葛建華

（南通市如東高級(jí)中學(xué)，江蘇 南通 226400）

課堂教學(xué)的本質(zhì)是“對(duì)話”與“合作”，課堂提問作為師生課堂對(duì)話的主要形式，不僅可以檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)掌握情況，更重要的是能夠引發(fā)學(xué)生對(duì)問題的思考，從而達(dá)到促進(jìn)學(xué)生問題意識(shí)的形成和實(shí)踐能力的發(fā)展，有利于后續(xù)教學(xué)活動(dòng)的展開。有效追問，作為課堂提問的一種重要形式，能激活學(xué)生思維，引發(fā)學(xué)生深度思考，推動(dòng)學(xué)生思維創(chuàng)新，有效追問就像一條不斷延伸的紐帶，使教學(xué)活動(dòng)串成一個(gè)和諧整體，將課堂變成一個(gè)富有活力的對(duì)話陣地，能有效地吸引學(xué)生，引起學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生去積極思維，主動(dòng)探求知識(shí)。那么，在課堂教學(xué)中，如何實(shí)現(xiàn)有效追問呢？下面筆者擬結(jié)合蘇教版數(shù)學(xué)必修二p25《異面直線》的公開課教學(xué)經(jīng)歷，談?wù)勛约旱淖龇ㄅc體會(huì)，和同行共同探討。

一、知識(shí)回顧后追問，引入教學(xué)話題

上課伊始，給出問題：前面我們學(xué)習(xí)了空間兩直線的位置關(guān)系，請(qǐng)大家回顧一下，空間兩直線有怎樣的位置關(guān)系？

生：平行、相交、異面。

師：其中，異面直線是如何定義的？

生：我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩直線叫異面直線。

師：很好?。ㄗ穯枺┊惷嬷本€對(duì)我們來說，是個(gè)“新生事物”。對(duì)這個(gè)“新生事物”，你有怎樣的想法？或者說，你準(zhǔn)備如何對(duì)它開展研究？

生：我想從如何判斷兩直線是否為異面直線開始研究。

[特級(jí)教師點(diǎn)評(píng)]通過追問引出課題，不僅僅是要讓學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，更重要的是教給學(xué)生學(xué)習(xí)和研究問題的意識(shí)和方法。

二、通過追問，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法建構(gòu)

問題情境：如何判定（證明）空間兩直線是否為異面直線？

追問：通過前面的學(xué)習(xí)，你有哪些方法？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)依據(jù)：①空間直線的位置關(guān)系分類：不平行、不相交（排除法）。②異面直線的定義。結(jié)合具體的例子讓學(xué)生思考如何操作：

問題：在長方體中ABCD-A1B1C1D1，哪些棱所在直線與直線A1C是異面直線？

生：顯然所有的棱都與直線A1C不平行，因此只需剔除與直線A1C相交的棱，即剔除過點(diǎn)A1和C的6條，剩下的都是。

師（追問）：以棱為例，我們已經(jīng)得到直線與異面，如何證明？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用排除法，即排除平行和相交的情形。此時(shí)，進(jìn)一步追問：還有沒有其他方法？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)還可以用異面直線定義來證明。

此時(shí)追問：異面直線的定義是“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩直線”，如何證明直線AB與A1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)？

引導(dǎo)學(xué)生提煉出反證法的基本步驟：反設(shè)→歸謬→得出正確結(jié)論，并利用反證法證明該問題。

得出異面直線判定定理之后，再請(qǐng)學(xué)生依據(jù)判定定理在圖1中尋找與BD1異面的直線。

學(xué)生得出答案后，再次追問：解題的關(guān)鍵是什么？學(xué)生發(fā)現(xiàn)尋找合適的基礎(chǔ)平面α是關(guān)鍵。

[特級(jí)教師點(diǎn)評(píng)]通過追問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提煉解決問題的方法，能洞察問題的本質(zhì)，讓學(xué)生的思維活動(dòng)有深度、有廣度，有效活化學(xué)生思維，課堂因此變得更具活力。

