任 飛, 顧高峰, 蔣志強(qiáng), 周煒星

(華東理工大學(xué)商學(xué)院,上海 200237)

復(fù)雜金融系統(tǒng)的重現(xiàn)時間間隔分析

任 飛, 顧高峰, 蔣志強(qiáng), 周煒星

(華東理工大學(xué)商學(xué)院,上海 200237)

依據(jù)復(fù)雜性科學(xué)的思路,研究了金融市場大波動極端事件的重現(xiàn)時間間隔,考察了中國股市高頻數(shù)據(jù)的重現(xiàn)時間間隔分布和時間關(guān)聯(lián)特性,介紹了幾種分布檢驗和關(guān)聯(lián)測度方法,從不同角度進(jìn)行精確分析.其次,系統(tǒng)介紹了重現(xiàn)時間間隔分析方法在金融復(fù)雜系統(tǒng)研究中的應(yīng)用,對波動率、已實現(xiàn)波動率、收益率和交易量的重現(xiàn)時間間隔進(jìn)行了實證分析,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行初步市場風(fēng)險估計.最后,介紹了基于委托驅(qū)動的微觀模型,通過模擬交易人的委托下單過程模擬市場的價格波動演化,研究大波動極端事件重現(xiàn)時間間隔的動力學(xué)機(jī)理,為中國股市大波動極端事件的風(fēng)險估計和規(guī)避提供理論依據(jù).

金融物理學(xué);極端事件;重現(xiàn)時間間隔分析;金融風(fēng)險

近年來我國經(jīng)歷了暴雪、地震、干旱、金融危機(jī)等一系列事件,這些異常的、平時不易發(fā)生的事件在統(tǒng)計學(xué)意義上稱為極端事件.肇始于美國次貸危機(jī)的全球金融危機(jī),被認(rèn)為是1929年美國股災(zāi)后近百年來最嚴(yán)重的金融危機(jī),當(dāng)前面臨的歐洲債務(wù)危機(jī),也可能導(dǎo)致世界經(jīng)濟(jì)的再次探底.研究金融極端事件的統(tǒng)計規(guī)律和內(nèi)在動力學(xué)機(jī)制,對估計金融市場風(fēng)險并采取措施規(guī)避風(fēng)險有著十分重要的意義.傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論框架建立在有效市場假設(shè)的基礎(chǔ)之上,無法解釋和預(yù)言此次金融危機(jī).當(dāng)前面臨的經(jīng)濟(jì)困境促使科學(xué)家重新審視主流經(jīng)濟(jì)學(xué)理論,著名物理學(xué)家Bouchaud和經(jīng)濟(jì)學(xué)家Lux和Westerhoff分別在《Nature》和《Nature Physics》上發(fā)表評論,指出現(xiàn)有的經(jīng)濟(jì)理論需要根本性的科學(xué)革命,應(yīng)該從實驗金融數(shù)據(jù)出發(fā)歸納總結(jié)金融市場自身的運動規(guī)律[1],以解決目前的金融危機(jī)問題[2].

金融復(fù)雜系統(tǒng)具有和自然界復(fù)雜系統(tǒng)十分類似的特征行為,受此啟發(fā)人們運用復(fù)雜性科學(xué)、非線性科學(xué)和計算實驗科學(xué)等自然科學(xué)的方法來對其進(jìn)行研究[3-6].金融市場內(nèi)伴隨某個大波動極端事件,緊接著發(fā)生一系列后續(xù)波動,同多粒子體系的自組織臨界現(xiàn)象非常相似.誘發(fā)后續(xù)波動的大波動極端事件決定了金融市場的動力學(xué)行為及其復(fù)雜性,直接反映了市場的風(fēng)險水平,采用重現(xiàn)時間間隔的分析方法研究大波動,能為金融市場的風(fēng)險管理提供新的視角和思路.

1 基本概念、方法、理論結(jié)果

重現(xiàn)時間間隔(recurrence interval)定義為某個連續(xù)事件之間的時間間隔,早期集中在對自然界極端事件的研究中,比如洪水、高溫天氣和地震等自然災(zāi)害[7-9].金融極端大波動事件的重現(xiàn)時間間隔研究已經(jīng)引起了許多學(xué)者的關(guān)注[10-16].股票價格的波動率或收益率連續(xù)地超過某個閾值q的大波動事件間的時間間隔,簡稱為重現(xiàn)時間間隔τ.可根據(jù)重現(xiàn)時間間隔的概率分布特征,由較大閾值的時間間隔分布推理得到極端大波動事件的時間間隔分布規(guī)律,能克服極端大波動統(tǒng)計樣本不足的困難,對于金融市場的風(fēng)險估計和管理具有現(xiàn)實意義.進(jìn)一步的實證和模擬研究表明,重現(xiàn)時間間隔的這種標(biāo)度行為可能產(chǎn)生于原始記錄的長期記憶效應(yīng)(longterm memory)[12-15].

