李 曉，李紅麗

(鄭州大學(xué) 商學(xué)院，河南 鄭州 450001)

一、引 言

任一資產(chǎn)和資產(chǎn)組合(無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)除外)，由于其未來的收益存在一定的不確定性，因而存在風(fēng)險(xiǎn)。為了對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量，馬科維茨將資產(chǎn)和資產(chǎn)組合的收益率視為一隨機(jī)變量，并根據(jù)其收益率概率分布的歷史信息，用收益率的均值和方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)估計(jì)該資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的未來收益率和風(fēng)險(xiǎn)。由方差或標(biāo)準(zhǔn)差的概念我們知道，只要實(shí)際收益率偏離期望收益率，而無論是向上偏離還是向下偏離我們都認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)。然而對(duì)于實(shí)際的投資活動(dòng)來說，當(dāng)實(shí)際收益率高于期望收益率時(shí)，投資者們從心理上對(duì)這種結(jié)果會(huì)感到更加滿意，并由此而認(rèn)為投資活動(dòng)是成功的。當(dāng)實(shí)際收益率低于特別是大幅度低于期望收益率時(shí)，投資者們一般會(huì)感到沮喪，并且可能會(huì)認(rèn)為投資失敗。

基于上述情況，很多學(xué)者對(duì)馬科維茨組合投資模型作了改造，即用半方差取代方差形成拓展的組合投資模型。本文就以這兩種模型結(jié)合我國(guó)2007年的股票市場(chǎng)進(jìn)行實(shí)證分析研究，希望能夠得到一些有益的結(jié)論。

二、均值—方差模型和均值—半方差模型

(一)均值—方差模型

馬科維茨研究發(fā)現(xiàn)，投資者在選擇證券組合時(shí)，并非只考慮期望收益率最大，同時(shí)還考慮收益率方差盡可能小，由此提出了所謂的“期望收益—收益方差”法則，并且認(rèn)為投資者應(yīng)該按照這一法則進(jìn)行投資。這樣，針對(duì)理性投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡特征，投資者在進(jìn)行投資目標(biāo)選擇時(shí)必然存在一定的風(fēng)險(xiǎn)約束，這種風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系可以表達(dá)為均值—方差準(zhǔn)則(MVC)。均值—方差準(zhǔn)則是投資者在期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)之間的權(quán)衡法則?！案唢L(fēng)險(xiǎn)，高收益”是不確定性資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系的基本特征，投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)必須得到相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬以作為補(bǔ)償。

1.均值—方差模型的基本假設(shè)

(1)每次資產(chǎn)組合分析都是在特定的單一時(shí)期進(jìn)行;

(2)所有資產(chǎn)無限可分;

(3)資產(chǎn)收益率概率分布的兩個(gè)參數(shù)——均值—方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)是可知的，所以投資者都以此作為投資決策的依據(jù);

(4)不考慮交易費(fèi)用、個(gè)人所得稅等因素的影響，即市場(chǎng)無摩擦;

(5)投資者是理性的，即在相同風(fēng)險(xiǎn)水平下，追求收益最大，或者在相同收益水平下，追求風(fēng)險(xiǎn)最小。

2.收益和風(fēng)險(xiǎn)的度量

在一定時(shí)期，資產(chǎn)收益率是該資產(chǎn)期初與期末價(jià)格差額的相對(duì)數(shù)，即

其中:rit為資產(chǎn) i在第 t期的收益率;Pit、Pi，t－1分別為資產(chǎn)i在第t、t－1期的期末價(jià)格;Dit為資產(chǎn) i在第 t期的紅利;t=1，2，…，T。

利用收益率的均值和方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)估計(jì)該資產(chǎn)的未來收益和風(fēng)險(xiǎn)，即

對(duì)于由N種資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合p，資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)為

其中:xi為資產(chǎn)在資產(chǎn)組合p中所占權(quán)數(shù);σij為資產(chǎn)i與j收益率之間的協(xié)方差，且);ρij為資產(chǎn) i與 j收益率之間的相關(guān)系數(shù)，且 －1≤ρij≤1。

由此不難發(fā)現(xiàn)，資產(chǎn)組合的收益是組合中各資產(chǎn)收益的加權(quán)平均，而資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)除依賴于組合中各資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)和該資產(chǎn)所占權(quán)數(shù)外，還取決于各資產(chǎn)收益率之間的協(xié)方差，或各資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)。投資分散化原則就是根據(jù)不同資產(chǎn)間相關(guān)程度的差異對(duì)資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的影響，進(jìn)行多元化投資以達(dá)到分散風(fēng)險(xiǎn)的目的。

