陳惠勇

(江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330022)

0引言

高斯(C.F.Gauss，1777—1855)的非歐幾何學(xué)思想意在揭示歐氏幾何不具有唯一的(物理的)必然性，而其內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)則深刻地揭示了幾何空間的非歐本質(zhì)。高斯的非歐幾何研究有兩個(gè)核心問題［1］:平行線的定義(即第五公設(shè)之否定——它與三角形內(nèi)角之和小于180°的假定等價(jià));絕對(duì)長(zhǎng)度單位(即高斯所說的常數(shù))。從現(xiàn)代微分幾何的觀點(diǎn)看，我們知道:第一個(gè)問題本質(zhì)上是角之盈余或虧量的問題(這與高斯-博內(nèi)定理直接相關(guān))，而絕對(duì)長(zhǎng)度單位與高斯曲率K密切相關(guān)且等于

因此，是否抓住了這兩個(gè)核心問題就成為我們?nèi)胬斫飧咚沟姆菤W幾何學(xué)思想與其內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)思想內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系的關(guān)鍵。正如高斯自己于1824年11月8日給陶里努斯(F.A.Taurinus，1794—1874)的信中所寫:

三角形的三角之和小于180°，這假定導(dǎo)引到特殊的，與我們的幾何完全相異的幾何。這幾何是完全一貫的，并且我發(fā)展它本身，結(jié)果完全令人滿意。除了某一個(gè)常數(shù)的值不能先天地予以表示定義以外，在這幾何里我能解決任何課題。我們給予這常數(shù)值愈大，則愈接近歐幾里得幾何，而且它的無窮大值會(huì)使得雙方系統(tǒng)合而為一。

如果宇宙的幾何真是非歐的，而且如果這常數(shù)的數(shù)量級(jí)和我們能夠得到的對(duì)地球或

天體的測(cè)量值相差不太遠(yuǎn)的話，那我們應(yīng)該可以算出這常數(shù)。［2］

高斯的這段話，道出了非歐幾何與內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)內(nèi)在的深刻聯(lián)系及其本質(zhì);同時(shí)，也指出了他所說的絕對(duì)長(zhǎng)度單位(常數(shù))與他的非歐幾何學(xué)思想的實(shí)現(xiàn)途徑及其與內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。

本文將高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)與其非歐幾何學(xué)研究視為一個(gè)完整的、統(tǒng)一的思想體系，這也是作者關(guān)于高斯幾何學(xué)思想的基本認(rèn)識(shí)。因此，我們將高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)思想置于整個(gè)非歐幾何學(xué)的歷史背景中加以比較考察，同時(shí)又將高斯早年的非歐幾何學(xué)研究納入他所創(chuàng)立的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的思想體系之中，從現(xiàn)代微分幾何學(xué)的視角，通過對(duì)原始文獻(xiàn)以及相關(guān)研究文獻(xiàn)的比較分析，探究高斯非歐幾何學(xué)思想的實(shí)現(xiàn)途徑。

1 非歐幾何學(xué)的一個(gè)歷史疑問

史料表明，高斯于1824年已經(jīng)得到了歐氏幾何與非歐幾何之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系——即“我們給予這常數(shù)值愈大，則愈接近歐幾里得幾何，而且它的無窮大值會(huì)使得雙方系統(tǒng)合而為一”［2］。高斯在這里所說的“常數(shù)值”在歐氏幾何與非歐幾何之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系上有著重要意義。

那么，關(guān)于非歐幾何學(xué)的一個(gè)歷史性的疑問就是:為什么高斯不發(fā)表自己的研究呢?長(zhǎng)期以來，人們一直以高斯在1829年1月27日給貝塞爾(F.W.Bessel，1784—1846)的信札中寫到的話作為高斯沒有公開發(fā)表非歐幾何研究的證明:

恐怕我還不能夠迅速修改關(guān)于這個(gè)問題的自己很廣泛的研究，使它可以出版，甚至在我的一生里可能不能解決這件事，因?yàn)楫?dāng)我發(fā)表自己的全部意見時(shí)，我害怕會(huì)引起波哀提亞人的叫囂。(［2］，200頁)

然而，問題真的是那么簡(jiǎn)單嗎?高斯本人的意圖到底是怎樣的?我們仔細(xì)分析高斯這段話的含義，可以看出:后人更多的是強(qiáng)調(diào)后半句的意思，即“當(dāng)我發(fā)表自己的全部意見時(shí)，我害怕會(huì)引起波哀提亞人的叫囂”，而簡(jiǎn)單地認(rèn)為高斯“這主要是因?yàn)樗械阶约旱陌l(fā)現(xiàn)與當(dāng)時(shí)流行的康德空間哲學(xué)相抵觸，擔(dān)心世俗的攻擊”(［3］，229頁)。M.克萊因(M.Kline，1908—1992)也說道:“高斯也許過分小心，但人們應(yīng)記得，雖然一些數(shù)學(xué)家逐漸達(dá)到非歐幾何研究的頂峰，但大部分知識(shí)界還被康德的教條所統(tǒng)治”(［4］，288頁)。