關(guān)于大波動重現(xiàn)時間間隔的分布形式還沒有統(tǒng)一定論.早期大波動的重現(xiàn)間隔時間分布研究主要是基于概率分布的定性觀測.Yamasaki等[10]首次運用重現(xiàn)時間間隔的分析方法研究股票的波動率,采用美國股市的日度數(shù)據(jù),將波動率簡單定義為對數(shù)收益的絕對值,發(fā)現(xiàn)波動率重現(xiàn)時間間隔的概率密度具有標(biāo)度行為(scaling behavior).Wang等[11]采用美國股市的日內(nèi)高頻數(shù)據(jù),證實了波動率重現(xiàn)時間間隔分布的標(biāo)度行為,其具體分布形式遵從拉伸指數(shù)分布(stretched exponential distribution),Jung 等[16]在日本股市中也觀測到類似的拉伸指數(shù)分布.

隨著研究深入到對高頻數(shù)據(jù)的分析,一系列高精度的定量分析方法被引入,例如KS(kolmogorovsmirnov)檢驗方法、m-階矩測量、基于bootstrap方法的KS擬合度檢驗等.Wang等[17]采用紐約證交所的逐筆交易與報價數(shù)據(jù),通過測量τ/<τ>的m-階矩,發(fā)現(xiàn)間隔時間的分布略微偏離標(biāo)度律,類似的偏離標(biāo)度律行為在韓國股市中也被觀測到[18].Bogachev等[19]也發(fā)現(xiàn)重現(xiàn)間隔時間的分布隨閾值q變化,且分布形式遵循冪律分布.

具有多體相互作用的復(fù)雜體系具有長程時間關(guān)聯(lián)(也稱為記憶效應(yīng)),是構(gòu)造極端事件的重現(xiàn)間隔時間分布模型的主要依據(jù).經(jīng)驗數(shù)據(jù)研究表明,極端事件的間隔時間分布與波動率的長程關(guān)聯(lián)密切相關(guān)[12-15],根據(jù)這一機(jī)理,構(gòu)造了一系列微觀動力學(xué)模型.用傅立葉變換構(gòu)造具有分形和線性長程關(guān)聯(lián)特性的時間序列,其間隔時間分布具有標(biāo)度行為,且分布服從拉升指數(shù)分布[4,20],其解析解近似可解[12-13].用多重分形隨機(jī)行走模型,構(gòu)造具有多重分形和長程關(guān)聯(lián)特性的時間序列,無論關(guān)聯(lián)為線性或非線性,間隔時間分布都無標(biāo)度行為,但分布遵循冪律分布[19,21].

目前,中國股市波動的重現(xiàn)時間間隔研究還比較少.Qiu等[22]采用比較直觀的方法觀測上交所4只股票波動率的重現(xiàn)時間間隔的概率分布,認(rèn)為重現(xiàn)時間間隔的分布具有標(biāo)度行為,且標(biāo)度函數(shù)服從拉伸指數(shù)分布.Ren等[23]分析上交所和深交所30只交易活躍的股票兩年的日內(nèi)高頻數(shù)據(jù),采用m-階矩測量方法考察波動率重現(xiàn)時間間隔分布的標(biāo)度行為,發(fā)現(xiàn)大多數(shù)股票的時間間隔分布偏離標(biāo)度律,并采用基于bootstrap方法的KS擬合優(yōu)度檢驗證實標(biāo)度函數(shù)遵循拉升指數(shù)分布.最近,Ren等[24]采用20只在上交所和深交所上市股票的將近10年的日內(nèi)數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)收益率的重現(xiàn)時間間隔分布遵循冪律分布,類似結(jié)果在交易量的重現(xiàn)時間間隔分析中也被觀測到[25-26].

