孫勝男，陳健云，蘇志彬

(1. 聊城大學 建筑工程學院，山東 聊城，252059；2. 大連理工大學 海岸與近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連，116024)

錨索是懸浮隧道的重要構件，其動力特性對懸浮隧道的正常運營至關重要。前期工作表明：懸浮隧道錨索在參數激勵、渦街等作用下可能發(fā)生大幅振動[1-5]。然而，懸浮隧道是一種新興的交通方案，目前關于錨索振動控制的研究幾乎沒有，與錨索受力性質相似的斜拉索的振動控制研究相對較多。Pacheco等[6]用 Galerkin方法建立索-油阻尼器系統(tǒng)的振動常微分方程，得到使斜拉索各階模態(tài)阻尼達到最大阻尼系數和最大模態(tài)阻尼比的通用設計曲線。Tabatabai等[7]考慮斜拉索的抗彎剛度和垂度的影響，用差分方法得到索-阻尼器系統(tǒng)的面內振動模態(tài)阻尼比及最優(yōu)阻尼器系數。Main等[8-9]對系統(tǒng)的頻率變化進行分析，研究斜拉索的振幅、模態(tài)階數對最優(yōu)阻尼的影響。Johnson等[10-11]對斜拉索–MR阻尼器系統(tǒng)的半主動控制進行研究。Wang等[12-13]研究黏性阻尼器和磁流變阻尼器對斜拉索的振動控制。鄔喆華[14]基于位移和速度反饋對斜拉索進行半主動控制的數值仿真計算。本文作者采用在錨索近端部施加黏彈性阻尼器來控制錨索的振動，根據懸浮隧道錨索的特點，以考慮Irvine參數[15]的錨索和黏彈性阻尼器組成的系統(tǒng)為研究對象，建立錨索-黏彈性阻尼器的振動方程，通過伽遼金法得到系統(tǒng)的振動常微分方程，然后進行復特征值分析，得到錨索可能達到的最優(yōu)阻尼比以及相應的最優(yōu)阻尼器系數，分析錨索的傾角和垂度對錨索最優(yōu)阻尼比的影響。

1 錨索-黏彈性阻尼器系統(tǒng)的數學模型

1.1 振動方程

錨索-黏彈性阻尼器系統(tǒng)的數學模型如圖1所示。錨索在靜力荷載作用下的平衡狀態(tài)為振動分析的初始構形，表示為Z=[x(s) y(s)]T，s為弧長坐標。錨索的動力響應以初始構形為參考構形，表示為：

其中：t 為時間。

由Hamilton原理建立系統(tǒng)的能量方程：

圖1 錨索-阻尼器振動模型Fig.1 Tether-damper vibration model

式中：δ為變分符號；t1和t2分別為時間上限和下限；L為錨索無應力狀態(tài)的長度；Q為動能密度；V為彈性應變能密度；δW為外力作用下的虛功密度。

式中：m為錨索單位長度質量；Vi為初始構形的彈性應變能密度；E為錨索的彈性模量；A為錨索橫截面積；ε為Lagrangian應變；T0為靜力狀態(tài)下錨索的張力；FM為阻尼器作用在索上的力，FM=[FMxFMy]T；δ(·)為 Dirac delta函數；zd為圖 1所示的阻尼器位置；c為錨索的黏性阻尼系數，c=diag[cxcy]。

假定錨索的初始構形為二次拋物線，即滿足

將式(2)～(6)代入式(1)，略去靜載的平衡項、高階微量，z向運動的小量，得：

式中：FD為錨索振動時，水體對其單位長度上的作用力；γf為錨索的浮容重；Vs為錨索單位長度的體積；H0為沿 z向的錨索初張力，T0≈H0；LE為靜力作用下錨索的長度；f為錨索跨中垂度；θ為錨索的傾角。

