朱一文

(中國科學(xué)院 自然科學(xué)史研究所，北京 100190)

0 前言

宋淳祐七年(1247年)，秦九韶在他的傳世之作《數(shù)書九章》①《數(shù)書九章》原名《數(shù)術(shù)》或《數(shù)術(shù)大略》，《永樂大典》、《文淵閣書目》、《四庫全書》作《數(shù)學(xué)九章》，《宜稼堂叢書》作《數(shù)書九章》，為今通用名。本文凡引《數(shù)書九章》均以趙鈔本為底本，并與《宜稼堂叢書》本、《四庫全書》本參互校讎。中提出的大衍總數(shù)術(shù)是一項世界級的數(shù)學(xué)成就［1—4］②李倍始(U.Libbrecht)認(rèn)為秦九韶系統(tǒng)解決了一次同余方程式組解法，現(xiàn)代數(shù)學(xué)大師歐拉(Euler，1707—1783)、高斯(Gauss，1777—1855)才達(dá)到或超過他的水平。見參考文獻(xiàn)［1］。。遺憾的是，因為史料的缺失，我們無法確切知道秦九韶之前大衍總數(shù)術(shù)的發(fā)展情況。以現(xiàn)今的數(shù)學(xué)眼光看，《孫子筭經(jīng)》之“物不知數(shù)”題是有文獻(xiàn)記載的最早的一次同余方程式組問題。元代之前中國歷法中上元積年的推算，也相當(dāng)于求解一次同余方程式組。因此，錢寶琮認(rèn)為:“《孫子算經(jīng)》里‘物不知數(shù)’問題解法不是作者的向壁虛造而很可能是依據(jù)當(dāng)代天文學(xué)家的上元積年算法寫出來的?！保?］李文林、袁向東進(jìn)而認(rèn)為:“我國古代關(guān)于一次同余論的研究，肇源于漢代歷算家關(guān)于上元積年的計算，是在漢代歷算家探討的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。”［6］這些看法基本成為了學(xué)術(shù)界的共識。

然而，必須注意到的一點是:《孫子筭經(jīng)》“物不知數(shù)”題，缺少了求乘率的關(guān)鍵算法。這個算法即是秦九韶的大衍求一術(shù)，是大衍總數(shù)術(shù)的關(guān)鍵一步。李繼閔通過對《數(shù)書九章》“古歷會積”、“治歷演紀(jì)”題的分析，指出:對于上元積年的推算很可能用的是“演紀(jì)術(shù)”(即相當(dāng)于代入法求解一次同余方程式組)而非“大衍總數(shù)術(shù)”(即相當(dāng)于孫子剩余定理)［7］。以上事實提醒我們意識到歷史的復(fù)雜性①筆者認(rèn)為這實際上是在暗示:“物不知數(shù)”問題和“上元積年”問題在古人看來可能并不是同一類的問題，因此兩者有各自、不同之發(fā)展脈絡(luò)。盡管以現(xiàn)今數(shù)學(xué)眼光看，它們都屬于一次同余方程式組問題。。

秦九韶在《數(shù)書九章》自序中提到他曾“訪習(xí)于太史”，說明他曾向歷家學(xué)習(xí)。又云:“獨(dú)大衍法不載《九章》，未有能推之者。歷家演法頗用之，以為方程者，誤也”，又云:“歷家雖用，用而不知”(［4］，序2a—3a)。很明顯，秦九韶認(rèn)為歷家誤把“大衍法”當(dāng)作“方程”。嚴(yán)敦杰首先注意到，這里的“方程”只是“借名”，而不是《九章算術(shù)》的“方程”，他指出“大概是布算時列出等式多行，‘乘除消減’，‘約而齊之’，與《九章算術(shù)》內(nèi)解一次聯(lián)立方程組相類，故借名為‘方程’”［8］。近年來，王翼勛給出了這種“方程”的一種推測，具有試算的性質(zhì)［9］，后來他又將它改進(jìn)［10］。王榮彬、徐澤林也給出了歷家所用“方程”的一種推測［11］。這兩種方程都不是《九章筭術(shù)》的方程②王翼勛給出方程之形式為王榮彬、徐澤林給出方程之形式為按中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)或《九章筭術(shù)》之方程，其必是N×(N+1)或2×3之形式。因此上兩方程都不是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之方程。。總之，學(xué)者們普遍認(rèn)為歷家方程有“方程”之名，而無“方程”之實。

亦有學(xué)者認(rèn)為大衍求一術(shù)來源于更相減損術(shù)［12］。這種看法確能解釋大衍求一術(shù)之兩數(shù)“遞互除之”，但是卻無法解釋“所得商數(shù)隨即遞互累乘歸左行上下”(［4］，卷1，3b)。筆者認(rèn)為歷家之方程事關(guān)重大，有進(jìn)一步討論之必要。在前人研究之基礎(chǔ)上，本文認(rèn)為歷家之方程即中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)或《九章筭術(shù)》之方程，只是運(yùn)算目的不同。

1 歷家之方程

《數(shù)書九章》卷三“治歷演紀(jì)”題中的一段話是討論歷家方程之關(guān)鍵。秦九韶說:

