孫頡剛，黃興豐

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

一、問題提出

教師的學(xué)科教學(xué)知識（PedagogicalContent Knowledge，簡稱PCK）是近年來教師教育研究的一個熱點問題?！癙CK就是教師開展教學(xué)活動時所具有的獨特知識，這種知識是教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)法的有機(jī)融合，用以說明教師如何選擇特有的課題（問題或?qū)ｎ}等）組織教學(xué)，以適應(yīng)學(xué)習(xí)者多種多樣的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)能力[1]?！?/p>

數(shù)學(xué)教學(xué)知識（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，簡稱MPCK）是關(guān)于特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何進(jìn)行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學(xué)生更容易接受和理解的知識?？梢哉f，MPCK是數(shù)學(xué)教師特有的、影響其專業(yè)成長的關(guān)鍵因素[2]。

對于數(shù)學(xué)教師來說，并非只要具備充足的數(shù)學(xué)知識就能成為一位好的數(shù)學(xué)教師，還需要具有良好的數(shù)學(xué)教學(xué)知識[2]。但是中國的師范教育過于強(qiáng)調(diào)學(xué)科專業(yè)知識的培養(yǎng)而弱化了學(xué)科教學(xué)知識的培養(yǎng)[3]。而且大學(xué)教師仍大多使用講授法，缺少對師范生學(xué)習(xí)過程的細(xì)致研究[3]。

美國Michigan大學(xué)的Ball研究小組把學(xué)科教學(xué)知識界定為三個方面：內(nèi)容和學(xué)生的知識（Knowledge of Content and Student，簡稱 KCS）、內(nèi)容和教學(xué)的知識（Knowledge of Content and Teaching，簡稱KCT）以及課程的知識（Knowledge of Content and Curriculum，簡稱KCC）。對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，KCS是指關(guān)于學(xué)生和數(shù)學(xué)這兩方面的知識交叉組織在一起而形成的一種實踐性知識。比如，估計學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能遇到的困難，考慮學(xué)生對例題習(xí)題的適應(yīng)性等。這些任務(wù)不但需要理解具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且還要理解學(xué)生以及他們的數(shù)學(xué)思維方式。KCT則是結(jié)合了關(guān)于數(shù)學(xué)和教學(xué)這兩方面的知識而形成的實踐性知識。比如，教師如何安排數(shù)學(xué)內(nèi)容的順序，如何設(shè)計課堂引入等，所有這些任務(wù)不但需要教師理解具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且也需要他們理解教學(xué)的原理，并同時把這兩種知識運(yùn)用到具體的教學(xué)任務(wù)中去[4]。

本研究試圖以中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容——函數(shù)作為一個焦點，從教與學(xué)兩方面調(diào)查目前數(shù)學(xué)系師范生函數(shù)教學(xué)知識的狀況，并試圖解釋所得結(jié)論的原因，為師范教育的改革提供一些有益的建議。

二、研究方法

（一）調(diào)查問卷的設(shè)計

在本研究中，問卷測試題的編制分成KCS和KCT兩個維度。由于師范生缺乏教學(xué)實踐，對KCC沒有全面的了解，因此本研究僅調(diào)查師范生的KCS以及KCT。函數(shù)知識又分成三個部分，即概念表征、圖像性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)[5-6]。我們考慮到收集和統(tǒng)計數(shù)據(jù)的簡易性，編制了單項選擇測試題。

為了提高問卷的效度，編寫完成調(diào)查問卷后，我們將調(diào)查問卷以電子郵件的形式發(fā)送給6名專家，包括1名大學(xué)數(shù)學(xué)教師（博士生），2名數(shù)學(xué)教育方向的博士生，1名中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師以及2名中學(xué)高級教師（碩士），經(jīng)過3次討論，確定最后問卷。

（二）測試題的賦值

對于有四個選項的單項選擇題，將答題情況分為4個等級，分別賦值：4分，3分，2分，1分。例如，調(diào)查問卷KCS第6題：

在下列圖像中，學(xué)生最有可能認(rèn)為哪個不是函數(shù)圖像？（只能選擇其中一項，打“√”）

研究表明，學(xué)生常認(rèn)為函數(shù)曲線是光滑的[7]。在四個選項中，選項B中的函數(shù)不可導(dǎo)，有一個尖點，學(xué)生最可能選B作為答案，我們將B賦值為4分。對于選項A中的曲線，由于有一個非極值點的駐點，學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中很少遇到，因此我們將A賦值為3分。對于選項D中的曲線，是單調(diào)、光滑的，學(xué)生選擇它的可能性不大，我們將D賦值為2分。而對于選項C中的曲線，是學(xué)生熟悉的拋物線，他們最不可能選擇C，我們將C賦值為1分。