1.1 定義

假設(shè)有某一股票的時間序列,根據(jù)該時間序列可以求得原始變量R(t),R(t)可以是波動率、收益率等任一變量.在數(shù)據(jù)預(yù)處理階段需要對R(t)進(jìn)行歸一化處理(normalization)

歸一化變量r(t)的重現(xiàn)時間間隔定義為該變量連續(xù)地超過某個閾q的時間間隔,用字母τ表示.圖1所示的是歸一化變量r(t)的重現(xiàn)時間間隔的示意圖,對應(yīng)波動率和交易量的歸一化變量,τ為由q＞0的閾值截取的時間間隔,對于收益率的歸一化變量,由于收益率可正可負(fù),τ為由q＞0和q＜0截取的時間間隔.每取一個閾值q,便可得到閾值下的一組間隔時間序列τ.可通過觀測不同閾值下的重現(xiàn)時間間隔,研究這些超過閾值q的事件重現(xiàn)的規(guī)律.

1.2 分布及檢驗方法

經(jīng)驗研究發(fā)現(xiàn)重現(xiàn)時間間隔的概率分布可能滿足拉伸指數(shù)分布、冪律分布或者兩者的混合分布,因此需要采用相對精確的擬合和擬合優(yōu)度檢驗方法來確定具體的分布形式.常用的擬合方法是由Newman[27]提出的基于KS統(tǒng)計量的極大似然估計方法,該方法最早是針對冪律分布的擬合提出的,但該方法對于其它分布的擬合也有較好的適用性.

圖1 歸一化變量r(t)的重現(xiàn)時間間隔的示意圖Fig.1 Illustration of recurrence intervals of the normalized returns r(t)

某個變量x的概率密度函數(shù)為P(x),其累積概率分布函數(shù)為F(x),假設(shè)變量x大于x^min部分滿足某個理論分布,該理論分布的累積概率分布函數(shù)為Ffit(x),則KS統(tǒng)計量定義為

為了使得擬合的理論分布更接近于變量x的實際分布,KS統(tǒng)計量應(yīng)該盡量的小.值在KS統(tǒng)計量取最小值求得,擬合分布的參數(shù)由極大似然估計解得.

對于已知分布的檢驗,可采用基于bootstrap方法的KS擬合優(yōu)度檢驗,用來檢驗實證數(shù)據(jù)是否服從擬合得到的理論分布.前面已經(jīng)求得變量x的實證數(shù)據(jù)的KS統(tǒng)計量,我們還可以計算加權(quán)的KS統(tǒng)計量

加權(quán)的KS統(tǒng)計量KSW在累積概率密度函數(shù)的邊緣會更敏感.

接下來采用bootstrap方法隨機(jī)產(chǎn)生1 000組模擬數(shù)據(jù),模擬數(shù)據(jù)的概率分布滿足擬合得到的理論分布,且模擬數(shù)據(jù)的數(shù)量等于變量x的實證數(shù)據(jù)的樣本數(shù).對每一組生成的模擬數(shù)據(jù)重構(gòu)其累積分布函數(shù)Fsim,并且采用Newman等人的方法對模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,計算相應(yīng)的累積分布函數(shù)Fsim,fit.對這1 000組模擬數(shù)據(jù)計算其KS統(tǒng)計量和KSW統(tǒng)計量

KS擬合優(yōu)度檢驗的p- value由實證數(shù)據(jù)的KS(或KSW)統(tǒng)計量和模擬數(shù)據(jù)的KSsim(或KSWsim)統(tǒng)計量比較生成,定義為KSsim＞KS(或KSWsim＞KSW)的概率.p- value可以解釋為實證數(shù)據(jù)的分布與擬合得到的理論分布的累積概率分布函數(shù)差值小于隨機(jī)誤差(隨機(jī)數(shù)據(jù)的累積概率分布函數(shù)差值)的概率,也可以理解為實證數(shù)據(jù)分布服從于擬合分布的概率.這樣就可以通過p- value來描述擬合得到的理論分布的擬合優(yōu)度.在顯著水平為5%的條件下,若p- value大于5%,則原假設(shè)被接受,我們就可以說重現(xiàn)時間間隔的分布能很好地被理論分布擬合；若p- value小于5%,那么拒絕原假設(shè),說明重現(xiàn)時間間隔的分布不能被理論分布擬合.

1.3 短期記憶性

概率分布并不能完整地描述重現(xiàn)時間間隔序列的所有統(tǒng)計性質(zhì),一個序列的記憶性是另一個獨立于其概率分布的重要的統(tǒng)計性質(zhì).若某個變量的序列具有記憶效應(yīng),則該序列中后面的變量值和前面的變量值有一定的相關(guān)性.實證研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)金融市場的重現(xiàn)時間間隔具有時間記憶效應(yīng)[10-13],即處在后面的重現(xiàn)時間間隔和前面的實際間隔有一定關(guān)系.