今人相乘演積年，其術(shù)如調(diào)日法，求朔余、朔率。立斗分、歲余，求氣骨、朔骨、閏骨，及衍等數(shù)、約率、因率、蔀率，求入元?dú)q、歲閏、入閏、元率、元閏，已上皆同此術(shù)。但其所以求朔積年之術(shù)，乃以閏骨減入閏，余謂之閏贏，卻與閏縮、元閏③“卻與閏縮、元閏、朔率”，趙鈔本、《四庫全書》本、《宜稼堂叢書》本均作“卻與閏縮、朔率”。從秦九韶筭圖可見，元閏乃求元數(shù)之必須。依筭圖補(bǔ)正。、朔率，列號甲乙丙丁四位，除乘消減，謂之方程。乃求得元數(shù)，以乘元率，所得謂之朔積年，加入元?dú)q，共為演紀(jì)歲積年。所謂方程，正是大衍術(shù)今人少知。非特置筭繁多①“置筭繁多”，趙鈔本作“置筭繁名”，《四庫全書》本作“置筭繁多”，《宜稼堂叢書》本作“置算繁名”?！八恪睉?yīng)作“筭”，意為“筭籌”。依《四庫全書》本改正。，初無定法可傳，甚是惑悮后學(xué)，易失古人之術(shù)意?！?［4］，卷3，6b－7a)

這段話各家多有引用，仍有進(jìn)一步推敲的必要。此處秦九韶兩次用到了大衍術(shù)，也兩次對大衍術(shù)和歷家之方程進(jìn)行了比較。首先是用大衍術(shù)求等數(shù)、因率、蔀率，秦九韶說“已上皆同此術(shù)”，即他的做法和歷家一樣，此處歷家之方程基本等于大衍術(shù)。而后，為了求得元數(shù)，歷家的方法是:閏贏、閏縮、元閏、朔率“列號甲乙丙丁四位”，用方程求解;秦九韶則是用大衍術(shù)求解。顯然，此處歷家之方程和大衍術(shù)有較大的區(qū)別。歷家的方程“非特置筭繁多，初無定法可傳”，即沒有一個普遍的確定的方法。

為了作進(jìn)一步的分析，先依據(jù)《數(shù)書九章》的算草，給出秦九韶兩處大衍術(shù)的算法②秦九韶是用筭圖運(yùn)筭，而傳統(tǒng)歷算家是用筭籌運(yùn)算，兩者差別甚大。此處為了節(jié)省篇幅，在不影響討論的情況下，把秦氏之筭圖轉(zhuǎn)化成今圖。并且用“0”表零，不失秦氏之本意(秦氏筭圖用“○”表零，籌筭布筭則須用空位表零)。。首先是用斗定分(4108)與日法(16900)求等數(shù)、因率、蔀率:

由此得等數(shù)52、因率144、蔀率325③按之前算法，算草最后一步應(yīng)得。秦九韶違反之前的規(guī)律，這樣做是因為解題必須用到因率和蔀率，體現(xiàn)了他對大衍術(shù)的理解和認(rèn)識。。

其次，給出用元閏(377873)與朔率(499067)求等數(shù)、因率、蔀率:

用現(xiàn)今數(shù)學(xué)語言來說，如果設(shè)x為元數(shù)，y為朔數(shù)，且有閏縮(188578)、閏贏(310489)，這是在求解:377873x－499067y=188578或377873x－499067(y+1)=－310489［9—10］。秦九韶接著用等數(shù)1約閏縮188578得188578，與因率457999相乘得86368535422，滿蔀率499067去之，得402為元數(shù)①實際上相當(dāng)于秦九韶在求解 ax－ by=c或 ax≡c(mod b)，當(dāng) a、b、c有等數(shù) d，即 a=a0 d、b=b0 d、c=c0 d 時，利用大衍術(shù)求得因率k，和蔀率b0，則 ak≡d(mod b)或 a0 k≡1(mod b0)。又有 a0 x≡c0(mod b0)，于是 x≡c0 k(mod b0)，即相當(dāng)于:以等數(shù)約閏縮與因率相乘，滿蔀率去之，不滿在限下為可用元數(shù)。。顯而易見，這里秦九韶之大衍術(shù)既非大衍總數(shù)術(shù)，也非大衍求一術(shù)。合理的名稱應(yīng)該是“大衍求等術(shù)”。這種“大衍求等術(shù)”和歷家之方程關(guān)系密切。歷家之方程“列號甲乙丙丁四位”，在秦九韶看來“非特置筭繁多”，即動用筭籌太多;“初無定法可傳”是講歷家忽視了用元數(shù)約化的問題。

前文提到王翼勛、王榮彬、徐澤林復(fù)原之方程，并非《九章筭術(shù)》之方程。王翼勛之復(fù)原，其算法與方程相去甚遠(yuǎn)。王榮彬、徐澤林主要基于兩點:其一，與秦氏大衍求一術(shù)相似;其二，列號甲乙丙丁四位，故列成兩行兩列。故其方程形式為實是似是而非。因為我們知道在籌筭體系下，是用空置一位來表達(dá)零的。換言之，王、徐二位之復(fù)原，若以籌筭御之，則只是列號a、b、c三位②此段之疑問由嚴(yán)格認(rèn)真的匿名審稿專家提出，在此感謝。在籌筭體系下，王、徐二位之復(fù)原，有一空位用以表示零，故只可列號三位，反而欲求列號四位而不得了。王翼勛之復(fù)原，雖列號四位，但算法及其形式與方程相去更遠(yuǎn)。。

其實，盡管我們看不到歷家之方程算法的精確史料，卻可以看到許多描述性史料。陳元靚《事林廣記》儒教類引九數(shù)釋文引方程條說:

方程。以御錯糅正負(fù)。今作歷者用此法。謂如筭錢，逐件除下零細(xì)底，絕長補(bǔ)短，湊得齊整，便好筭。如一年十二月有月大者小者，日子不齊，便將閏月來補(bǔ)湊，每月作三十日。又如日月星辰之行不同，卻要筭個行之會，都相合［13］。

