刁 鳴，陳 超，楊麗麗

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

目前，在陣列信號處理領(lǐng)域，對二維波達(dá)方向估計方法的研究已經(jīng)涌現(xiàn)了很多的成果，傳統(tǒng)的二維MUSIC算法需要在整個參數(shù)平面上進(jìn)行譜峰搜索，計算量巨大，難以應(yīng)用于工程實(shí)際，ESPRIT方法不需譜峰搜索，與MUSIC方法相比，具有較好的實(shí)時性，但是它存在一個參數(shù)配對的問題.文獻(xiàn)［1］提出的DOA矩陣法可以避免譜峰搜索而直接計算出二維DOA參數(shù)，且參數(shù)能自動匹配，在一定程度上解決了上述問題，但存在相位模糊;文獻(xiàn)［2］提出的基于L型陣列的波達(dá)方向估計算法，無相位模糊，解決了信號方位角和俯仰角的配對問題，但需計算多個相關(guān)矩陣后再對大矩陣進(jìn)行特征分解，計算量仍很大;文獻(xiàn)［3］基于雙平行線陣列的特點(diǎn)，對子陣進(jìn)行合并求解，使得協(xié)方差矩陣中不再含有冗余數(shù)據(jù)，但仍不可避免協(xié)方差矩陣特征分解帶來的復(fù)雜計算.傳播算子算法［4］利用線性運(yùn)算代替特征分解，在解決計算量問題上有著巨大優(yōu)勢.文獻(xiàn)［5］中Tayem等人提出的一種基于雙L陣的二維DOA估計的傳播算子算法，為了提高估計精度，需要進(jìn)行2次方位角估計，文獻(xiàn)［6］采用了空間三平行線陣列結(jié)構(gòu)的傳播算子算法，以增加一條均勻線陣來提高算法的估計精度.本文將數(shù)據(jù)共軛重排［7］的思想引入到傳播算子算法，基于雙平行線的陣列結(jié)構(gòu)，提出一種改進(jìn)的傳播算子二維DOA估計方法，該方法在不增加計算量和陣元數(shù)的前提下，通過接收數(shù)據(jù)的共軛重排再利用，可以減少信源間的相關(guān)性，并且提高算法在快拍數(shù)有限及低信噪比條件下的估計性能.

1 陣列結(jié)構(gòu)和信號模型

陣列結(jié)構(gòu)由如圖1所示的2個平行均勻線陣構(gòu)成.其中，以位于原點(diǎn)的陣元為參考點(diǎn)，Y軸上共有M+1個陣元，前M個陣元組成子陣列L1，后M個陣元組成子陣列L2，X-Y平面上的M個陣元組成子陣列L3，且X軸方向和Y軸方向的陣元間距均為d，d的取值為1/2信號波長.

圖1 雙平行線陣的陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of two parallel ULAs

假設(shè)空間有D個同中心頻率的遠(yuǎn)場窄帶信號入射到天線陣上，第i個入射信號的方位角和俯仰角分別為θi和φi(i=1，2，…，D)，各陣元輸出的噪聲是統(tǒng)計獨(dú)立、均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲，噪聲與信號不相關(guān).則L1、L2、L3接收到的信號分別表示為

式中:

式中:λ為波長，d為天線陣列中2個相鄰陣元的距離，Xi(t)和Ni(t)分別為第i個子陣列在第t個快拍時刻的接收數(shù)據(jù)和接收到的噪聲數(shù)據(jù).這樣Φ(θ，φ)和Ψ(θ，φ)分別反映了子陣列L2和子陣列L3相對于子陣列L1的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系.

2 改進(jìn)算法的原理及性能分析

不考慮噪聲影響，將X1、X2、X3按式(4)所示構(gòu)造矩陣X:

將A和C分別進(jìn)行分塊處理:

式中:

假設(shè)C1為非奇異矩陣，即C1的D行互相獨(dú)立，那么C2是C1的線性變換，有

式中:P定義為傳播算子，P的求解需要信源方位信息，可以由空間協(xié)方差矩陣求解傳播算子的估計值.

對Rx進(jìn)行分塊處理:Rx=［Rx1，Rx2］，其中，Rx1、Rx2的維數(shù)分別為3M×D和3M×(3M－D).由式(7)易推得

由于噪聲的影響，使數(shù)據(jù)模型和實(shí)際情況有所偏差，因此，式(9)不能嚴(yán)格相等，可通過最小化求得傳播算子的估計值.

為進(jìn)一步提高估計性能，將接收數(shù)據(jù)共軛重排的思想推廣到傳播算子算法的二維DOA估計中，提出傳播算子算法的二維DOA估計改進(jìn)算法.