根據(jù)記憶時間的長短,記憶性分為短期記憶性和長期記憶性,分別對應(yīng)于物理學(xué)中的短程關(guān)聯(lián)和長程關(guān)聯(lián).短期記憶性是指,序列中某個時刻的變量值和前面離它不遠(yuǎn)的變量值有一定的相關(guān)性.觀測重現(xiàn)時間間隔的短期記憶性,可通過計算重現(xiàn)時間間隔的條件概率分布P(τ｜τ0),即緊接著時間間隔τ0之后出現(xiàn)時間間隔τ的概率.在大波動的重現(xiàn)時間間隔研究中,該變量和市場風(fēng)險估計密切相關(guān),表示前一個大波動事件距離當(dāng)前大波動事件的時間間隔為τ0,下一個大波動事件在時間τ之后發(fā)生的概率.

1.4 長期記憶性

重現(xiàn)時間間隔不僅具有短時記憶性,還具有長期記憶性,即某個時刻的重現(xiàn)時間間隔和較長時間前的重現(xiàn)時間間隔具有相關(guān)性.DFA(detrend fluctuation analysis)方法是研究時間序列長期記憶性的一種常用方法,DFA方法被廣泛應(yīng)用于分形和多重分形的研究[28-29],其二階的降趨波動函數(shù)(detrended fluctuation function)可用來測量時間序列的記憶性[30].相比較于其它方法,DFA方法對于不穩(wěn)定的時間序列也適用,可以避免因時間序列不穩(wěn)定而引起的偽相關(guān)性的干擾.

假設(shè)存在一個時間序列Ni(i=1,2,…,N),將該時間序列進(jìn)行如下累加處理

其中為序列的均值.接下來將時間序列Ni分割成K個不重疊的盒子Im,m=1,2,…,K,每個盒子都有相等的窗口長度s.每個盒子中,用一個多項式y(tǒng)pol對累加后的時間序列進(jìn)行擬合,然后對該序列進(jìn)行降趨(detrend)

對于一個給定的時間窗口長度s,計算其二階降趨波動函數(shù)(detrended fluctuation function)

對不同的時間窗口長度s都重復(fù)上述運算,就可以得到不同s值下的降趨波動函數(shù)F(s).F(s)和s存在標(biāo)度關(guān)系(scaling relation)

參數(shù)α稱為Hurst指數(shù),該指數(shù)取值表征序列的記憶特性:若α=0.5,則序列沒有相關(guān)性；若α＞0.5,則序列存在正相關(guān)性；若α＜0.5,則序列存在負(fù)相關(guān)性[33].

2 實證分析

2.1 波動率(vo1ati1ity)

首先采用30只在深交所和上交所上市交易的股票的1分鐘數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)的時間跨度為2004年1月到2006年6月,分析中國股市價格波動率的重現(xiàn)時間間隔[23,31].波動率R(t)定義為價格對數(shù)收益的絕對值

式中Y(t)為第t分鐘股票的價格.

波動率具有日內(nèi)效應(yīng)(intraday pattern),即接近開盤和收盤的時候,波動率較大.可定義日內(nèi)平均波動率

式中Ri(s)表示第i個交易日內(nèi)s時刻的波動率.

如圖2所示,日內(nèi)平均波動率A(s)呈現(xiàn)“U”型形狀.

圖2 上海和深圳證券交易所內(nèi)個股的日內(nèi)平均波動率Fig.2 Mean intraday volatility of four representative stocks in Shanghai and Shenzhen Stock Exchanges

波動率的日內(nèi)效應(yīng)對波動率的重現(xiàn)時間間隔測量有一定影響,會引起以天為周期的周期性效應(yīng).因此,在測量波動率的重現(xiàn)時間間隔之前,先要消除日內(nèi)效應(yīng)

然后,再對消除日內(nèi)效益的波動率做歸一化處理

采用1.1節(jié)的定義,計算歸一化波動率在不同閾值q下的重現(xiàn)時間間隔τ,觀測重現(xiàn)時間間隔τ的概率分布.如圖3所示的是兩只股票(000839和000625)的重現(xiàn)時間間隔的累積概率分布,可以看出000839這只股票不同閾值下的分布不能很好地重合在一條線上,而000625這只股票不同閾值下的分布能較好地重合在一條線上,具有標(biāo)度行為

式中<τ>為平均重現(xiàn)時間間隔.