“以御錯糅正負(fù)”出自《九章筭術(shù)》劉徽注。無疑，此處談到之方程即是《九章筭術(shù)》之方程。卻又明確說“作歷者用此法”，這就是說歷家之方程等于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之方程。北宋高承《事物紀(jì)原》卷一九章條亦說:“八方程，如筭錢，逐漸除下零細(xì)的，絕長補(bǔ)短，湊得齊整，便好筭。［14］③兩處“筭”，點校本均作“算”，今改正?！薄端问贰ぢ蓺v志》載周琮明天歷(1065—1067年施行)說:“以方程約而齊之。今須積歲七十一萬一千七百六十一。［15］”開禧歷作者鮑澣之，批評楊忠輔統(tǒng)天歷(1199年施行):“無復(fù)強(qiáng)弱之法，盡廢方程之舊。(［15］，1945頁)”

根據(jù)以上這些描述性史料判斷，筆者認(rèn)為歷家之方程就是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之方程。不太可能同樣都是叫做方程，歷算家和數(shù)學(xué)家的意義會不一樣，更何況歷算家往往就是數(shù)學(xué)家。秦九韶認(rèn)為數(shù)學(xué)分為內(nèi)算和外算。天象歷度、太乙壬甲，皆曰內(nèi)筭?！毒耪鹿g術(shù)》所載，皆曰外筭。內(nèi)外相通，不可歧二，而唯獨(dú)內(nèi)筭之大衍術(shù)不載《九章》④原文如下:“今數(shù)術(shù)之書尚三十余家。天象、歷度謂之綴術(shù)，太乙、壬、甲謂之三式，皆曰內(nèi)筭。言其秘也。《九章》所載即周官九數(shù)，系于方圓者為叀術(shù)，皆曰外筭。對內(nèi)而言也。其用相通不可岐二。獨(dú)大衍法不載《九章》，未有能推之者。歷家演法頗用之，以為方程者，誤也?！?［4］，序，2a－2b)。。秦九韶的看法來源于跟隨太史和隱君子學(xué)習(xí)的經(jīng)歷。同時，因為不滿意王翼勛、王榮彬、徐澤林的復(fù)原，所以筆者提出一種新的復(fù)原，其形式與算法都和《九章筭術(shù)》方程一致(只是目的不同)，并且既可符合上述史料的描述，在算法上亦可以達(dá)到大衍求一(或求等)術(shù)的效果。這種方程布筭具有下述形式:

2×3規(guī)格布筭，其中a、b、c、d即所謂“列號甲乙丙丁四位”。其算法、意義則與《九章筭術(shù)》方程一致。現(xiàn)以此方程說明以上兩例。與秦九韶運(yùn)用筭圖不同的是，歷家用筭籌解決問題。在不影響討論的前提下，用現(xiàn)今數(shù)碼代替古代筭籌，用空位表零，不失籌筭本意。

其一，用斗定分(4108)與日法(16900)求等數(shù)、因率、蔀率:

于是等數(shù)52，因率144，蔀率325。這里歷家之方程與秦九韶大衍術(shù)基本一致。其二，用閏贏、閏縮、元閏、朔率列號甲乙丙丁，求元閏:

然后用86388535422滿蔀率499067去之，得元數(shù)402。這里歷家之方程比秦九韶大衍術(shù)麻煩得多。

上述運(yùn)算每一步都用《九章筭術(shù)》方程之直除法，只是其算法目的不同。其算理從方程角度來看則意義明了。下行更相減損之后，最下行必得等數(shù)。而左中行必得乘率。以現(xiàn)代數(shù)學(xué)證明之，即是說相當(dāng)于，經(jīng)運(yùn)算最后得相當(dāng)于即于是等數(shù)52，因率144，蔀率325。又相當(dāng)于，經(jīng)運(yùn)算最后得，便是。亦即是:

86368535422×377873－345778×499067×188578=188578。于是得等數(shù)1，用86388535422滿蔀率499067去之，得元數(shù)402。但如果等數(shù)與188578沒有公約數(shù)時，則無解。

上述方程亦能符合史料中描述性語言。“方程約而齊之”是指:方程兩“下實”更相減損即不斷相約最后得到等數(shù);“如筭錢逐件除下零細(xì)底，絕長補(bǔ)短，湊得齊整，便好筭”，則是指:方程運(yùn)算中“下實”逐漸減小，“上法”逐漸增大，如“絕長補(bǔ)短”;最后求得等數(shù)如“湊得齊整”。如果筆者推測不誤，那么由此方程不僅可見大衍術(shù)之演進(jìn)，而且可以看出秦九韶之貢獻(xiàn)。

《九章筭術(shù)》之方程術(shù)，其法用直除法。劉徽認(rèn)識到方程每一行是率，即“令每行為率”［16］，那么方程通過直除運(yùn)算便可以得到一系列的率①此即劉徽的方程新術(shù)。又，秦九韶大衍求一術(shù)的“乘率”之名，應(yīng)該由此而來。。另一方面，因為上元積年的推算使得在漢代就有求解一個一次不定方程或一個一次同余方程的需求［6］?！毒耪鹿g術(shù)》有更相減損術(shù)，用以求兩術(shù)的最大公約數(shù)。如果將更相減損術(shù)，運(yùn)用于方程術(shù)，以求解此類問題，這便是歷家之方程。