對于有三個選項的單項選擇題，將答題情況分為3個等級，分別賦值3分，2分，1分。例如，調(diào)查問卷KCS第16題：在剛學(xué)完反函數(shù)的概念之后，如果讓學(xué)生求f(x)=x-1,x∈[1,5]的反函數(shù)，你認(rèn)為學(xué)生最有可能出現(xiàn)的錯誤是哪個？（只能選擇其中一項，打“√”）

用原函數(shù)的值域來表示它反函數(shù)的定義域是教學(xué)的難點。對于選項C，學(xué)生所得反函數(shù)的定義域?qū)懗闪嗽瘮?shù)的定義域，是學(xué)生最可能出現(xiàn)的錯誤，我們將C賦值為3分。對于選項B，學(xué)生誤認(rèn)為f-1(x)=x+1中的x的取值范圍為原函數(shù)x的取值范圍，后將反函數(shù)的定義域誤認(rèn)為是反函數(shù)的值域，學(xué)生也經(jīng)常會犯這種錯誤，我們將B賦值為2分。學(xué)生相對很少出現(xiàn)A中的錯誤，我們將A賦值為1分。

對問卷測試題賦值后，問卷滿分為127分，問卷KCS一共60分，問卷KCT一共57分。為了統(tǒng)計分析的方便，將問卷的實際得分換算成百分制再分析。

（三）研究對象

本研究選取教育部某直屬師范大學(xué)數(shù)學(xué)系三年級139名師范生作為被試。所有被試尚未開始教育實習(xí)，但是幾乎修完了大學(xué)本科階段的主要課程。本次調(diào)查采用不記名形式進(jìn)行測試。測試日期為2010年12月，測試時間為1個小時。發(fā)出問卷139份，實際回收有效問卷139份?；厥照{(diào)查問卷后，對有效問卷進(jìn)行統(tǒng)計，Excel錄入，并用SPSS17.0進(jìn)行分析。

三、研究結(jié)果

（一）師范生關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)知識（MPCK）

經(jīng)過統(tǒng)計分析，最高分為99分，最低分為70分，平均分為88.55分（保留兩位小數(shù)），方差為5.45分，如果將得分換算成百分制，則有60%左右的師范生得分在70-75分之間。問卷每個部分的得分見表1。

利用SPSS對他們的KCS與KCT進(jìn)行兩兩“配對樣本T檢驗”，其結(jié)果見表2。

從表2可看出，師范生的KCS和KCT存在顯著差異（p＜0.001），且KCS的平均分高于KCT的平均分（見表1）。這說明師范生的KCS水平比KCT水平高，并且主要表現(xiàn)在概念表征以及復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)上。

從得分情況來看，經(jīng)過三年的專業(yè)課程學(xué)習(xí)，師范生的函數(shù)教學(xué)知識已經(jīng)有了一定的發(fā)展。該結(jié)果和陳鑫的研究一致，即表明數(shù)學(xué)教育課程是數(shù)學(xué)系師范生MPCK的重要來源之一[8]。許多研究表明，無論是師范生還是教師，MPCK的另一個重要來源是教學(xué)實踐的經(jīng)驗。陳鑫認(rèn)為，教育見習(xí)、實習(xí)是師范生MPCK的重要來源。范良火認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師的MPCK主要來自“自身的教學(xué)經(jīng)驗和反思”及“和同事的日常交流”[9]?？梢?，師范教育中的教育實習(xí)應(yīng)當(dāng)是促進(jìn)師范生發(fā)展MPCK的又一重要環(huán)節(jié)。

然而與西方發(fā)達(dá)國家相比，我國師范生教育實習(xí)的時間相對較短[10]。因此，師范院校應(yīng)適當(dāng)增加師范生教育實習(xí)時間，加強(qiáng)教育實習(xí)環(huán)節(jié)的改革和研究。

（二）師范生函數(shù)與學(xué)生知識（KCS）的分析

問卷的第一部分主要調(diào)查師范生的KCS狀況。師范生的KCS得分情況見表1。利用SPSS將概念表征、圖像性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCS進(jìn)行兩兩“配對樣本T檢驗”，其結(jié)果見表3。