在30只個股中,找到12只個股具有較好的標(biāo)度行為,假設(shè)其分布滿足拉伸指數(shù)分布

將q=2和q=5時標(biāo)度后的重現(xiàn)時間間隔τ/<τ>合并,用最小二乘方法擬合兩者共同的拉伸指數(shù)分布,然后采用1.2節(jié)介紹的擬合優(yōu)度檢驗方法驗證以上假設(shè),即q=2和q=5時,τ/<τ>的分布都符合它們共同的拉伸指數(shù)擬合分布.根據(jù)表1的結(jié)果,同時采用KS和KSW統(tǒng)計量有6只股票在5%的顯著性水平下通過檢驗,即它們的重現(xiàn)時間間隔分布具有標(biāo)度行為,且分布服從拉伸指數(shù)分布.關(guān)于重現(xiàn)時間間隔分布標(biāo)度行為的驗證,還可以采用重現(xiàn)時間間隔的m-階矩測量方法[21].

圖3 個股000839和000625波動率重現(xiàn)時間間隔的累積概率分布Fig.3 Complementary cumulative distribution of the volatility return intervals for stock 000839 and stock 000625

表1 上海和深圳證券交易所內(nèi)個股的KS擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果Tab.1 KS-goodness-of-fit test for the individual stocks in Shanghai and Shenzhen Stock Exchanges

另外,我們還發(fā)現(xiàn)波動率的重現(xiàn)時間間隔同時具有短期記憶性和長期記憶性.通過計算條件概率分布,可觀測重現(xiàn)時間間隔的短期記憶性.假設(shè)一只股票的回復(fù)事件間隔序列有N個記錄,先將各個記錄按升序排列后,平均分割成4個子集,記為Q1, Q2,Q3,Q4,最小的1/4回復(fù)時間間隔記錄在Q1中,而最大的1/4回復(fù)時間間隔記錄在Q4中,分別計算τ0落在Q1和Q4這兩個子集里的條件概率密度函數(shù)Pq(τ｜τ0).

圖4給出了股票000002以τ/<τ>為自變量,條件概率密度函數(shù)Pq(τ｜τ0)為因變量的圖像,空心的符號表示τ0來自子集Q4,即重現(xiàn)時間間隔最大的子集,實心的符號表示τ0來自子集Q1,即重現(xiàn)時間間隔最小的子集.可以觀測到,對于較大的τ/ <τ>,τ0∈Q4的Pq(τ｜τ0)要比τ0∈Q1的Pq(τ｜τ0)大,而對于較小的τ/<τ>,τ0∈Q4的Pq(τ｜τ0)要比τ0∈Q1的Pq(τ｜τ0)小,在其它股票中也觀測到類似的現(xiàn)象.說明較小的重現(xiàn)時間間隔τ0之后更趨向于出現(xiàn)一個小的重現(xiàn)時間間隔,而大的重現(xiàn)時間間隔τ0之后更趨向于出現(xiàn)一個大的重現(xiàn)時間間隔,該結(jié)果表明的波動率的回復(fù)時間間隔具有短期記憶性.

圖4 股票000002的波動率重現(xiàn)時間間隔的條件概率密度函數(shù)Fig.4 Conditional probability distribution function of the scaled return intervals for a representative stock 000002

我們還采用1.4節(jié)介紹的DFA方法,來研究波動率的重現(xiàn)時間間隔的長期記憶性.圖5給出了30只股票的Hurst指數(shù),圓圈表示的是波動率的重現(xiàn)時間間隔的Hurst指數(shù),所有股票的Hurst指數(shù)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.5,說明波動率的重現(xiàn)時間間隔序列具有長期記憶性.方塊表示的是將波動率序列隨機(jī)打亂后,產(chǎn)生的重現(xiàn)時間間隔序列的Hurst指數(shù),大都落到了H=0.5這條線附近,長期記憶性被去除掉了.該結(jié)果表明重現(xiàn)時間間隔序列的長期記憶性可能來源于原始波動率序列的記憶效應(yīng).