李繼閔證明:“無論就可行性、簡便性、適應(yīng)性來講，總數(shù)術(shù)都遠(yuǎn)不如演紀(jì)術(shù)。古人用算必?fù)裆普叨鴱闹?。剩余定理是一個精致的構(gòu)造，用它來編制的數(shù)學(xué)游戲——秦王暗點兵也是饒有興趣的。但是，對于應(yīng)用來說，它是華而不實的?！?［7］，30頁)筆者進(jìn)而認(rèn)為，歷算家用筭籌解決歷法計算，必須考慮用筭的實用性、經(jīng)濟(jì)性。劉徽即說過筭家應(yīng)追求“雖布筭不多，然足以算多”(［16］，367頁)的做法。因此，從這個角度看，雖然演紀(jì)法在算法的優(yōu)美程度上不及大衍總數(shù)術(shù)，但在實用性上卻更勝一籌。歷算家采用動用筭籌更少、算法更簡潔的演紀(jì)法求解上元積年是勢在必行。而其中求乘率之關(guān)鍵程序，則用方程解決②盡管歷家已經(jīng)采用了較為優(yōu)化的演紀(jì)術(shù)，然而，在運(yùn)用筭圖的秦九韶看來，仍然是“置筭繁多”。。

2 秦九韶之大衍

秦九韶之大衍總數(shù)術(shù)是其最高之?dāng)?shù)學(xué)成就，歷來備受稱贊。大衍總數(shù)術(shù)，主要分成三部分:其一是元數(shù)約化法則(即化不互素之元數(shù)為互素)，其二，大衍求一術(shù)(求解關(guān)鍵之乘率)，其三，程序性之算法求答數(shù)(即相當(dāng)于《孫子筭經(jīng)》物不知數(shù)之程序)。筆者再詳論之。

歷家之方程從傳統(tǒng)之方程演變而來，其算理相同，只是目的不同。對比上文歷家之方程和秦九韶的草圖，容易發(fā)現(xiàn):歷家之方程最后旨在得到乘率和蔀率，這也就是說方程三橫行布筭最上面一行的計算是多余的，如果把最上面一橫行刪去，用輾轉(zhuǎn)相除替代直除(兩者相通)③此處輾轉(zhuǎn)相除和直除之變化，系匿名審稿專家指出，在此感謝。實際上，用輾轉(zhuǎn)相除替代直除，就是用互乘相消替代直除。雖然從算理上看兩者相通，但是在實際籌筭過程中，離不開筭圖的幫助。見筆者對秦九韶筭圖與方程互動之詳盡分析。，把左下角和右上角兩數(shù)位置調(diào)換，并把運(yùn)算之負(fù)數(shù)全改為正數(shù)(這不影響結(jié)果)，那么它就是秦九韶《數(shù)書九章》治歷演紀(jì)題中記載的大衍求等術(shù)。而如果再把兩數(shù)做約化處理，那么它的形式和算法就和秦九韶的大衍求一術(shù)完全一樣。秦九韶跟太史和隱君子學(xué)過數(shù)學(xué)，他對歷家之方程作了優(yōu)化處理，提出大衍總數(shù)術(shù)算法之關(guān)鍵程序——大衍求一術(shù)。

秦九韶大衍求一術(shù)的算理并不顯而易見，但用歷家方程觀之，則其理顯然。假設(shè)(a，b)=1，a ＜ b，則即相當(dāng)于x=a，y=b)，通過a、b兩數(shù)遞互除之，所得商數(shù)遞互累乘隨加，最后得到，即相當(dāng)于kx－jy=1或kx≡1(mody)，則有ka≡1(modb)，如此k便為乘率。至此，我們方可以理解秦九韶“歷家雖用，用而不知”的真意。

同時，秦九韶亦著手處理元數(shù)兩兩不互素的問題。他提出了著名的元數(shù)約化法則。諸家多有所論，而對其核心算法“約奇弗約偶”的解讀上爭議頗多，眾說紛紜。錢寶琮認(rèn)為此奇偶不是單雙之意，各家都從之，幾成定論［17］。侯剛博士學(xué)位論文，詳考各家說法。分為三類，其一“約奇弗約偶”只是一種原則，未給實質(zhì)分析，包括李儼、錢寶琮、李文林、袁向東諸家;其二認(rèn)為奇偶是指定數(shù)或等數(shù)之單雙，包括四庫館臣、梅榮照、錢克仁、王翼勛、沈康身、王守義、王渝生諸家;其三認(rèn)為奇偶指奇位、偶位，有李繼閔、莫紹揆、李兆華、沈康身、孔國平諸家。侯剛自己則認(rèn)為奇偶指等數(shù)個數(shù)的單雙，而非指元數(shù)之單雙［18］。但是，《數(shù)書九章》行文多次出現(xiàn)“奇”、“偶”，他處都是指數(shù)之單雙，為何僅此處意義獨(dú)特?這似乎很難理解。從原始文獻(xiàn)入手，秦九韶把問數(shù)分為四類:元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)、復(fù)數(shù)。每類有不同算法:

元數(shù)者。先以兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶或約得五而彼有十，乃約偶而弗約奇。或元數(shù)俱偶，約畢可存一位見偶?；蚪约s而猶有類數(shù)存，姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之。或諸數(shù)①“諸數(shù)”，趙鈔本作“請數(shù)”，依《四庫全書》本、《宜稼堂叢書》本改正。皆不可盡類，則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之。

收數(shù)者。乃命尾位分厘作單零以進(jìn)所問之?dāng)?shù)。定位訖，用元數(shù)格入之或如意立數(shù)為母收進(jìn)分厘以從所問，用通數(shù)格入之。

通數(shù)者。置問數(shù)通分內(nèi)子互乘之，皆曰通數(shù)。求總等，不約一位約眾位得各元法數(shù)②本段兩處“元法數(shù)”，《四庫全書》本均作“原法數(shù)”，趙鈔本、《宜稼堂叢書》本作“元法數(shù)”，從之。。用元數(shù)格入之?；蛑T母數(shù)繁，就分從省通之者，皆不用元各母。仍求總等存一位約眾位亦各得元法數(shù)，亦用元法數(shù)格入之。

