李繼軍

（上海市松江區(qū)教師進修學院，上海 200000）

“動手實踐”作為新課程倡導的重要學習方式之一，它越來越受到廣大數學教師的重視。實踐表明，動手操作和實踐過程能刺激學生的知覺，豐富學生的感性認識與表象，能促進學生在做中主動探索知識，從而感悟與建構數學知識。但在引導學生通過動手操作進行建構知識和探究規(guī)律的過程中，還存在著一些認識和實踐上的偏差。其中一個突出的問題是，學生的動手操作活動往往只是按照教師的“指令”行動，缺少應有的數學思考和實踐反思。這樣的操作活動，正如我國著名特級教師顧汝佐先生所稱的——學生只是做了“操作工”，往往是動手不動腦，“活動了身體而休息了大腦”，在很大程度上是一種“假探究”。下面以“圓的周長”教學的三個片斷為例，談談如何引導學生從單純的“操作工”成為真正的“探究者”。

一、從“教師直接發(fā)出操作具體指令”到“先讓學生提出操作活動設想”

【片斷描述】

對于如何引導學生進行探究活動，該教師分為兩個層次加以引導：一是圓的周長的長短與什么因素有關？教師出示3個直徑不同的圓（圖略），提問：①你認為哪個圓的周長最長？哪個最短？②你認為圓的周長取決于圓的什么？通過學生的回答老師歸結引導為“圓的周長與它的直徑有關。直徑長，該圓的周長就長；直徑短，該圓的周長就短。”二是圓的周長與直徑之間究竟有何關系？教師請各小組拿出事先準備好的硬幣、鐵環(huán)、圓瓶蓋和圓形厚紙片，選擇合適的方法測量出它們的周長和直徑，填在相應的“學習單”中（見下表1前3列內容要求），為下一環(huán)節(jié)引導學生觀察、發(fā)現規(guī)律作好準備。

【問題探討】

引領學生經歷圓的周長計算公式的探究過程，是本課教學的一個重要目標。教師根據教學內容的特點采用探究學習的方式，符合規(guī)則學習的內在要求。本教學片斷中有兩點值得肯定：一是教師通過有層次的引導明確探究的問題指向，即圓的周長與直徑直接相關。這一教學法處理體現了數學的研究意識。二是“學習單”的使用，為學生通過動手測量活動所直接獲取的數據，提供了比較恰當的載體，便于學生下一步的觀察與發(fā)現。但該教學中存在著一個較大的缺陷：即探究圓的周長與直徑之間究竟有何關系，是教師直接發(fā)出了操作的具體“指令”，學生只是根據相關“指令”進行圓形物體的周長與直徑的測量。這種操作活動沒有學生的探究需要和預先的實踐思考，學生僅僅是按照教師的指令“操作”而已。顯然，這樣的操作活動往往只是停留在形式上，學生更多表現的是“操作工”角色，而不是動手實踐活動中的積極“思考者”和“探究者”。

【教學重建】

改進的關鍵就是促進動手操作活動成為學生探究“圓的周長與直徑之間的關系”所需，來自于觀察與發(fā)現所依賴的研究數據所需。當老師提出“圓的周長與直徑之間究竟有何關系”這一探究性問題以后，教師要給予學生一定的思考時間，重在引導學生自己提出研究的設想：要研究兩者之間的關系，我們可以選擇幾個直徑不等的圓，測量出它們的周長和直徑，看看它們之間到底有何規(guī)律。只有真正引發(fā)了學生進行數學思考的實踐活動，退一步講，即使學生沒有提出操作活動的設想，那也是有教學價值的，至少學生經歷了適度的挫折，引發(fā)了必要的反思。在此基礎上，教師再進行一定的引導：為了便于測量，大家可以使用圓形的物體，把測量的結果填在相應的“學習單”中。可見，從“教師直接發(fā)出操作具體指令”到“先讓學生提出操作活動設想”，凸顯了操作活動的目的，促進了學生學習角色的轉變，成為探究活動的主動參與者。

二、從“教師直接告知觀察的視點”到“提升觀察與發(fā)現規(guī)律的空間”

【片斷描述】

當學生按照教師的要求完成測量后，教師向學生提醒道：“別忘了把周長除以直徑得到的商填在表格中，得數可以保留兩位小數。觀察這些數據，你有何發(fā)現？”當然，一部分學生已根據“學習單”上的提示完成填表，剩下的同學在教師的提醒下完成。經過反饋交流，教師選擇了四個具體物品數據填寫在下面表格（如表1），并引導學生觀察發(fā)現：“你們發(fā)現周長與直徑有何關系？”通過小組交流，大家的意見趨于一致：圓的周長總是直徑的3倍多一點。在此共識下，教師引出圓周率這一概念以及簡要介紹我國古代數學家祖沖之的貢獻，順利推導出圓周長的計算公式：圓周長=圓周率×直徑，并用字母表示為c=仔d或c=2仔r。

表1

【問題探討】

面對學生測量獲得的數據，教師在“學習單”中所給予的直接提示，隨后當學生在完成測量后又進行及時提醒。其目的就是把觀察的視點及時告知學生，使學生能順利地發(fā)現圓的周長與直徑之間的內在關系：“圓的周長總是直徑的3倍多一點”，從而推導出圓周長的計算公式。但是，在發(fā)現規(guī)律和推導公式的過程中，很大程度上學生成了形式上的發(fā)現者和探究者,還是缺少主動思考和真正發(fā)現的探究歷程和體驗。嚴格來說，其學習方式還是被動的接受式學習。