2.2 已實現(xiàn)波動率(rea1ized vo1ati1ity)

上文介紹了波動率的重現(xiàn)時間間隔,采用對數(shù)收益的絕對值定義波動率,是金融物理學(xué)中比較常見的定義方法.但波動率的定義多種多樣,研究不同定義下的波動率重現(xiàn)時間間隔的普適性和非普適性特征具有一定意義.在主流經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中,通常用一段時間內(nèi)的價格方差來度量波動率,例如Anderson 等[32]采用日內(nèi)價格對數(shù)收益的平方和定義日度的已實現(xiàn)波動率.借鑒該定義,將t到t-1時間內(nèi)所有交易的對數(shù)收益率的絕對值之和定義為已實現(xiàn)波動率

式中Y(t′)為t到t-1時間內(nèi)t′時刻發(fā)生的交易的成交價.

圖5 上海和深圳證券交易所內(nèi)個股的波動率重現(xiàn)時間間隔的Hurst指數(shù)Fig.5 Hurst exponents for large scales(circles)and small scales(squares)for the stocks in Shanghai and Shenzhen Stock Exchanges

采用在上海證券交易所上市的22只股票2004 年1月到2006年6月的日內(nèi)超高頻數(shù)據(jù),該數(shù)據(jù)包含了這22只股票所有分筆交易的信息,在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了1分鐘的已實現(xiàn)波動率,即每分鐘內(nèi)所有交易的對數(shù)收益率的絕對值之和.圖6比較了采用前一章定義的波動率和已實現(xiàn)波動率的重現(xiàn)時間間隔分布,發(fā)現(xiàn)不同閾值q下已實現(xiàn)波動率的重現(xiàn)時間間隔分布重合性更好,說明已實現(xiàn)波動率的重現(xiàn)時間間隔分布具有更好的標(biāo)度行為.進(jìn)一步研究表明,部分股票的已實現(xiàn)波動率的重現(xiàn)時間間隔分布滿足拉伸指數(shù)分布,能通過KS擬合優(yōu)度檢驗,并且已實現(xiàn)波動率的重現(xiàn)時間間隔也具有短期和長期記憶性[33].

2.3 收益率(return)

股票的收益率直接關(guān)系到價格的漲跌情況,因此研究收益率的重現(xiàn)時間間隔,對股票市場的風(fēng)險估計和管理研究具有比較重要的意義.采用在上交所和深交所上市的20只個股2000年1月至2009 年5月、上證綜指和深證綜指2003年1月至2009 年4月的1分鐘數(shù)據(jù),研究中國股市收益率的重現(xiàn)時間間隔[24].收益率R(t)定義為價格的對數(shù)收益, Y(t)為第t分鐘股票或指數(shù)的價格,則采用1.1節(jié)中的重現(xiàn)時間間隔定義,計算收益率大于閾值q＞0和小于閾值q＜0的重現(xiàn)時間間隔.圖7給出了上證綜指和深證綜指在不同閾值下的重現(xiàn)時間間隔分布,可以看出閾值為負(fù)和閾值為正的分布是重合的,因此分布具有式(14)的標(biāo)度率行為.

圖6 股票600028的波動率(左)和已實現(xiàn)波動率(右)的重現(xiàn)時間間隔的概率分布Fig.6 Probability distributions of the return intervals of volatilities and realized volatilities for stock 600028

和波動率的重現(xiàn)時間間隔分布不同,收益率的重現(xiàn)時間間隔尾分布呈冪律分布形態(tài).假設(shè)收益率的重現(xiàn)時間間隔的尾分布滿足冪律分布

我們將不同閾值下q的標(biāo)度重現(xiàn)時間間隔τ/<τ>合并,用Newman[27]的極大似然估計方法估計它們共同的擬合分布參數(shù),然后用KS擬合優(yōu)度檢驗方法檢驗不同閾值的尾分布是否和它們共同的擬合分布一致.表2(見下頁)羅列了對上證綜指、深證綜指和20只個股的p- value值.在1%的顯著水平下,若采用KS統(tǒng)計量,上證綜指通過擬合優(yōu)度檢驗,若同時采用KS和KSW統(tǒng)計量,上證綜指和16只個股通過擬合優(yōu)度檢驗,說明對于大多數(shù)股票,收益率重現(xiàn)時間間隔的尾分布具有標(biāo)度率,且分布服從冪律分布.