復(fù)數(shù)者。問數(shù)尾位見十以上者。以諸數(shù)求總等存一位約眾位，始得元數(shù)。兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶，復(fù)乘偶?；蚣s偶或約奇，復(fù)乘奇?；虮舜丝杉s而猶有類數(shù)存者，又相減以求續(xù)等。以續(xù)等約彼，則必復(fù)乘此，乃得定數(shù)。所有元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)三格，皆有復(fù)乘求定之理悉可入之。(［4］，卷1，2b－3a)

術(shù)文云:收數(shù)用通數(shù)格入之，通數(shù)用元數(shù)格入之。因此秦九韶求定數(shù)的核心算法就是元數(shù)格和復(fù)數(shù)格。錢寶琮在談到這個問題時，引復(fù)數(shù)格術(shù)文，繼而加以討論(［17］，70—71頁)。不知為何而忽略了元數(shù)格術(shù)文。元數(shù)格術(shù)文云:“或諸數(shù)皆不可盡類，則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之”，即先用元數(shù)格，當(dāng)“諸數(shù)皆不可盡類”，方用復(fù)數(shù)格。而復(fù)數(shù)格術(shù)文又云:“以諸數(shù)求總等存一位約眾位，始得元數(shù)”，即此后用元數(shù)格入之。或言秦九韶求定數(shù)方法，先判斷“諸數(shù)是否可盡類”，若否則“以諸數(shù)求總等存一位約眾位，始得元數(shù)”，繼用元數(shù)格入之;若是則直接用元數(shù)格入之。錢寶琮引復(fù)數(shù)格術(shù)文，而不引元數(shù)格，遺漏頗為重要的元數(shù)俱偶情況?；蚴窃斐珊笕苏`解之濫觴。

根據(jù)元數(shù)格術(shù)文，可知秦九韶將求定數(shù)方法分為四種情況。其一:兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶(或約得五而彼有十乃約偶而弗約奇);其二:或元數(shù)俱偶，約畢可存一位見偶;其三:或皆約而猶有類數(shù)存，姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之;其四:或諸數(shù)皆不可盡類，則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之。

把上述算法作為整體來理解，則“約奇弗約偶”之奇偶，當(dāng)指元數(shù)之單雙無疑。這也就是說，秦九韶求定數(shù)的方法是分情況討論。當(dāng)兩個元數(shù)中有奇，用“約奇弗約偶”，目的是使得兩數(shù)互素，否則反約，即“或約得五而彼有十，乃約偶而弗約奇”。當(dāng)兩個元數(shù)皆為偶數(shù)，則“約畢可存一位見偶”，使得約化后只留一個偶數(shù)，也是要兩數(shù)互素。當(dāng)以上約化完畢之后“猶有類數(shù)存”，“則姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之”。當(dāng)“諸數(shù)皆不可盡類”，“則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之”。

下面每種情況各舉數(shù)例說明①筆者已驗證《數(shù)書九章》所有題目均與以上說明符合。這里舉幾個例子說明。。卷一“蓍草發(fā)微”題。有2、4相約。此乃元數(shù)俱偶，當(dāng)約畢可存一位見偶。則只可約2為1。若約4為2，則約畢仍然兩數(shù)俱偶，不符合術(shù)文。卷一“推計土功”題。有24、54相約。24、54等數(shù)為6。此乃元數(shù)俱偶，當(dāng)約畢可存一位見偶。則只可約54為9。若約24為4，則4、54兩數(shù)俱偶，不符合術(shù)文。卷二“積尺尋源”題。有40、15相約。40、15等數(shù)為5。此乃兩數(shù)一奇一偶，用約奇弗約偶。將15約為3，且40、3互素。卷一“推計土功”題。又有25、120相約。25、120等數(shù)為5。此乃兩數(shù)一奇一偶，用約奇弗約偶。將25約為5。然5與120仍有等數(shù)，故“或約得五而彼有十乃約偶而弗約奇”。即約120為24。則25、24互素。“推計土功”又有3、9相約。此兩數(shù)中有奇，故可約任意一數(shù)，而務(wù)必使約后兩數(shù)無等。則約3為1。

總之，“約奇弗約偶”之奇偶就是指兩元數(shù)之單雙。當(dāng)兩元數(shù)中有奇則用“約奇弗約偶”，務(wù)必使約化后兩數(shù)無等。當(dāng)兩元數(shù)俱偶，則“約畢可存一位見偶”，即約化后只可存一位偶數(shù)。如以上約化之后，“猶有類數(shù)存”，則“姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之”。這樣解釋既符合《數(shù)書九章》原文，又不必篡改奇偶之本意。而且不必如前人一樣在某些情況下生硬地把偶數(shù)稱作“奇”②如“蓍草發(fā)微”題2、4相約，必約2，則學(xué)術(shù)界所有之解釋都稱此“2”為奇。。前人之誤解和爭論，殆由于忽視“或元數(shù)俱偶，約畢可存一位見偶”一句所致。

