李上釗，廖小蓮

（1.常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500；2.湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖南 婁底 417000）

哲學(xué)是普遍的世界觀和方法論，對(duì)認(rèn)識(shí)世界改造世界具有重要的指導(dǎo)意義。哲學(xué)的方法論可以幫助我們研究數(shù)學(xué)，同時(shí)又可以幫助我們發(fā)現(xiàn)學(xué)數(shù)學(xué)、教數(shù)學(xué)的教育觀念和教學(xué)方式。馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為，事物是普遍聯(lián)系的，任何事物既有個(gè)性也有共性，個(gè)性在共性中得到統(tǒng)一[1]。這告訴我們，數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的，不同知識(shí)之間有共性，在共性中得到統(tǒng)一。

類比是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物的一些相似屬性推測(cè)另一些屬性也相同或相似的思維方法。早在兩千多年前，偉大的思想家和教育家孔子主張?jiān)诮虒W(xué)過程中用類比推理方式去把握對(duì)象及其聯(lián)系，“能近取譬，可謂仁之方[2]。”即強(qiáng)調(diào)通過以己及人的方法去理解仁.這種類比推理有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思維，幫助學(xué)生打開想象的翅膀，由此及彼，觸類旁通，去認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)新事物.

在線性代數(shù)的教學(xué)過程中，利用類比法組織教學(xué)，向?qū)W生滲透類比思想，有利于學(xué)生理解知識(shí)產(chǎn)生的過程，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，深化對(duì)概念及規(guī)律的理解，激發(fā)創(chuàng)新思維，勾起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使課堂教學(xué)在師生的和諧互動(dòng)中取得雙方滿意的效果。

一、新舊知識(shí)、相似知識(shí)的類比

采用類比啟發(fā)教學(xué)法，把新舊知識(shí)、相似知識(shí)放在一起或先后講述，讓學(xué)生通過對(duì)照比較，覺察其中的聯(lián)系而進(jìn)行類推，得出結(jié)論，這樣可以使學(xué)生舉一反三、觸類旁通，使陌生的知識(shí)變得熟悉，使復(fù)雜理論變得簡(jiǎn)單明了。

在講授逆矩陣時(shí)，很多學(xué)生對(duì)為什么學(xué)習(xí)逆矩陣不太理解，由于對(duì)逆矩陣的意義不明確，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力.在教學(xué)過程中，利用數(shù)字運(yùn)算類比，數(shù)字有加減乘除四種運(yùn)算，學(xué)生已經(jīng)熟悉了矩陣加、減、乘積的運(yùn)算，但如何來(lái)處理矩陣“除”的運(yùn)算？在數(shù)字運(yùn)算中，數(shù)“1”是一個(gè)重要的數(shù)字，具有如下運(yùn)算：.在矩陣的運(yùn)算中啟發(fā)學(xué)生類比聯(lián)想到單位矩陣“E”具有運(yùn)算AE=EA=A，那么矩陣運(yùn)算是否有類似于數(shù)字運(yùn)算中的倒數(shù)呢？如果有這樣的矩陣B，即AB=BA=E，因?yàn)榫仃嚥皇且粋€(gè)數(shù)，故給矩陣B定義一個(gè)特殊的名字——逆矩陣。通過這樣的類比，學(xué)生理解了學(xué)習(xí)逆矩陣的原因，理解了逆矩陣的意義和重要性，也增強(qiáng)了學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高了學(xué)習(xí)興趣。

分塊矩陣及其運(yùn)算是初學(xué)者的難點(diǎn)，許多學(xué)生感到抽象和不易接受。如果在講述其運(yùn)算規(guī)則時(shí)，利用普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行對(duì)照類比，以此推出分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則，這樣一切都會(huì)顯得自然，變得通俗易懂。學(xué)生已經(jīng)熟知普通矩陣A=(aij)m×s,B=(bij)s×n的乘法運(yùn)算

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)算特點(diǎn)，總結(jié)運(yùn)算規(guī)律：（1）第一個(gè)矩陣（左矩陣）的行元素與第二個(gè)矩陣（右矩陣）的列元素相乘并求和；（2）第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)，乘積才有意義。將此結(jié)論的思想類比應(yīng)用到分塊矩陣就得到其乘法規(guī)則：

