開采錐頂點(diǎn)Ni與錐內(nèi)所有負(fù)價值節(jié)點(diǎn)的價值代數(shù)和稱為開采錐的錐價值，記為Vci。礦床塊段模型中的所有正價值節(jié)點(diǎn)都與其開采錐內(nèi)的負(fù)價值節(jié)點(diǎn)以有向邊相連，在其底部加一源節(jié)點(diǎn)，記為S；在其頂部加一匯點(diǎn)，記為T。形成的有向圖稱為初始CFCM，如圖3所示。

這樣，礦床塊段模型中每一正價值節(jié)點(diǎn)都與其上所有可能對其構(gòu)成成本負(fù)擔(dān)的負(fù)價值塊以成本流連接，但節(jié)點(diǎn)作為模型中的最小單元，每一個負(fù)價值節(jié)點(diǎn)只可能對1個正價值節(jié)點(diǎn)構(gòu)成成本負(fù)擔(dān)。以此作為理論基礎(chǔ)，采用線性規(guī)劃方法對初始CFCM進(jìn)行成本最優(yōu)分配。構(gòu)建混合整數(shù)規(guī)劃計算模型時，其整數(shù)變量個數(shù)也從原來的礦床塊段模型節(jié)點(diǎn)總數(shù)減少為其正價值節(jié)點(diǎn)數(shù)，極大地減少了整數(shù)變量個數(shù)，降低了計算復(fù)雜度。

2.1.1 構(gòu)建線性規(guī)劃模型目標(biāo)函數(shù)

對于一個給定的礦床塊段模型，在其最終開采境界內(nèi)的所有負(fù)價值節(jié)點(diǎn)的價值代數(shù)總和為定值，即總開采成本為定值，則其成本流之和也為一定值，即∑fij為定值。

為力求早投產(chǎn)、快達(dá)產(chǎn)、縮短基建期、減少基建投資，應(yīng)從最先能開采到正價值塊處開始開采，從而達(dá)到盡快回收成本的目的。這樣，就應(yīng)該使成本流盡量地流向價值更大的開采錐。依據(jù)該原則構(gòu)建如圖3所示的線性規(guī)劃模型。

圖3 二維塊段模型及初始CFCM模型Fig.3 2D block model and initial CFCM model

圖3所示為簡單二維塊段模型的CFCM模型初始圖，為便于闡述，令工作幫坡角為 45°。構(gòu)建模型的具體步驟如下。

(2)為每個正價值節(jié)點(diǎn)按其CV分配 1個權(quán)值系數(shù)，記為Ce。將所有節(jié)點(diǎn)按其在塊段模型中的層號從大到小排序(坐標(biāo)系統(tǒng)如圖4所示)，層號相同的按其CV從大到小排序，權(quán)值系數(shù)Ce則按排好序的節(jié)點(diǎn)。其Ce則按該順序從小到大分配，下一層的各正價值塊的Ce則從上一層最大Ce開始分配。

(3)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。該線性規(guī)劃模型的目標(biāo)是使成本流盡量地流向價值更大的開采錐，因此，取上述分配了權(quán)值系數(shù)的表達(dá)式的最小值作為線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)，即

注：fN(r1,c5)N(r2,c5)表示節(jié)點(diǎn)N(r1,c5)流向節(jié)點(diǎn)N(r2,c5)的成本流，其他項(xiàng)類同。

2.1.2 構(gòu)建線性規(guī)劃模型約束條件

由于成本流是從源點(diǎn)流出，流向匯點(diǎn)，根據(jù)圖的性質(zhì)，有：

(1)中間任意節(jié)點(diǎn)流入的與流出的成本流代數(shù)和為0；對于正價值節(jié)點(diǎn)Ni，有：價值節(jié)點(diǎn)Nj，有：

(2)從源點(diǎn)流向正價值節(jié)點(diǎn)的成本流不大于該節(jié)點(diǎn)的價值，即：fSi≤Vi；

(3)從負(fù)價值節(jié)點(diǎn)流入?yún)R點(diǎn)的成本流等于該節(jié)點(diǎn)的價值，即：fjT=Vj。

其中：S表示源點(diǎn)；T表示匯點(diǎn)；i表示正價值節(jié)點(diǎn)；j表示負(fù)價值節(jié)點(diǎn)；ni表示從正價值節(jié)點(diǎn)Ni引出的有向邊條數(shù)；pi表示指向負(fù)價值節(jié)點(diǎn)Nj的有向邊條數(shù)。