式(7)和式(8)分別為面內、面外振動方程，由于2個方程類似，本文僅對式(7)進行分析。

由Morison公式，錨索振動時水體對其單位長度上的作用力[3]為：

式中：Dt為錨索的直徑；ρw為水的密度；Cm為附加質量系數，取Cm=1；CD為拖拽力系數，取CD=0.7。

式中：σu˙為u˙的方差。

阻尼器對錨索的作用力 FMx由幾何變換關系可得：

式中：α為阻尼器傾角；Cd為阻尼器系數。

最終式(7)變?yōu)椋?/p>

式中：m為錨索單位長度質量和水體附加質量之和。

取錨索的振動模態(tài)為標準弦的振動模態(tài)，即

用伽遼金法將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠蹋?/p>

式中：[M1]和[M2]分別為錨索的質量矩陣和附加質量矩陣；[C1]，[C2]和[C3]分別為錨索的阻尼矩陣、水體提供的阻尼矩陣和阻尼器提供的阻尼矩陣；[K1]和[K2]分別為初張力、動張力提供的等效剛度矩陣。

1.2 方程求解

設方程的解有如下形式：

將式(21)代入式(17)，消去共因子后，得：

其中：{u}=[u1，u2，…，un]T。

當且僅當 det|(η2[M]+η[C]+[K]|=0 時，方程(22)具有非平凡解。當η為2n次時，可以確定2n個特征值ηi(1，2，…，2n)。

引入恒等式：

與式(17)聯立后，寫為：

令

代入式(24)得：

這一方程具有非零解的條件是det|ηA+B|=0。用雙重步QR算法求解，可得到系統(tǒng)的2n個成對的共軛復特征值，第i對復特征值的實部和虛部分別對應系統(tǒng)的第i階振型的2個信息，即阻尼比和頻率。

對于面外振動式(8)的求解只要令[K2]矩陣為 0，其他求解過程與面內振動式(7)的求解過程相同。

本文根據上述理論，在MATLAB里編制了錨索–阻尼器系統(tǒng)動力求解程序，并用此程序進行數值分析。

2 數值算例及結果分析

錨索安裝阻尼器后，由于集中阻尼力的作用，錨索的振型和無阻尼器錨索的振型是不同的。當阻尼器提供的阻尼力為0時，錨索的振型和無阻尼器錨索振型一樣。而當阻尼器阻尼趨于無窮大時，該點成為支點，相當于錨索變短，固有頻率增大，阻尼的量變引起振動形態(tài)的質變，阻尼器不耗散能量，從而錨索也就得不到有效的減振。因此，為使錨索得到很好的振動控制，必須選擇最優(yōu)的阻尼值。

為使結果便于討論，引進以下無量綱參量[6,15]：

式中：λ2為反映錨索垂度及拉伸性能的無量綱參數；Bi為與錨索振動模態(tài)有關的黏彈性阻尼器阻尼系數的無量綱參數；ω01為不考慮垂度影響時無阻尼錨索的面內一階振動頻率。

懸浮隧道的基本參數取值如表1所示。

表1 懸浮隧道的基本參數Table 1 Basic parameters of submerged floating tunnel

2.1 錨索的最大模態(tài)阻尼比及最優(yōu)阻尼器系數

安裝阻尼器后，錨索達到最優(yōu)阻尼比時阻尼器系數的取值，可以為阻尼器的設計提供依據。本節(jié)取阻尼器傾角 α為 45°，阻尼器作用位置到索端的距離和整根錨索的比zd/L=0.030 9，錨索傾角為60°，不斷改變阻尼器系數以求出系統(tǒng)可能達到的最優(yōu)阻尼比。分別計算了錨索面內、外前4階模態(tài)，結果如圖2所示。

錨索的模態(tài)阻尼比由2部分組成：一為水體提供的模態(tài)阻尼比，二為阻尼器提供的模態(tài)阻尼比。由圖2可以看出：水體提供的面內前四階模態(tài)阻尼比分別為0.031 9，0.017 4，0.011 6，0.008 7；水體提供的面外1階模態(tài)阻尼比為0.037 2，面外2～4階模態(tài)阻尼比和面內2～4階對應的模態(tài)阻尼比相等，垂度使得面內一階模態(tài)阻尼比比面外一階模態(tài)阻尼比稍小。

為了更加清晰地了解阻尼器提供的最優(yōu)模態(tài)阻尼比，本文僅考慮阻尼器提供的阻尼，不考慮水體提供的阻尼，研究系統(tǒng)可能達到的最優(yōu)阻尼比，如圖 3所示。