《孫子筭經(jīng)》“物不知數(shù)”題，已有了大衍總數(shù)術(shù)的初步程序，但是其元數(shù)兩兩互素，并且缺了求乘率之大衍求一術(shù)。從秦九韶對歷家的評價:“非特置筭繁多，初無定法可傳，甚是惑悮后學(xué)，易失古人之術(shù)意”，可以推知?dú)v家不知約化。因此提出元數(shù)約化法則應(yīng)是秦九韶之貢獻(xiàn)。利用筭圖是秦九韶能完成大衍總數(shù)術(shù)之關(guān)鍵。出于籌筭之實用性、經(jīng)濟(jì)性考慮，歷家往往采用演紀(jì)法求解上元積年。秦九韶說“立術(shù)具草，簡以圖發(fā)之?！惫g圖運(yùn)用之后，此桎梏大為消解。利用筭圖，使得秦九韶可以順利地運(yùn)用方程之互乘相消法，即使得他可以用輾轉(zhuǎn)相除替代直除，優(yōu)化方程。與秦九韶有過直接交流的陳振孫說:“秦博學(xué)多能，尤邃歷法，凡近世諸歷，皆傳于秦，所言得失亦悉著其語云。［19］”總而言之，秦九韶向太史和癮君子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提出約化定數(shù)的方法，又利用筭圖優(yōu)化歷家之方程，提出大衍求一術(shù)，結(jié)合《孫子筭經(jīng)》已有之算法程序，給出了大衍總數(shù)術(shù)。

3 再論“通其率”

李繼閔曾撰文認(rèn)為大衍求一術(shù)來源于通其率算法［20，21］，所謂“通其率”與本文論述之方程術(shù)算理是相通的。通其率的出處，在《漢書·律歷志》:

木，晨始見，去日半次。順，日行十一分度二，百二十一日，始留，二十五日而旋。逆，日行七分度一，八十四日，復(fù)留，二十四日三分而旋。復(fù)順，日行十一分度二，百一十一日有百八十二萬八千三百六十二分而伏。凡見三百六十五日有百八十二萬八千三百六十五分，除逆，定行星三十度百六十六萬一千二百八十六分。凡見一歲，行一次而后伏，日行不盈十一分度一，伏三十三日三百三十三萬四千七百三十七分，行星三度百六十七萬三千四百五十三分。一見，三百九十八日五百一十六萬三千一百二分，行星三十三度三百三十三萬四千七百三十七分。通其率，故曰:日行千七百二十八分度之百四十五。

土，晨始見，去日半次。順，日行十五分度一，八十七日，始留，三十四日而旋。逆，日行八十一分度五，百一日，復(fù)留，三十三日八十六萬二千四百五十五分而旋。復(fù)順，日行十五分度一，八十五日而伏。凡見三百四十日八十六萬二千四百五十五分，除逆，定行星五度四百四十七萬三千九百三十分。伏，日行不盈十五分度三，百三十七日千七百一十七萬一百七十分，行星七度八百七十三萬六千五百七十分。一見，三百七十七日千八百三萬二千百六十二五分，行星十二度千三百二十一萬五百分。通其率，故曰:日行四千三百二十分度之百四十五。

火，晨始見，去日半次。順，日行九十二分度五十三，二百七十六日，始留，十日而旋。逆，日行六十二分度十七，六十二日，復(fù)留，十日而旋。復(fù)順，日行九十二分度五十三，二百七十六日而伏。凡見六百三十四日，除逆，定行星三百一度。伏，日行不盈九十二分度七十三分，伏百四十六日千五百六十八萬九千七百分，行星百一十四度八百二十一萬八千五分。一見，七百八十日千五百六十八萬九千七百分，凡行星四百一十五度八百二十一萬千五分。通其率，故曰:日行萬三千八百二十四分度之七千三百五十五。［22］

此處之“通其率”是何種算法?呂子方認(rèn)為通其率就是連分?jǐn)?shù)，此處之計算都是分?jǐn)?shù)的近似計算［23］。李繼閔質(zhì)疑呂子方看法［20］。他以對土星、木星、火星日行度的驗算表明:在《三統(tǒng)歷》中按“五步”所載數(shù)據(jù)計算都是精確的。并認(rèn)為“呂子方由于采用十進(jìn)小數(shù)并保留小數(shù)點后六位數(shù)字，因而導(dǎo)致了近似計算”。

李繼閔自問“通其率術(shù)——是約分還是分?jǐn)?shù)近似法?”。他的自答是:兩者皆是［24］。他認(rèn)為“從詞語結(jié)構(gòu)看，‘通其率’與‘通分’同類，‘通’是動詞，‘其率’是名詞(作賓語)”(［20］，28頁)。筆者亦撰文指出:對于“通分術(shù)”，學(xué)術(shù)界存在著不恰當(dāng)?shù)睦斫?。因為籌筭實用性、經(jīng)濟(jì)性的原因，通分是化分?jǐn)?shù)為整數(shù)的算法，通分算法往往運(yùn)用于分?jǐn)?shù)除法。筆者認(rèn)為“通其率”既非約分，亦非漸近分?jǐn)?shù)算法，而是《晉書·律歷志》和《宋書·律歷志》中的“通分相約，終而率之”［25，26］。簡單地說，“通其率”等于《后漢書·律歷志》中的“通率”［27］。學(xué)術(shù)界一般認(rèn)為《九章筭術(shù)》“其率術(shù)”中的“其”有推測、揣測之意。筆者認(rèn)為:“通其率”中之“其”，在此處作代詞用，指木星、火星、土星。對于中國古代數(shù)學(xué)“率”的研究，已有不少專論［28，29］。總而言之，“率”指一組數(shù)，這些數(shù)有正比例關(guān)系。最簡單的是兩個數(shù)的正比例關(guān)系①如果a:b=常數(shù)，則a、b分為二率。最明顯的例子是圓周率和圓徑率。有圓周率:圓徑率 =π。值得注意的是:一組率數(shù)往往要求是既約的:即若a、b為率，則a、b最大公約數(shù)(a，b)等于1。同理，若a、b、c為率，則要求(a，b，c)=1。。