因此，對于圖3所示的簡單塊段模型，其線性規(guī)劃模型約束條件如下：

2.2 算法描述

建立圖4所示的坐標(biāo)系統(tǒng)，XYZ坐標(biāo)系為世界坐標(biāo)系，其值為塊段的真實(shí)坐標(biāo)值；ijk坐標(biāo)系為相對坐標(biāo)系，其值為塊段在礦床塊段模型中的序號。

2.2.1 CFCM構(gòu)建算法

第1步：形成初始圖。遍歷所有節(jié)點(diǎn)，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)記為Ni，若節(jié)點(diǎn)Ni為正價值節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)Ni與其開采錐內(nèi)所有負(fù)價值節(jié)點(diǎn)以有向邊相連，正價值節(jié)點(diǎn)Ni與負(fù)價值節(jié)點(diǎn)Nj間的有向邊記為fij。同時，將Ni存入正價值節(jié)點(diǎn)數(shù)組中。

圖4 三維塊段模型坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.4 Coordinate system of 3D block model

第2步：計算錐價值。遍歷所有正價值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)記為Ni，節(jié)點(diǎn)Ni及所有與它以有向邊相連的負(fù)價值節(jié)點(diǎn)的價值代數(shù)和即為節(jié)點(diǎn)Ni的錐價值。

第3步：賦權(quán)系數(shù)。將正價值節(jié)點(diǎn)數(shù)組中所有節(jié)點(diǎn)按其在塊段模型中的層號從大到小排序，層號相同時按節(jié)點(diǎn)的錐價值從大到小排序。在排序后的數(shù)組中，第1個節(jié)點(diǎn)權(quán)系數(shù)Ce1為1，第2個節(jié)點(diǎn)權(quán)系數(shù)Ce2為2，依此類推，第n個節(jié)點(diǎn)權(quán)系數(shù)Cen為n。

第4步：建立線性規(guī)劃模型。

第5步：求解線性規(guī)劃問題，遍歷結(jié)果中所有成本流，當(dāng)前成本流記為fij。若fij為0，則將節(jié)點(diǎn)Ni與節(jié)點(diǎn)Nj之間的有向邊刪除。刪除所有為0的成本流后形成新的CFCM，執(zhí)行第2步；若無結(jié)果為0的成本流，則程序結(jié)束，得到最終CFCM。

2.2.2 線性規(guī)劃模型算法的建立

第1步：構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。遍歷所有正價值節(jié)點(diǎn)，共有m個正價值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)記為Ni；其權(quán)系數(shù)為Cei；Ni引出的成本流有n條，記為f1～fn。則目標(biāo)函數(shù)

第2步：構(gòu)建約束條件。

(1)遍歷所有從源點(diǎn)S流出的成本流，共有x條，當(dāng)前成本流記為fSi，流向正價值節(jié)點(diǎn)Ni，Ni的價值為Vi。據(jù)此可以構(gòu)建出x個約束條件：fSi≤Vi；1≤i≤x

(2)遍歷所有流入?yún)R點(diǎn)T的成本流，共有y條，當(dāng)前成本流記為fjT，從負(fù)價值點(diǎn)Nj流出，Nj的價值為Vj。據(jù)此可以構(gòu)建出y個約束條件：fSi=|Vj|；1≤j≤y

(3)遍歷所有正價值節(jié)點(diǎn)，共有z個正價值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)記為Ni，流入該節(jié)點(diǎn)的成本流有u條，記為fiI1～fiIu；從該節(jié)點(diǎn)流出的成本流有v條，記為fiO1～fiOv；據(jù)此可以構(gòu)建出z個約束條件：1≤i≤z。

3 實(shí)例應(yīng)用

3.1 三維地質(zhì)模型的創(chuàng)建

基于CFCM的算法已用于DIMINE數(shù)字礦山系統(tǒng)中。以云南某礦為研究對象，用DIMINE創(chuàng)建了該礦的空間地質(zhì)數(shù)據(jù)庫、數(shù)字地形模型(Digital Terrain Model，DTM)[9?11]、礦體模型、礦床品位塊段模型，見圖5，這些資料是該礦露天礦生產(chǎn)計劃編制工作的基礎(chǔ)。