【教學重建】

根據以上的分析，本教學環(huán)節(jié)可以作這樣的改進：應去掉“學習單”中給予的直接提示和隨后進行的及時提醒，如學習單中以“兩者之間有何關系？”為提示語。這樣，既旨在提升學生思考和探究的空間，又暗示發(fā)現規(guī)律所涉及的關鍵因素，明確思考與發(fā)現的范圍。教學中，如果學生還是不能發(fā)現規(guī)律，這時教師再給予提醒：“把周長除以直徑。觀察得到的商，你有何發(fā)現？”有了這樣的思考與相應的動手操作活動，即使學生沒有成功，那也是具有寶貴的教學價值的，至少學生經歷了觀察、操作、猜想和驗證等一系列數學認識活動。據此“學習單”可以作這樣的改進（如表2）

表2

三、從“讓學生單純的實踐應用”到“引領學生經歷高認知的思維活動”

【片斷描述】

鞏固知識階段，教師設計了實踐活動作業(yè)：拿出一張邊長是5 cm的正方形紙，請學生在圖中畫出一個最大的圓，并求出圓的周長。對于這項實踐性作業(yè)，根據已有的數學活動經驗，絕大多數學生能正確畫出草圖（如圖A），并能正確計算：c=3.14×5=15.7（cm）。教師反饋評講后，又追問圖中正方形周長是多少，學生同樣給予正確解答：c=4×5=20（cm）。

【問題探討】

應該說，教師在鞏固知識階段設計實踐性作業(yè)，既能鞏固所學知識又能促進學生的動手能力和空間觀念的培養(yǎng)，值得稱道。但本題所蘊涵的潛在的教學價值，該教師沒有進行深度挖掘和有效利用：借助圖與計算結果，學生可以根據數學活動經驗，判斷出圓的周長小于正方形的周長，再比較它們的算式，可以說明圓周率一定小于4。繼而教師可以提出一個挑戰(zhàn)性的任務：誰能設計一個問題解決方案——說明圓周率一定大于某數，就比如大于3，引發(fā)學生的積極思考和主動探究。其改進設想的教學價值有兩點：一是改進設想其實體現了數學研究中的構造性思想，它是一種高認知的思維活動。即使學生無法達到設想要求，那也是值得肯定的，至少在教師的啟發(fā)引導下，學生經歷了這種高認知思維的過程。二是從設計活動所期望體現的結果看，足以展現猜測和估計活動對數學研究和探究活動的價值，能對圓的周長計算公式探究活動起到錦上添花之作用。同時對后面圓的面積計算公式的探究學習有著很好的啟示。

圖A

【教學重建】

該怎樣開發(fā)和利用本題所蘊涵的教學價值？以及如何引導學生經歷高認知的數學思維活動呢？教師首先可以結合圖與算式，引導學生從比較中得出圓的周長小于正方形的周長，從而說明圓周率一定小于4。在此基礎上教師提出一個挑戰(zhàn)性的任務：誰能設計一個方案說明圓周率一定大于某數，就比如大于3，引導學生進行相關設計。學生受上面圖示的啟發(fā)以及自身的數學活動經驗，可能提出這樣的設想：

當然，圖B-1和圖B-2，用學生現有數學知識無法得出圓的直徑與正三角形和正方形邊的關系，因而學生無法解答與說明。對此，教師對其設計思路應給予肯定，不應作全盤否定，學生至少經歷了數學思考和操作活動。圖B-3則可用學生現有的知識和經驗加以簡要推理說明：圓的周長大于正六邊形的周長。設圓的直徑為d，圓周長=仔d；由于正六邊形分割后的6個圖形都是相同的等邊三角形，邊長為d，則正六邊形的周長為3d。因而說明圓周率一定大于3。從中我們得出圓周率介于3～4之間。這樣，通過構造圖形從估算角度進一步驗證圓周率的數值范圍，引領學生體驗數學探究與發(fā)現的一種常用思想和策略。這種構造性思想方法及其探究關系的分析、推理活動，對六年級學生來說無疑是高認知的思維活動。

總之，“數學教學是數學活動的教學”，重視教學過程的活動化設計，這是改善教與學方式的有效策略之一。加強動手操作活動是改進教學、提高教學有效性的重要策略。需指出的是，“數學操作活動”不是指單純的肢體運動，而是指觀察、實驗、操作、歸納、類比、猜想、推理、驗證、交流、反思等一系列的數學認識活動。數學思維應當是數學操作活動之“靈魂”。只有引導學生經歷思維、經歷發(fā)現、經歷解決過程的實踐操作和自主探究，才是有效的教學，學生才能成為真正的探究者。

[1]顧汝佐.不要讓學生做“操作工”[J].小學數學教師，2001（9）.

[2]吳相會.合作學習中課程資源的有效運用[J].小學教學參考（數學版），2010（5）.

[3]李繼軍.從關注教學細節(jié)入手改進教學行為例談[J].中小學教師培訓，2009（5）.