3.均值—方差模型

馬科維茨的均值—方差模型的核心就是如何確定，使得證券組合的風(fēng)險(xiǎn)(收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差)在不大于投資者所承受的最高風(fēng)險(xiǎn)(即給定σ－2)時(shí)，證券組合可能獲得的最大收益率。所以關(guān)于馬科維茨的均值—方差證券組合選擇問題可以表達(dá)為:

這兩個(gè)都是二次規(guī)劃問題。運(yùn)用二次規(guī)劃軟件，可以得到最優(yōu)資產(chǎn)組合中資產(chǎn)i所占權(quán)數(shù)xi(i=1，2，…，N);然后根據(jù)資產(chǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)，可以計(jì)算出最優(yōu)資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)。

(二)半方差模型

考慮到投資者在實(shí)際操作中，往往把風(fēng)險(xiǎn)更多地理解為虧損，即當(dāng)投資的實(shí)際收益率高于其預(yù)期(注意，這里用的是預(yù)期，不是概率論中的期望，也即它是人們心目中希望得到的收益或收益率)的收益率時(shí)，他們并不認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)，而只有當(dāng)實(shí)際的收益率低于預(yù)期的收益率時(shí)，他們才認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)。通常在理論研究領(lǐng)域，一般把風(fēng)險(xiǎn)定義為收益的不確定性。按照這個(gè)定義，顯然無論實(shí)際收益率高于或低于預(yù)期收益率均認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)。這種理解應(yīng)該說也是有道理的。因?yàn)橹灰磥硎遣淮_定的，人們?cè)跊Q策時(shí)就必須考慮到成功或失敗兩種可能，所以決策就很困難。但是，畢竟許多投資者將損失或低于預(yù)期認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)，因此許多學(xué)者為了將理論研究更加貼近實(shí)際，遂提出了均值—半方差模型。這是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的馬科維茨均值—方差模型的一種擴(kuò)展。

令

則

在進(jìn)行組合優(yōu)化決策時(shí)，由于單只股票的半方差值無法像方差那樣直接相加，因此，為了避開半方差不可直接相加的弱點(diǎn)，我們采取把整個(gè)投資組合看成一只股票，首先計(jì)算出投資組合在各個(gè)時(shí)點(diǎn)上的投資收益率，然后再計(jì)算組合的半方差值。其計(jì)算過程如下:

設(shè)有只股票，其歷史收益率分別為R1i，R2i，…，RNi，其中 i=1，2，…，m，m 為按某一確定的時(shí)間單位把投資期分成的時(shí)間段，各只股票的投資權(quán)重為x1，x2，…，xN，則投資組合在各個(gè)時(shí)期的收益率分別為:

三、理論說明

馬科維茨均值—方差模型的一個(gè)前提假設(shè)是以資產(chǎn)收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量的參數(shù)，由于方差這一指標(biāo)存在某些缺陷，因而在模型提出后，有學(xué)者認(rèn)為半方差在刻畫資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)方面優(yōu)于方差。其中包括馬科維茨本人也承認(rèn):除方差外，還存在多種替代風(fēng)險(xiǎn)度量方法，就理論而言，半方差是最完美的參數(shù)。

本文擬用圖示的方法來說明均值—方差模型和均值—半方差模型兩者的可行域是不同的，由圖1和圖2顯而易見，均值—半方差模型的可行域包含了均值—方差模型的可行域，即若記前者的可行域?yàn)镈1，記后者的可行域?yàn)镈2，則

D1?D2

因此，從集合的觀點(diǎn)，我們有理由相信，在一個(gè)更大的集合里求得的最優(yōu)解一般說來應(yīng)更優(yōu)于在一個(gè)較小集合里所求得的最優(yōu)解，至少不比后者差。