在以上對“通”、“其”、“率”理解的基礎(chǔ)上，就可以解釋《漢書》之“通其率”?！巴ㄆ渎省敝荚谟嬎?。由于星行率、日行率都是分?jǐn)?shù)，計算分?jǐn)?shù)除法自然要用到通分，以便化除數(shù)、被除數(shù)為整數(shù)。但為何不稱為“通分”?因為通分之后，兩數(shù)并不互素;為了化兩數(shù)為互素，得到既約之率，故稱為“通其率”。具體算法見表1。

表1 三統(tǒng)歷之通其率

可見，三統(tǒng)歷的“通其率”只是簡單的通分術(shù)運(yùn)用于“率”上的結(jié)果。

王榮彬、徐澤林的文章認(rèn)為中國數(shù)學(xué)史上是否有“通其率術(shù)”之名，值得考證［11］。其實，“通其率”不是某種算法的專用術(shù)語。劉徽為《九章筭術(shù)》作注，多次用到‘通某某之率“的句式，亦有直接用到“通其率”。

卷六均輸卷中人持金出關(guān)題注:

按:此術(shù)置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所當(dāng)稅者也。減二斤，余即關(guān)取盈金，以盈除所償錢，即金直也。今術(shù)既以十二斤為所稅，則是以十為母，故以十乘二斤及所償錢，通其率。于今有術(shù)，五千錢為所有數(shù)，十為所求率，八為所有率，而今有之，即得也。(［16］，250頁)此處“通其率”是要計算，通其率，是通分術(shù)在率上的簡單應(yīng)用。

卷六金棰題注:

按:此術(shù)五尺有四間者，有四差也。今本末相減，余即四差之凡數(shù)也。以四約之，即得每尺之差，以差數(shù)減本重，余即次尺之重也。為術(shù)所置，如是而已。今此率以四為母，故令母乘本為衰，通其率也。亦可置末重，以四間乘之，為上第一衰。以差重率加之，為次下衰也。(［16］，251—252頁)

此處通其率指:差數(shù)=(本重－末重)/4，列衰為:本重、(本重－差數(shù))、(本重－2差數(shù))、(本重－3差數(shù))、(本重－4差數(shù))，由于差數(shù)為分?jǐn)?shù)，以4為母，所以必須用4乘本重，則差數(shù)可以化分?jǐn)?shù)為整數(shù)。亦是通分術(shù)在“率”上的簡單應(yīng)用。

唐代李淳風(fēng)為《九章筭術(shù)》作注，也有直接用到“通其率”。卷三衰分“牛、馬、羊食人苗”題注:

臣淳風(fēng)等謹(jǐn)按:此術(shù)問意，羊食半馬，馬食半牛，是謂四羊當(dāng)一牛，二羊當(dāng)一馬。今術(shù)置羊一、馬二、牛四者，通其率以為列衰。(［16］，106—107頁)

此處“通其率”為“通達(dá)其率”之意。因為4羊=1牛，2羊=1馬，則羊∶馬∶牛=1∶2∶4。由此可知，至少在劉徽和李淳風(fēng)心目中，“通其率”并非專用術(shù)語，它只是一個簡單的通分算法，這種理解和“通率”、“通分相約、終而率之”是一致的。

4 祖沖之圓周率和漸近分?jǐn)?shù)算法

中國古代有無漸近分?jǐn)?shù)算法，是中國數(shù)學(xué)史上的一個疑案。因為大量的漸近分?jǐn)?shù)出現(xiàn)在中國歷史上，卻沒有明確記載這些數(shù)據(jù)來源的文獻(xiàn)。各家基本持肯定的觀點，但具體看法又有不同。呂子方認(rèn)為是連分?jǐn)?shù)［23］，李繼閔認(rèn)為是通其率［20］，曲安京則認(rèn)為有一種閏周算法［30］，這三種算法在算理上是等價的。另外也有調(diào)日法的說法。其實，通其率只是通分(率之)。連分?jǐn)?shù)之說和閏周算法之說都具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形式，是它們的缺陷。對于古算來說，計算結(jié)果固然重要，更重要的是要符合籌筭之運(yùn)算過程。筆者認(rèn)為:在中國歷史上，漸進(jìn)分?jǐn)?shù)算法是存在的，但和《漢書》的通其率沒有關(guān)系，不是其求星日行度的方法。

實際上，歷家方程的一個妙用，就是它的計算過程中可以自然地得到一系列的漸近分?jǐn)?shù)。而這種算法既符合籌筭之形式，又根本無須用到比《九章筭術(shù)》更高深的數(shù)學(xué)知識，因此筆者認(rèn)為利用方程求得一系列漸進(jìn)分?jǐn)?shù)，可能更能符合古人的原意。

《隋書·律歷志》載:

古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法。以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。［31］

由于密率355/113是π的一個漸近分?jǐn)?shù)，這里實是一個求漸近分?jǐn)?shù)的問題。祖沖之如何得到約密二率，諸說紛紜。有連分?jǐn)?shù)說［32］，大衍術(shù)說［33］，調(diào)日法說(［5］，87—88頁)，通其率說［20］，閏周算法說［30］。下面用方程說明祖沖之如何得到他的約密二率①當(dāng)然下述過程這也可以同樣解釋歷史上出現(xiàn)的其他漸近分?jǐn)?shù)，例如調(diào)日法之強(qiáng)弱二率和，閏周、朔望月余數(shù)、近月點余數(shù)、平氣余數(shù)、交食周期之強(qiáng)、弱二率。。祖沖之先用劉徽割圓術(shù)中求圓周率的辦法得到圓周盈朒二限。假如祖沖之舍棄余分取周3141592、徑1000000，用方程術(shù)便可求得約率和密率(用現(xiàn)今數(shù)碼代替筭籌，空位表零，不失籌筭本意):

