趙 瑜, 原三領(lǐng), 李 盼

(1.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏 756000；2.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

一類含潛伏時(shí)滯的SIS傳染病模型的定性研究

趙 瑜1, 原三領(lǐng)2, 李 盼2

(1.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏 756000；2.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

利用構(gòu)造Liapunov泛函的方法,研究了一類含有潛伏期時(shí)滯的SIS傳染病模型.得到了地方病平衡點(diǎn)和無病平衡點(diǎn)局部及全局漸近穩(wěn)定的充分條件;當(dāng)時(shí)滯超過某一臨界值時(shí),地方病平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性,通過Hopf分支在其附近跳出極限環(huán).揭示了時(shí)滯對(duì)疾病傳播的影響.

傳染病模型;時(shí)滯;Liapunov泛函;穩(wěn)定性;Hopf分支

由于人類或動(dòng)物侵入新的生態(tài)系統(tǒng)、全球變暖、環(huán)境退化、國際旅行增加等因素的影響,將增大新產(chǎn)生或已存在的傳染病流行的機(jī)會(huì).數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為分析流行病傳播和控制的重要工具[1].文獻(xiàn)[2]考慮了一類具有染病期時(shí)滯和常數(shù)人口輸入的SIS傳染病模型,文_獻(xiàn)[3]考慮了兩類具有染病期時(shí)滯的SIS傳染病模型.文獻(xiàn)[4]考慮了具有時(shí)滯和總?cè)丝谧儎?dòng)的SIS傳染病模型,類似的還可參見文獻(xiàn)[5-10].

在通常的SIS傳染病模型中,易感者被感染后成為染病者,染病者康復(fù)后又再次成為易感者.在以往考慮的有關(guān)SIS模型的文獻(xiàn)中大多假設(shè)易感者與染病者充分接觸后立即成為染病者,未考慮易感者被疾病感染后的潛伏過程.本文在以往文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,假設(shè)易感者被感染后不是立即對(duì)外呈現(xiàn)傳染力,而是具有一定的潛伏時(shí)間,并把此考慮為時(shí)滯因素,建立了一類含有相當(dāng)于潛伏期時(shí)滯的SIS傳染病模型.利用構(gòu)造Liapunov泛函的方法,得到了各類平衡點(diǎn)局部和全局漸近穩(wěn)定的充分條件；當(dāng)時(shí)滯超過某一臨界值時(shí),地方病平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性,通過Hopf分支在其附近跳出極限環(huán),疾病的傳播會(huì)呈現(xiàn)周期性的振蕩現(xiàn)象.

1 模 型

假設(shè)t時(shí)刻總?cè)丝跒镹(t),把總?cè)丝诜譃橐赘姓哳?染病者類,即N(t)=S(t)+I(t),其中S(t) 和I(t)分別表示t時(shí)刻易感者類和染病者類的數(shù)量,考慮模型

其中,所有的參數(shù)均為正常數(shù).a為疾病最大傳染力；S0為人口的凈遷入；μd為人口的自然死亡率；r為疾病的恢復(fù)率；e為因病死亡率；τ為易感者感染疾病后的潛伏期；m為易感者被感染經(jīng)潛伏期后進(jìn)入染病者類的比率；aU(S)表示染病者具有的傳染力,且滿足

2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.1 正平衡點(diǎn)E*的局部穩(wěn)定性

首先考慮正平衡點(diǎn)E*=(S*,I*)的局部穩(wěn)定性,令

由式(12)可證明如下結(jié)論:

證明 設(shè)(x1(t),x2(t))是系統(tǒng)(7)的任一解, 令T0＞τ,對(duì)式(12)的兩邊由T0到t(≥T0)積分,得到

因此x1(t)和x2(t)是有界的,并且x1(t)∈L1[0,∞),由系統(tǒng)(7)和中值定理有x1(t),x2(t)及其微分泛函在[0,∞)上是一致連續(xù)的.由Barbalat引理(見Gopalsamy[9]引理1.2.2和1.2.3),可得當(dāng)t→∞時(shí),(x1(t),(t))→0.因此由系統(tǒng)(7)的第一個(gè)方程,可得

即當(dāng)t→∞時(shí),x2(t)→0.因此對(duì)系統(tǒng)(7)的任一解都有(x1(t),x2(t))→0(t→∞).