圖1 均值—方差模型可行域示意

圖2 均值—半方差模型可行域示意

具體地說，圖1表示用均值—方差模型計(jì)算得出的收益率與期望收益率的偏差只要在σ－2內(nèi)，該投資組合就是可行的。圖2表示用均值—半方差模型計(jì)算得出的收益率若比期望收益率大，則該投資組合可行;若比期望收益率小，只要其偏差不大于σ－2，該投資組合也是可行的。由此可知對(duì)同一資產(chǎn)選擇，用半方差模型所得到的組合種類要比用均值—方差模型所得到的組合種類多，即半方差模型的可行域要大于或等于均值—方差模型的可行域，所以在較大的可行域中選擇的最優(yōu)解更優(yōu)，即半方差模型的投資結(jié)果要優(yōu)于均值—方差模型。

四、實(shí)證分析

為了證明上述觀點(diǎn)，本文做了實(shí)證分析。

從活躍復(fù)雜多變的深圳證券交易所的十大行業(yè)選取了各行業(yè)相對(duì)活躍的十只股票，即制造業(yè)的鞍鋼股份，建筑業(yè)的深天地，信息技術(shù)的中信國(guó)安，金融保險(xiǎn)的深發(fā)展，農(nóng)林牧漁的隆平高科，房地產(chǎn)業(yè)的萬科A，水電煤氣的魯能泰山，社會(huì)服務(wù)的津?yàn)I發(fā)展，傳播文化的電廣傳媒和批發(fā)零售的蘇寧電器。用股市發(fā)展最典型的2007年度的月收盤價(jià)計(jì)算其收益率。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假定各個(gè)股票在投資期不發(fā)放紅利，即

其中:rit為股票 i在第 t月的收益率;Pit、Pi，t－1分別為股票 i在第 t、t－1期的收盤價(jià);t=1，2，…，12。這樣得到了表1。

表1 各月收益率及平均收益率、標(biāo)準(zhǔn)差 (%)

用EXCEL工具計(jì)算得出各個(gè)股票之間的協(xié)方差，得到表2。用規(guī)劃求解工具可以求得在約束條件下的目標(biāo)函數(shù)最大值，得到使投資組合的收益率最大時(shí)各個(gè)股票所占的比重以及最大收益率，結(jié)果如表3、表4。

表2 各股票協(xié)方差矩陣 (%)

表3 要求給定方差為5%情況下的均值—方差模型的最優(yōu)投資組合 (%)

表4 要求給定方差為5%情況下的半方差模型的最優(yōu)投資組合 (%)

從表3和表4可以看出，在將風(fēng)險(xiǎn)控制在5%的情況下，用半方差模型求解的最大收益率13.29%要大于用均值—方差模型求得的最大收益率12.86%，所以再一次證實(shí)了半方差模型的應(yīng)用效力優(yōu)于均值—方差模型。

五、結(jié) 論

(一)在實(shí)際的投資活動(dòng)中應(yīng)用均值—半方差模型可能更符合投資者的理念

均值—方差模型將投資風(fēng)險(xiǎn)定義為投資收益的不確定性，而半方差模型則將投資風(fēng)險(xiǎn)定義為可能的損失。不同的定義導(dǎo)致了不同的計(jì)算思路和計(jì)量模型，也就會(huì)有不同的投資結(jié)果。均值—半方差模型以收益率的下半部分為風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量因子，能夠更有效地衡量風(fēng)險(xiǎn)效果，更符合投資者的真實(shí)心理感受。本文也從理論分析和實(shí)證研究方面證明了半方差模型的優(yōu)越性。所以應(yīng)該從實(shí)際投資者的角度，應(yīng)用均值—半方差模型去進(jìn)行組合投資管理。

(二)明確半方差模型在投資組合中的地位

用以方差最小化為約束條件的均值—方差模型作投資規(guī)劃，雖然規(guī)避了一定的風(fēng)險(xiǎn)，但更多的是過濾掉了可能的超額收益機(jī)會(huì)。而這種過濾與投資者追求收益率最大化的目標(biāo)直接相違背。然而半方差模型避免了這些不足，將位于投資期望線之上和之下的收益率分開計(jì)算，既規(guī)避了風(fēng)險(xiǎn)又確保了投資者的最大收益，所以更便于投資者進(jìn)行資產(chǎn)評(píng)估和擇優(yōu)?，F(xiàn)代計(jì)算工具逐漸強(qiáng)大，我們應(yīng)該拋開束縛，對(duì)諸多計(jì)量投資風(fēng)險(xiǎn)的模型進(jìn)行評(píng)估，確立半方差模型在投資組合中的優(yōu)越地位，開拓廣闊的應(yīng)用前景。

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