圖5 DTM、鉆孔空間位置及主要礦體分布Fig.5 DTM and drill spatial location and main orebodies distribution

礦體呈北西向北東呈波狀緩傾斜，傾角為 10°～25°，局部大于 35°。地面標(biāo)高 1.21 km，礦體總體長2.00 km，寬100～670 m，埋深從地表到280 m標(biāo)高，礦體厚度為2～50 m，平均品位約0.4%。礦體形態(tài)較復(fù)雜，呈多個不規(guī)則的透鏡體或構(gòu)造塊體。同一礦體厚度與品位變化較大。

本次建立地質(zhì)數(shù)據(jù)庫包含鉆孔486個，測斜數(shù)據(jù)2 246條，所有鉆孔、槽探和坑探取樣38 411個。礦床主要有Ⅰ號、Ⅱ號、Ⅲ號3個礦體，其中Ⅱ和Ⅲ號礦體儲量大，為該礦區(qū)的主要礦體，塊段模型創(chuàng)建中選擇單元塊長×寬×高為10 m×20 m×4 m。礦體分布情況及最終設(shè)計境界見圖6。

圖6 礦體分布情況及最終設(shè)計境界(即范圍)Fig.6 Ore bodies distribution and its final designed limit

3.2 露天礦生產(chǎn)計劃編制參數(shù)選擇

3.2.1 經(jīng)濟(jì)參數(shù)的選取

此次優(yōu)化的參數(shù)主要來源于地質(zhì)報告、選礦實(shí)驗(yàn)指標(biāo)和根據(jù)目前開采技術(shù)條件下通過工程類比法選取出相關(guān)指標(biāo)，本例以云南某露天礦的3 a采剝計劃編制為例。其主要優(yōu)化參數(shù)見表1。

3.2.2 優(yōu)化參數(shù)的選取

在計劃編制過程中，按照礦山的選廠處理能力等實(shí)際情況，確定6 000 t/d方案各年采礦量為：第1年75萬t，第2年150萬t，第3年以后按照198萬t進(jìn)行編排，直至減產(chǎn)結(jié)束。礦量容差為 5%，各年品位及剝采比約束如表2所示。

3.3 結(jié)果分析

將上述參數(shù)輸入DIMINE軟件露天礦生產(chǎn)計劃編制模塊中。礦床塊段模型XYZ3個方向的塊數(shù)為89×55×93，共455 235塊；但其中正價值塊數(shù)僅為75 315塊。利用CFCM構(gòu)建計算模型，采用混合整數(shù)規(guī)劃法進(jìn)行露天礦生產(chǎn)計劃編制，其整數(shù)變量數(shù)從455 235個減少到75 315個，極大地減少了計算量。

表1 優(yōu)化參數(shù)表Table1 Optimal parameters table

表2 優(yōu)化參數(shù)表Table2 Optimal parameters table

經(jīng)計算，得到各年度采剝塊段集合。在該結(jié)果數(shù)據(jù)為指導(dǎo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行生產(chǎn)計劃設(shè)計，其設(shè)計結(jié)果見圖7，采剝量見表3。

圖7 露天礦生產(chǎn)計劃設(shè)計結(jié)果Fig.7 Design results of open pit mine production scheduling

表3 各年度采剝量Table3 Stripping quantity for each year

4 結(jié)論

(1)針對采用混合整數(shù)規(guī)劃法求解 OMPSP時的高復(fù)雜度，提出了一種新的露天礦開采錐模型即CFCM。CFCM 能夠極大地減少采用混合整數(shù)規(guī)劃法求解OMPSP時的整數(shù)變量個數(shù)，為解決OMPSP提供了一種新的有效方法。

(2)CFCM 的不足之處在于其依賴于規(guī)則三維塊段模型，塊段的細(xì)分程度及各個方向的尺寸對工作幫坡角的精度影響很大。然而，混合整數(shù)規(guī)劃算法為指數(shù)復(fù)雜度，塊段劃分過細(xì)將會導(dǎo)致計算量過大。如何構(gòu)建一種不規(guī)則塊段模型，通過調(diào)整不同臺階、不同工作地點(diǎn)的塊段尺寸、形狀、細(xì)分程度來更精確地模擬工作幫坡角、開采條帶等，是未來露天礦開采錐模型構(gòu)建技術(shù)的難點(diǎn)與發(fā)展方向。

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