研究還發(fā)現(xiàn)閾值q和重現(xiàn)時間間隔的均值<τ>存在冪律關(guān)系

圖7 上證綜指(SSEC)和深證綜指(SZCI)收益率的重現(xiàn)時間間隔分布Fig.7 Probability distributions of the recurrence intervals of returns for SSEC and SZCI

上證綜指和深證綜指收益率的重現(xiàn)時間間隔均值和閾值關(guān)系如圖8(見下頁)所示,該結(jié)果和同一時期發(fā)表在《美國科學(xué)院院報》上的一篇文章的結(jié)果一致[34].并結(jié)合條件重現(xiàn)時間間隔<τ｜τ0>的結(jié)果,提出了一個風(fēng)險估計模型

表2 上證綜指、深證綜指和20只個股的KS擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果Tab.2 KS-goodness-of-fit test for the individual stocks in Shanghai and Shenzhen Stock Exchanges

圖8 上證綜指和深證綜指收益率的重現(xiàn)時間間隔均值和閾值關(guān)系Fig.8 Reciprocal of mean recurrence interval 1/<τ>as a function of absolute threshold ｜q｜for SSEC and SZCI

圖9 上證綜指理論模型和實證數(shù)據(jù)的條件損失概率的等高圖Fig.9 Contour maps of theoretical loss probability and empirical loss probability

2.4 交易量(trading vo1ume)

最近,重現(xiàn)時間間隔的研究拓展到交易量的研究中[25-26],并從時間間隔角度考察了大波動和大交易量的關(guān)系[25].采用在上交所和深交所上市的20只個股2000年1月至2009年5月、上證綜指和深證綜指2003年1月至2009年4月的1分鐘數(shù)據(jù),分析中國股市交易量的重現(xiàn)時間間隔[25].研究發(fā)現(xiàn),交易量的重現(xiàn)時間間隔尾分布也服從式(18)的冪律分布,如圖10所示,并采用KS擬合優(yōu)度檢驗和Cv M擬合優(yōu)度檢驗驗證了尾分布的冪律形式.相關(guān)研究還表明,交易量的重現(xiàn)時間間隔序列也具有短期記憶性和長期記憶性.

我們還進(jìn)一步考察了大交易量時間間隔和大波動時間間隔的同步性,用閾值q定義交易量的重現(xiàn)時間間隔,Q定義波動率的重現(xiàn)時間間隔.圖11(見下頁)給出的是大波動和大交易量具有相同時間間隔周期的概率,相同波動率閾值Q下交易量閾值q越大,時間間隔同周期的概率越大,說明大波動通常伴隨大交易量同時出現(xiàn).

圖10 上證綜指(SSEC)和深證綜指(SZCI)交易量的重現(xiàn)時間間隔分布Fig.10 Probability distributions of the recurrence intervals of trading volumes for SSEC and SZCI

3 微觀模型模擬結(jié)果

本節(jié)將采用委托驅(qū)動市場模型[35],模擬產(chǎn)生股票的價格序列,并運用該價格序列分析收益率的重現(xiàn)時間間隔.首先簡單描述一下模型的定義和幾個相關(guān)參數(shù).委托驅(qū)動市場模型是基于交易所內(nèi)連續(xù)委托競價的交易模式提出的,其構(gòu)型和實際市場非常接近:市場內(nèi)有若干個經(jīng)紀(jì)人(agent),每個經(jīng)紀(jì)人根據(jù)各自的策略遞交委托訂單,每個訂單包含委托方向(買或者賣)、委托價格和委托量的信息,所有經(jīng)紀(jì)人的委托指令被存儲在指令簿(order book)內(nèi),系統(tǒng)會根據(jù)指令簿內(nèi)的委托訂單信息撮合成交,成交價格即當(dāng)前股票的價格.

該模型的委托訂單包含三方面的信息,首先我們將經(jīng)紀(jì)人的委托量簡化為一個基本單位,即每人每次可以買賣一股股票,經(jīng)紀(jì)人委托訂單的另外兩方面信息由參數(shù)Hs和Hx決定,Hs用來度量委托方向的記憶性,Hx用來度量委托價格與指令簿最優(yōu)價格的相對價格的記憶性.通過調(diào)節(jié)參數(shù)Hs和Hx,可以觀測模擬價格的動力學(xué)演化過程,研究不同參數(shù)域下收益率的重現(xiàn)時間間隔.