從表3可以看出，師范生概念表征、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCS之間不存在顯著差異（p＞0.05），而師范生圖像性質(zhì)和概念表征的KCS之間存在顯著差異（p＜0.05），圖像性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCS之間也存在顯著差異（p＜0.001）。同時，我們發(fā)現(xiàn)師范生圖像性質(zhì)的KCS平均分最低（見表1）。

已有的研究表明，師范生關(guān)于圖像性質(zhì)的學(xué)科知識明顯高于概念表征、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的學(xué)科知識[5]。但是，在本研究中，我們發(fā)現(xiàn)師范生圖像性質(zhì)的KCS水平卻低于概念表征、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCS。一方面，這說明學(xué)科知識與學(xué)科教學(xué)知識并不是完全對等的，正如我們常?？吹綌?shù)學(xué)好的人并不一定能教好數(shù)學(xué)。另一方面，正因為師范生在概念表征、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)上的學(xué)科知識相對薄弱，因此他們在自身的學(xué)習(xí)中常會碰到困難，這反而加深了他們對此學(xué)習(xí)過程的印象，促進(jìn)了他們對概念誤解的反思，發(fā)展了KCS水平。

（三）師范生函數(shù)與教學(xué)知識（KCT）的分析

問卷的第二部分主要調(diào)查師范生的KCT狀況。這部分的得分情況見表1。利用SPSS對概念表征、圖像性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCT進(jìn)行兩兩“配對樣本T檢驗”，所得結(jié)果見表4。

表1 師范生MPCK得分情況①注：由于問卷各部分得分不一樣，這里采用將得分換成百分制來統(tǒng)一計算，便于分析，下同。

表2 師范生KCS和KCT各部分兩兩對比分析

由表4可知，師范生的概念表征、圖像性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCT兩兩之間都存在顯著差異（p＜0.05），師范生在這三個方面的平均分從高到低依次為圖像性質(zhì)、概念表征、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)（見表1）。也即，師范生圖像性質(zhì)的KCT水平最高，其次是概念表征，而復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCT水平最低。

在上文我們提到，由于概念表征、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)是比較抽象的概念，師范生在概念表征、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的學(xué)科知識水平相對較低[5]，這可能直接影響導(dǎo)致了他們KCT水平的降低。復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)，是函數(shù)概念的深化，比函數(shù)概念更抽象，更難理解，再加上數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)降低了復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的要求，因此師范生在復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCT表現(xiàn)得最低也是合理的。另一方面，圖像性質(zhì)的教學(xué)具有直觀性，對師范生而言也顯得略微容易把握，因此他們的KCT水平表現(xiàn)得高些，也是合理的。

表3 師范生概念表征、圖像性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCS的兩兩對比分析

表4 師范生概念表征、圖像性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCT的兩兩對比分析

四、結(jié) 論

從總體上來看：（1）師范生的KCT水平比KCS水平低，主要表現(xiàn)在概念表征、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)這兩個方面。（2）在KCS領(lǐng)域內(nèi)，師范生關(guān)于圖像性質(zhì)的KCS水平低于其他兩個成分上的水平。（3）在KCT領(lǐng)域內(nèi)，師范生的概念表征、圖像性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的KCT水平存在著顯著差異。

[1]黃毅英，許世紅.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識——結(jié)構(gòu)特征與研發(fā)舉例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（1）：5-9.

[2]童莉.數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的新視角——數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK）[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（2）：23-27.

[3]王建磐.中國數(shù)學(xué)教育：傳統(tǒng)與現(xiàn)實[M].南京：江蘇教育出版社，2009：201-201.

[4]黃興豐.介紹Ball研究小組“數(shù)學(xué)教學(xué)需要的學(xué)科知識”之研究[J].臺灣數(shù)學(xué)教師電子期刊，2009，（18）：32-49.

[5]黃興豐，李士锜，龔玲梅，等.職前中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)知識：以函數(shù)為例[J].數(shù)學(xué)通報，2009，（增刊）：124-131.

[6]黃興豐，龔玲梅，湯炳興.職前后中學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識的比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（6）：46-49.

[7]Vinner S.Concept definition，concept image and the notion of function[J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，1983，14（3）：293-305.

[8]陳鑫.準(zhǔn)教師數(shù)學(xué)教學(xué)知識的調(diào)查研究——以東北師范大學(xué)為個案[D].長春：東北師范大學(xué)，2010.

[9]范良火.教師教學(xué)知識發(fā)展研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003：208-214.

[10]Tatto M T，Lerman S，Novotna J.The organization of the mathematics preparation and development of teachers：a report from the ICMI Study 15[J].Journal of Mathematics Teacher education，2010，13（4）：313-324.