這樣可以引導(dǎo)學(xué)生積極思考，真正理解分塊矩陣乘法規(guī)則，牢固地確立了乘法意識(shí)。

采用類比啟發(fā)教學(xué)可以深入淺出地引出理論，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生開動(dòng)腦筋，在類比中掌握知識(shí)，在類比中理解知識(shí)。通過上述類比，就能給學(xué)生創(chuàng)造一種情景。使其在該情景中體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的全過程，學(xué)生自覺地理解其中的來(lái)龍去脈，加深對(duì)知識(shí)的理解和把握，熟悉分塊矩陣的運(yùn)算，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性，也更能使學(xué)生產(chǎn)生自信，獲得心理上的滿足，這是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力。

二、采用類比啟發(fā)，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系、培養(yǎng)創(chuàng)新思維

采用類比啟發(fā)教學(xué)，在教師指導(dǎo)下，學(xué)生主動(dòng)面對(duì)問題，探索解決問題的方法，獲得情感的體驗(yàn)，并在深化研究中獲得自身的發(fā)展，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力，由此形成科研能力。

當(dāng)代建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一種能動(dòng)的建構(gòu)過程。知識(shí)不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情景，借助他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過意義的建構(gòu)方式獲得[3]。

在線性代數(shù)教學(xué)中，運(yùn)用類比的思想設(shè)計(jì)教案，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學(xué)生用自己的經(jīng)驗(yàn)去體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，用類比法主動(dòng)去分析、探索，使學(xué)生頭腦中已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與新知識(shí)相互作用，主動(dòng)參與問題過程，對(duì)所面臨的問題要提出各種假設(shè)并努力加以驗(yàn)證，邊實(shí)踐邊探索，從探索中獲得領(lǐng)悟，從而建構(gòu)新的知識(shí)體系。

在學(xué)習(xí)矩陣方程AX=B的解理論體系時(shí)，學(xué)生感到抽象和迷茫。如果引導(dǎo)學(xué)生回顧一般線性方程組可以表示成向量方程Ax=b，根據(jù)學(xué)生已經(jīng)熟悉的線性方程組解的理論體系，包括有解的判定定理、齊次方程解的結(jié)構(gòu)、非齊次方程解的結(jié)構(gòu)和消元法求解線性方程組等一系列理論，以此為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行全方位的類比，引導(dǎo)學(xué)生探索新知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與。在教師一步一步的引導(dǎo)下，讓學(xué)生體驗(yàn)得出矩陣方程有解的判定定理、解的結(jié)構(gòu)等結(jié)論。學(xué)生經(jīng)歷了這一過程，不僅有利于實(shí)現(xiàn)對(duì)矩陣方程解法理論的建構(gòu)，而且有利于學(xué)生從此過程中了解到解決問題的方法，獲得科學(xué)的方法和解決問題的情感體驗(yàn)，幫助學(xué)生建構(gòu)矩陣方程AX=B的解理論體系。用類比法完成了矩陣方程解理論的建構(gòu)，這是知識(shí)的再創(chuàng)造過程，使學(xué)生進(jìn)一步理解線性方程組的本質(zhì)，同時(shí)通過類比實(shí)踐，建構(gòu)了新的知識(shí)體系。在一種輕松愉快的氛圍中學(xué)生的知識(shí)得到了延展，思維得到了遷移，創(chuàng)造能力得到了培養(yǎng)。

類比是一種從特殊到特殊的邏輯思維，它跳過其中的過渡中介途徑，選擇了一條極為簡(jiǎn)捷的思路，而且常能出奇制勝，是萌發(fā)科學(xué)猜想和假設(shè)、探索和建構(gòu)新知識(shí)的一種重要方法。類比啟發(fā)教學(xué)法改變了原先的“填鴨式”、“滿堂灌”的教學(xué)模式，變成了學(xué)生在教師指導(dǎo)下主動(dòng)探索，積極建構(gòu)和獲取新知識(shí)的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。教師的教學(xué)是有效的，學(xué)生的學(xué)習(xí)是主動(dòng)的、富于創(chuàng)造性的，不僅完成了相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且理解了知識(shí)的意義，體驗(yàn)了知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，鍛煉了思維能力，提高了素質(zhì)。

[1]肖前.馬克思主義哲學(xué)原理[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1994：151-151.

[2]麥曉疑，徐秀瑛.論語(yǔ)[M].廣州：廣州出版社，2004:56-56.

[3]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬， 譯.上海：上海教育出版社，1995：112-112.