2.2 正平衡點(diǎn)E*的全局漸近穩(wěn)定性

為了研究E*的全局穩(wěn)定性,考慮系統(tǒng)(1)的任一正解X(t)=(S(t),I(t)).做變換

且對(duì)任意的x1∈[-S*,+∞]都有x1ξ(x1)＞0,當(dāng)且僅當(dāng)x1=0時(shí),x1ξ(x1)=0.由式(15),系統(tǒng)(1)可寫成

此時(shí),系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)被變換成系統(tǒng)(17)的平衡點(diǎn)(0,0).

定理2 如果μd+e+r＜ma,S0＞μdS*, Tr＜1,則正平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的.其中

證明 首先,證明E*是全局吸引的.令(x1(t),x2(t))是系統(tǒng)(17)的任一解,考慮泛函

則V1(t)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x1(t)=0時(shí)V1(t)=0.沿著系統(tǒng)(17)的解求導(dǎo),可得

類似于定理1的證明過程,可以證明當(dāng)Tr＜1時(shí),正平衡點(diǎn)E*是全局吸引的.又由定理1,E*是局部漸近穩(wěn)定的,因此E*是全局漸近穩(wěn)定的.

3 E*處的Hopf分支

系統(tǒng)(7)的特征方程為

4 無病平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性

5 討 論

將易感者被感染后的潛伏期作為時(shí)滯因素,考慮了一類含時(shí)滯的SIS傳染病模型.利用構(gòu)造Liapunov泛函的方法,得到了各類平衡點(diǎn)局部和全局漸近穩(wěn)定的條件:如果μd+e+r＞ma,無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的；如果μd+e+r＜ma, S0＞μdS*,Tr＜1,則正平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的.當(dāng)τ∈(0,τ0)時(shí),平衡點(diǎn)E*是穩(wěn)定的,當(dāng)τ＞τ0時(shí),平衡點(diǎn)E*失去穩(wěn)定性,且系統(tǒng)(1)在τ0附近從E*處通過Hopf分支產(chǎn)生周期解,此時(shí),疾病的傳播呈現(xiàn)周期性的振蕩現(xiàn)象.

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[11] MARSDEN J E,MCKRACKEN M.The Hopf Bifurcation and its Applications[M].New York: Springer,1976.

Qualitative analysis of an SIS epidemic model with latent delay

ZHAOYu1, YUANSan-ling2, LIPan2
(1.School of Math amd Computer Sciemce,Nimgxia Teachers College,Nimgxia 756000,Chima；2.College of Sciemce,Umiversity of Shamghai for Sciemce amd Techmology,Shamghai 200093,Chima)

An SISepidemic model with a delay corresponding to the latent period was investigated. By means of constructing Liapunov functionals,some sufficient conditions for the local and global stability of the endemic equilibrium and the disease-free equilibrium were obtained,respectively. When the delay increases above some threshold,the endemic equilibrium loses its stability and Hopf bifurcation occurs,i.e.,a family of periodic solutions bifurcates from the endemic equilibrium.The effect of the delay on the spread of disease was disclosed.

epidemic model；delay；Liapumov fumctiomal；stability；Hopf bifurcatiom

O 175.1文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

1007-6735(2011)05-0480-05

2009-12-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10871129)；上海市教委專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(09YZ208)；寧夏自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(NZ102228)

趙 瑜(1982-),男,講師.研究方向:生物數(shù)學(xué).E-mail:zhaoyuzy123@163.com

原三領(lǐng)(聯(lián)系人),男,副教授.研究方向:微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)、生物數(shù)學(xué).E-mail:yuansanling@263.net