式中:JM代表副對角線上元素為1，其余元素均為0的M階方陣.可見，Rx和Rx均可以劃分成9個M×M維的子矩陣，將這些子矩陣按式(12)進(jìn)行重排相加求平均:

觀察矩陣R中的第1個M×M維子矩陣:

式中:

對于獨(dú)立的信號源，協(xié)方差矩陣RS應(yīng)為實(shí)對角陣，即RS=，又根據(jù)Q*，R，QT3個對角陣相乘可交換順序進(jìn)行計算，并且Q*QT=I，可以推導(dǎo)出:

同理可推得矩陣R中9個M×M維子矩陣的2個相加項(xiàng)分別相等，因此，利用Rx估計傳播算子和利用R估計傳播算子應(yīng)得到相同的.由于R將接收數(shù)據(jù)共軛重排再利用了一次，使協(xié)方差矩陣的估計更準(zhǔn)確，當(dāng)信噪比較低，快拍數(shù)較少時，使用R進(jìn)行估計可以獲得比Rx更好的性能.

式中:P1，P3，P5的維數(shù)與A2的維數(shù)相同，P2，P4的維數(shù)與A1的維數(shù)相同.根據(jù)式(5)～(7)可得

由式(17)、(19)可知，Φ和Ψ的對角線元素分別對應(yīng)于P2、P4的特征值.在實(shí)際情況中，對P2和P4的特征分解是分別進(jìn)行的，因此不能保證其特征值是一一對應(yīng)的，在此可以采用快速配對算法［8］來解決參數(shù)配對問題.對P2進(jìn)行特征分解得到其D個特征值分別為［λ1λ2… λD］，相應(yīng)的特征向量分別為W=［w1w2… wD］，與P2的第i個特征值λi相對應(yīng)的P4的特征值λi'應(yīng)為

式中:yik是矩陣Y第i個列向量yi的第k個元素.

由此可得，Φ和Ψ的對角線上第i個元素分別為λi和λi'，結(jié)合Φ和Ψ的表達(dá)式，可以估計入射信號的方位角和俯仰角分別為

在MUSIC和ESPRIT算法中，對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解的時間復(fù)雜度近似為O(M3)階，而估計傳播算子的時間復(fù)雜度為O(DM2)階［4］.可見，傳播算子算法與MUSIC和ESPRIT算法相比，有著計算量小的優(yōu)勢.本文所提出的改進(jìn)算法，在PM(propagator method)算法的基礎(chǔ)上僅增加了取共軛和子矩陣換位相加的運(yùn)算，用很少的計算量換取了較高的估計性能.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證方法的正確性及有效性，采用如圖1所示的陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計算機(jī)模擬仿真實(shí)驗(yàn)，各子陣陣元數(shù)M=4，信號的中心頻率f=50 MHz，陣元間距d為1/2個信號波長.

實(shí)驗(yàn)1:本例給出了方位角和俯仰角在0°～90°范圍內(nèi)變化的估計性能.實(shí)驗(yàn)中使俯仰角以5°為間隔，從0°變化到90°，對應(yīng)每個俯仰角，方位角亦以5°為間隔在0°～90°變化，快拍數(shù)200，信噪比5dB，對應(yīng)每個入射角度做300次獨(dú)立的仿真實(shí)驗(yàn).圖2給出了仿真結(jié)果，其中均方根誤差定義為

圖2 方位角和俯仰角在0°～90°之間變化的均方根誤差Fig.2 RMSE of estimation with azimuth and elevation angle varying from 0°to 90°

實(shí)驗(yàn)2:基于圖1所示的雙平行線陣，本例對常規(guī)傳播算子算法和文中提出的修正傳播算子算法的估計性能進(jìn)行了對比.2個等功率的遠(yuǎn)場窄帶信號入射到圖1所示天線陣列，信號源相互獨(dú)立，二維入射角度分別為［35°20°］和［45°70°］.

圖3所示為估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線，快拍數(shù)為250，信噪比從0 dB變化到25 dB，對應(yīng)每個信噪比做1 000次獨(dú)立的仿真實(shí)驗(yàn).圖4所示為均方根誤差隨快拍數(shù)變化的曲線，信噪比固定為5dB，快拍數(shù)從100變化到1 000，對應(yīng)每個快拍數(shù)做1 000次獨(dú)立的仿真實(shí)驗(yàn).

由圖3及圖4可以看出，在對非相干信源進(jìn)行DOA估計時，修正的傳播算子算法在信噪比較低和快拍數(shù)較少的情況下明顯優(yōu)于常規(guī)傳播算子算法.可見，采用數(shù)據(jù)共軛重排的修正傳播算子算法可以提高非相干信源的DOA估計性能.

圖3 本文算法與常規(guī)傳播算子算法對比(均方根誤差隨信噪比變化曲線)Fig.3 Comparison between normal propagator method and thealgorithm proposed in thispaper (RMSE varying with SNR)

圖4 本文算法與常規(guī)傳播算子算法對比(均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線)Fig.4 Comparison between normal propagator method and thealgorithm proposed in thispaper (RMSE varying with snapshots)

4 結(jié)束語

本文在基于雙平行線陣的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)共軛重排的思想成功的引入到傳播算子算法的二維DOA估計中，理論分析和仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的算法相當(dāng)于對協(xié)方差矩陣進(jìn)行了一次前后向平滑，具有平均的意義，可以減少信源間的相關(guān)性，提高對非相干信源的估計能力.該方法在低信噪比，小快拍數(shù)的條件下仍能獲得較好的估計性能，并且有著計算量小的明顯優(yōu)勢，具有較好的實(shí)用性.

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