三、通過追問，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程

師：給出兩直線是異面直線，對(duì)它們之間的關(guān)系能否進(jìn)一步刻畫？

要求學(xué)生用兩只筆擺成異面直線形狀，并通過位置變化（仍保持為異面直線）探求其內(nèi)部關(guān)系。

通過模型顯示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩條異面直線也可形成大小不同的“角”，兩條異面直線也可以形成不同的“距離”，此時(shí)追問：如何尋找一個(gè)合適的幾何量來刻劃兩條異面直線之間的傾斜程度和遠(yuǎn)近程度呢?讓我們先考慮異面直線的“角”。

學(xué)生意識(shí)到轉(zhuǎn)化為平面角（降維方法，化歸思想），從而生成異面直線所成角的定義：如圖3，為異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)，作a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成角（銳角或直角）叫做異面直線a，b所成角。

追問：異面直線所成角定義中點(diǎn)O是任意選取的，能保證角的大小唯一嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用等角定理即可說明。

二次追問：根據(jù)定義，異面直線所成角應(yīng)在怎樣的范圍內(nèi)？[0°，90°]。

再次追問：一般地，如何求兩異面直線所成角？平移直線。

拓展追問：在平面幾何中，我們是如何定義兩直線垂直的？作為異面直線，你認(rèn)為它們有可能垂直嗎？如果可以，怎樣定義合理？

[特級(jí)教師點(diǎn)評(píng)]“學(xué)成于思，思源于疑”。通過追問，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生始終處于憤悱狀態(tài)，讓學(xué)生在解決問題的過程中體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，在潛移默化中掌握數(shù)學(xué)思想方法。

知能訓(xùn)練，給出問題：已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體（圖4）。

①正方體內(nèi)哪些棱所在直線與直線BC1是異面直線？

②求異面直線AA1與BC1所成角。

③求異面直線BC1與AC所成角。

學(xué)生練習(xí)，巡視指導(dǎo)。在學(xué)生給出答案后，再追問：你能給出異面直線所成角的求角步驟嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)需經(jīng)歷作→證→算→結(jié)論的過程。其中，異面直線所成角的平面角是如何作出的？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的選擇是關(guān)鍵，通常在其中一直線上或利用中點(diǎn)（中位線）來作。

最后，通過設(shè)問讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法？

知識(shí)：①異面直線判定（證明）方法；②異面直線所成角；③思想方法：化歸思想、排除法、反證法。

拓展延伸（追問）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家對(duì)異面直線的判定和異面直線所成角有了清晰的認(rèn)識(shí)。在學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)異面直線間的位置刻畫除了“角”，還有“距離”，那么，異面直線間的距離又該如何刻畫呢？這個(gè)問題留給大家作為研究性學(xué)習(xí)課題。

[特級(jí)教師點(diǎn)評(píng)]盧梭曾經(jīng)說過：“問題不在于告訴他一個(gè)真理，而在于教他怎樣去發(fā)現(xiàn)真理?！庇行У臄?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是教師啟發(fā)（追問）與學(xué)生探究相統(tǒng)一的過程。追問的時(shí)機(jī)是學(xué)生處于“憤與悱”的心理狀態(tài)，追問的目標(biāo)是“舉一反三”，追問的原則是“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”，從而使學(xué)生處于主動(dòng)地位（學(xué)生主動(dòng)思考到“憤”與“悱”的狀態(tài)），而不是被動(dòng)地位（學(xué)生被教師的一系列問題所牽制）。教師追問的問題應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征，要“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”，揭示探索的思考過程，將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài)。通觀本堂課，教者以思維訓(xùn)練為主線，以知識(shí)延展為手段，滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過追問的形式，有效激發(fā)學(xué)生活力，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

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[3]繆林.淺析數(shù)學(xué)課堂中的一題多變[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2008（7）.

[4]陳唐明.和諧互動(dòng) 教學(xué)相長[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（10）.