圖11 上證綜指(SSEC)和深證綜指(SZCI)大波動和大交易量的時間間隔關(guān)系Fig.11 Probability of volume intervals conditioned on large volatilities｜r｜＞Q for SSEC and SZCI

圖12給出了Hx=0.75和Hs=0.5時,模擬價格的收益率的重現(xiàn)時間間隔分布,分布的中間部分呈現(xiàn)出冪律分布的形態(tài),類似于實證數(shù)據(jù)的冪律分布.分布的尾巴部分衰落得比較快,這可能是由于體系的有限尺度效應(yīng)引起的.結(jié)合上述的兩種分布形態(tài),假設(shè)模型收益率的重現(xiàn)時間間隔分布滿足以下分布

采用Newman[27]的極大似然估計方法估計分布參數(shù),發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)α和參數(shù)Hs沒有顯著的關(guān)系,和參數(shù)Hx呈線性關(guān)系,如圖13所示.

進(jìn)一步假設(shè)冪指數(shù)α與參數(shù)Hs和Hx存在線性關(guān)系

采用最小二乘法得到的線性回歸系數(shù)為β1= 0.665,β2=-0.017.參數(shù)Hx前的系數(shù)在1%的顯著水平下顯著不為零,Hs前的系數(shù)在1%的顯著水平下不顯著不為零,這和圖13的結(jié)果一致.分布的冪指數(shù)α與參數(shù)Hs線性相關(guān),而參數(shù)Hs決定了收益率(大于零的單側(cè)收益率)原始序列的記憶效應(yīng),進(jìn)一步證實了收益率的重現(xiàn)時間間隔分布和原始序列的記憶性相關(guān).

圖13 委托驅(qū)動市場模型的重現(xiàn)時間間隔分布的α指數(shù)與Hs和Hx參數(shù)的關(guān)系Fig.13 Scaling exponentαof the recurrence intervals generated from an order-driven model as a function of the variables Hsand Hx

4 結(jié) 論

本文采用中國股市的高頻數(shù)據(jù),對中國金融市場大波動極端事件的重現(xiàn)時間間隔進(jìn)行研究.首先介紹了重現(xiàn)時間間隔的概念和基本理論,并介紹了考察重現(xiàn)時間間隔分布和記憶效應(yīng)的幾種分布檢驗和關(guān)聯(lián)測度方法,例如KS和KSW擬合優(yōu)度檢驗、條件概率分布和DFA方法.本文對波動率、已實現(xiàn)波動率、收益率和交易量的重現(xiàn)時間間隔進(jìn)行了實證分析,揭示了重現(xiàn)時間間隔分布的非高斯特征,采用擬合優(yōu)度檢驗方法確立了收益率和交易量重現(xiàn)時間間隔的冪律尾分布形式,進(jìn)一步驗證了重現(xiàn)時間間隔的短期和長期記憶特性,從重現(xiàn)時間間隔分析的角度揭示大波動和大交易量之間的協(xié)同關(guān)系,并基于收益率重現(xiàn)時間間隔分析,提出了VaR風(fēng)險估計模型.本文還運用委托驅(qū)動的微觀模型,研究大波動極端事件重現(xiàn)時間間隔的動力學(xué)機(jī)理,發(fā)現(xiàn)重現(xiàn)時間間隔的分布和價格波動序列的記憶性相關(guān),證實記憶效應(yīng)在大波動極端事件研究中的重要性.

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Recurrence interval analysis of complex financial systems

RENΝei, GUGao-feng, JIANGZhi-qiang, ZHOUWei-xing
(School of Busimess,East Chima Umiversity of Sciemce amd Techmology,Shamghai 200237,Chima)

This paper uses the methods of complex science,and studies the statistical properties of probability distribution and memory effect of the recurrence intervals,defined as the intervals between extreme events in financial markets.Relatively accurate analysis is performed by using various goodness-of-fit tests and memory effect detecting methods.The application of the recurrence interval analysis in financial complex systems is systematically introduced,including the empirical studies of recurrence intervals of volatilities,realized volatilities,returns and trading volumes. Based upon this study,we perform a primarily risk estimation for the stock market.Furthermore, an order driven model is introduced.The dynamics of the recurrence intervals between extreme events is studied by mimicking the order submission process of the investors in stock markets.This work may provide a theoretical foundation for the risk estimation and avoiding of extreme events in the Chinese stock market.

ecomophysics；extreme evemts；recurremce imterval amalysis；fimamcial risk

F 830.91文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

1007-6735(2011)05-0433-11

2011-09-16

任 飛(1980-),女,副教授.研究方向:金融復(fù)雜系統(tǒng)、金融工程、金融風(fēng)險控制與監(jiān)管. E-mail:fren@ecust.edu.cn