如此便得:約率22/7和密率355/113。筆者推測，這種方程運(yùn)算對祖沖之來說應(yīng)是再自然不過。

5 結(jié)論

綜上所述，本文結(jié)論如下:

其一，歷家之方程即《九章筭術(shù)》之方程。如果把此方程三橫行布筭的最上面一橫行刪去，用輾轉(zhuǎn)相除替代直除，把左下角和右上角兩數(shù)位置調(diào)換，并把運(yùn)算之負(fù)數(shù)全改為正數(shù)，那么它就是《數(shù)書九章》所載之大衍求等術(shù)。如果再把兩數(shù)做約化處理，那么它的形式與算法就和大衍求一術(shù)完全一樣。

其二，“約奇弗約偶”之奇偶即指兩元數(shù)之單雙。秦九韶對不同情況采用不同約化元數(shù)的方法。當(dāng)兩元數(shù)中有奇則用“約奇弗約偶”，務(wù)必使約化后兩數(shù)無等。當(dāng)兩元數(shù)俱偶，則“約畢可存一位見偶”，即約化后只可存一位偶數(shù)。如以上約化之后，“猶有類數(shù)存”，則“姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之”。

其三，歷家之方程不知約化，用筭繁多。在此基礎(chǔ)上，秦九韶提出了約化定數(shù)的方法，利用筭圖，對方程進(jìn)行優(yōu)化，提出大衍求一術(shù)，結(jié)合《孫子筭經(jīng)》已有之算法程序，給出了相當(dāng)于求解一次同余方程式組的系統(tǒng)算法——大衍總數(shù)術(shù)。

其四，《漢書》之通其率并非專門術(shù)語，亦非漸進(jìn)分?jǐn)?shù)算法，它只是對率通分，即“通率”、“通分相約、終而率之”。

其五，在歷家方程之運(yùn)算過程中可以自然得到一系列漸近分?jǐn)?shù)。這樣就可以自然地解釋中國歷史上出現(xiàn)的大量漸近分?jǐn)?shù)——既可符合籌筭之過程，又無需用到比《九章筭術(shù)》更高深的數(shù)學(xué)知識①筆者認(rèn)為古書中之相關(guān)記載，往往對應(yīng)著一個籌筭過程。這即是說如果今人對于歷筭、數(shù)學(xué)之解釋，是不可用筭籌是操作的，那么往往是錯誤的。。

秦九韶之大衍求一算理晦澀，然而以方程觀之，則其理自現(xiàn)?！傲⑻煸弧敝唬墙枰还g之意;“奇一而止”之一，則是等數(shù)一。即秦九韶所謂:“歷家雖用，用而不知”、“獨(dú)大衍法不載《九章》，未有能推之者。歷家演法頗用之，以為方程者，誤也”。至此，大致勾勒出秦九韶之前大衍求一術(shù)的發(fā)展情況:由更相減損術(shù)和方程術(shù)到歷家之方程，再到大衍求等術(shù)，最后到大衍求一術(shù)。利用筭圖，再提出約化元數(shù)的方法，秦九韶完成了大衍總數(shù)術(shù)。

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17 錢寶琮.秦九韶《數(shù)書九章》研究［A］.吳文俊.秦九韶與《數(shù)書九章》［C］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1987.71.

18 侯鋼.兩宋易數(shù)及其與數(shù)學(xué)之關(guān)系初論［J］.北京:中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所博士學(xué)位論文，2006.75—80.

19 (南宋)陳振孫撰.直齋書錄解題［A］，徐小蠻，顧美華點校.上海:上海古籍出版社，1987.368—369.

20 李繼閔.“通其率”考釋［A］.吳文俊.中國數(shù)學(xué)史論文集(一)［C］.濟(jì)南:山東教育出版社，1985.

21 李繼閔.“大衍求一術(shù)”溯源［A］.吳文俊.秦九韶與《數(shù)書九章》［C］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1987.138—158.

22 (東漢)班固.漢書·律歷志下［A］.北京:中華書局，1964.998—1000.

23 呂子方.中國科學(xué)技術(shù)史論文集·上冊［M］.成都:四川人民出版社，1983.86—96.

24 李繼閔.中算家的分?jǐn)?shù)近似法探究——兼論數(shù)學(xué)史研究的方法問題［A］.吳文俊.中國數(shù)學(xué)史論文集(三)［C］.濟(jì)南:山東教育出版社，1987.31—33.

25 (唐)李淳風(fēng).晉書·律歷志下［A］.北京:中華書局，1974.553.

26 (梁)沈約.宋書·律歷志中［A］.北京:中華書局，1974.248.

27 (晉)司馬彪.后漢書·律歷志下［A］.北京:中華書局，1965.3070—3073.

28 郭書春.《九章算術(shù)》和劉徽注中之率概念及其應(yīng)用試析［A］.科學(xué)文集刊編輯委員會.科學(xué)史集刊(十一)［C］.北京:地質(zhì)出版社，1984.21—36.

29 李繼閔.《九章算術(shù)》中的比率理論［A］.吳文俊.《九章算術(shù)》與劉徽［C］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1982.229—245.

30 曲安京.祖沖之是如何得到圓周率π=355/113的?［J］.自然辯證法通訊，2002，139(3):72—77.

31 (唐)李淳風(fēng).隋書·律歷志上［A］.北京:中華書局，1973.387—388.

32 華羅庚.從祖沖之圓周率談起［M］.北京:人民教育出版社，1964.12—14.

33 錢寶琮.古算考源［M］.上海:商務(wù)印書館，1930.47.