由圖3可以看出：阻尼器提供的面內一階模態(tài)最優(yōu)阻尼比為0.012 5，面內高階及面外模態(tài)最優(yōu)阻尼比均為0.017 0左右；達到最優(yōu)的阻尼比時，面內一階模態(tài)的 Bi為 0.1，而面內高階模態(tài)和面外模態(tài)的 Bi為0.11。雖然各階模態(tài)達到最優(yōu)阻尼比時的Bi相近，但是由式(29)可知：最優(yōu)阻尼器系數Cd的值是不同的，模態(tài)階數越高，對應的最優(yōu)阻尼器系數Cd就越小。所以，在設計阻尼器時應首先確定錨索欲控制的模態(tài)階數，以便得到最好的控制效果。

2.2 錨索傾角對錨索最優(yōu)模態(tài)阻尼比的影響

圖4所示為水體和阻尼器共同作用下錨索最優(yōu)模態(tài)阻尼比與錨索傾角的關系，本節(jié)取阻尼器傾角α為45°，zd/L=0.030 9。

從圖4可以看出：錨索的面內一階模態(tài)最優(yōu)阻尼比隨著傾角的增大而逐漸增大，而錨索的面內高階模態(tài)和面外模態(tài)最優(yōu)阻尼比隨著傾角增大沒有明顯的變化?？梢婂^索傾角的改變只會影響錨索的面內一階模態(tài)最優(yōu)阻尼比，而對錨索的高階模態(tài)及面外模態(tài)最優(yōu)阻尼比沒有影響。

2.3 錨索垂度對錨索最優(yōu)模態(tài)阻尼比的影響

圖5所示為水體和阻尼器共同作用下錨索最優(yōu)模態(tài)阻尼比和錨索垂度的關系，本節(jié)取阻尼器傾角α為45°，zd/L=0.030 9，通過改變錨索的傾角改變垂度。

圖2 模態(tài)阻尼比和Bi的關系Fig.2 Relationship between modal damping ratios and Bi

圖3 阻尼器單獨作用時模態(tài)阻尼比與Bi的關系Fig.3 Relationship between modal damping ratios and Bi under damper

圖4 模態(tài)最優(yōu)阻尼比與傾角的關系Fig.4 Relationship between optimal modal damping ratios and inclination

圖5 模態(tài)最優(yōu)阻尼比與垂度的關系Fig.5 Relationship between optimal modal damping ratios and sag

從圖5可以看出：隨著錨索垂度增大，面內一階模態(tài)最優(yōu)阻尼比逐漸減小，而錨索的面內高階模態(tài)和面外模態(tài)最優(yōu)阻尼比沒有明顯的變化。

3 結論

(1) 建立懸浮隧道錨索–黏彈性阻尼器系統(tǒng)的數學模型，以此為基礎得出錨索-黏彈性阻尼器的振動方程，然后通過復特征值分析得到錨索的最優(yōu)模態(tài)阻尼比。

(2) 錨索各階模態(tài)達到最優(yōu)阻尼比時對應的最優(yōu)阻尼器系數不同。模態(tài)階數越高，對應的最優(yōu)阻尼器系數越小。設計阻尼器時應首先確定錨索欲控制的模態(tài)階數，以便得到最好的控制效果。

(3) 錨索垂度的存在，使得錨索的面內一階模態(tài)最優(yōu)阻尼比比面內高階模態(tài)和面外模態(tài)稍小，而面內高階模態(tài)和面外模態(tài)的最優(yōu)阻尼比基本相同。

(4) 對于水體提供的錨索模態(tài)最優(yōu)阻尼比，面內面外均以一階模態(tài)的為大。隨著模態(tài)的增大，水體提供的最優(yōu)模態(tài)阻尼比逐漸減小。

(5) 錨索的面內一階模態(tài)最優(yōu)阻尼比隨著錨索傾角的增大而增大，隨錨索垂度的增大而減小。

(6) 錨索傾角、垂度的變化僅影響錨索的面內一階模態(tài)最優(yōu)阻尼比，對面內高階模態(tài)及面外模態(tài)最優(yōu)阻尼比無影響。

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