但是，1844年11月1日，高斯寫信給他的朋友舒馬赫(H.C.Schumacher，1780—1850)說:

你在當(dāng)代哲學(xué)家謝林、黑格爾、內(nèi)斯·馮·埃森貝克和他們的追隨者身上看到同樣的東西(數(shù)學(xué)上的無能);他們的理論怎能不使你毛骨悚然?讀讀古代哲學(xué)史，過去的那些偉大人物——柏拉圖等等——都提出了一些錯(cuò)誤的理論。甚至康德本人也不怎么樣。照我看來，他對(duì)分析命題與綜合命題的區(qū)分，也只不過是一些過時(shí)的東西罷了(［2］，200 頁)。

這表明高斯對(duì)于當(dāng)時(shí)流行的康德的哲學(xué)觀點(diǎn)是持批判態(tài)度的，高斯應(yīng)該是不屬于被康德的教條所統(tǒng)治的大部分知識(shí)界之范疇的。因而那種所謂的“擔(dān)心與當(dāng)時(shí)流行的康德空間哲學(xué)相抵觸”的觀點(diǎn)是不成立的。

當(dāng)我們仔細(xì)分析與體會(huì)高斯的前半句話的含義:一是“我還不能夠迅速修改”，二是“我的一生里可能不能解決”。對(duì)比高斯在這一時(shí)期創(chuàng)立的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何的基本思想，我們可以看出，其實(shí)高斯是另有原因的。這就是說，在高斯看來非歐幾何還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到他所希望的那種成熟到可以發(fā)表的程度。高斯一生的工作一再驗(yàn)證了他的座右銘:“少些，但要成熟”(轉(zhuǎn)引自［5］，136頁)。

然而，幾乎就在同一時(shí)期，高斯已經(jīng)在著手創(chuàng)立他的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)，并且已經(jīng)找到了研究“彎曲空間”的一般方法——即從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀。

因此，筆者認(rèn)為:關(guān)于非歐幾何的這一歷史疑問，只有在全面比較考察和研究高斯的幾何學(xué)思想(非歐幾何學(xué)和內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué))的基礎(chǔ)上，才可能有一個(gè)比較合理的解釋(或歷史的重構(gòu))。

2 高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)思想與黎曼《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》

黎曼(C.F.Bernhard Riemann，1826—1866)可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家。他創(chuàng)立的黎曼幾何學(xué)不僅是對(duì)已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何(羅巴切夫斯基幾何)的承認(rèn)，而且顯示出了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。黎曼認(rèn)識(shí)到度量是加到流形上去的一種結(jié)構(gòu)，因此，同一個(gè)流形可以有眾多的黎曼度量。黎曼以前的幾何學(xué)家只知道曲面的外圍空間的度量賦予曲面的誘導(dǎo)度量:dr2=ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2(即第一基本形式)，并未認(rèn)識(shí)到曲面還可以獨(dú)立于外圍空間而定義，可以獨(dú)立地賦予度量結(jié)構(gòu)，黎曼認(rèn)識(shí)到這件事有著非常重要的意義。他把誘導(dǎo)度量與獨(dú)立的黎曼度量?jī)烧邊^(qū)分開來，從而創(chuàng)造了以二次微分形式(即黎曼度量):

為出發(fā)點(diǎn)的黎曼幾何，這種幾何以各種非歐幾何作為其特例。

黎曼的上述構(gòu)想必定是與高斯的深刻影響分不開的①黎曼幾何的產(chǎn)生則是受到了多方面的影響，其幾何學(xué)思想的三個(gè)主要來源是:數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)思想的影響。見［6］．［6］。首先，高斯是黎曼的老師，師生之間的深刻影響是必然的。在高斯的指導(dǎo)下，黎曼于1851年完成他的博士論文《單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)》，其中給出了單值解析函數(shù)的嚴(yán)格定義，同時(shí)引進(jìn)了一個(gè)非常重要的概念——“黎曼曲面”。黎曼曲面本身就是一個(gè)流形，對(duì)于黎曼曲面的研究已經(jīng)構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它涉及分析、幾何和拓?fù)涞痊F(xiàn)代數(shù)學(xué)的廣大領(lǐng)域。

其次，當(dāng)我們深入地分析黎曼《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的內(nèi)容及其蘊(yùn)含的深刻思想，就可以發(fā)現(xiàn)高斯的思想對(duì)黎曼的影響是非同一般的。黎曼在這篇著名的演說中所要解決的兩個(gè)核心問題是:一是建立n度廣義流形的概念，另一個(gè)問題就是建立n維流形上可容許的度量關(guān)系。黎曼在他的演講中三次提到高斯的工作。

第一次是在演講的第一部分:“n度廣義流形的概念”，黎曼說道:

因?yàn)榻鉀Q這個(gè)問題的困難主要是概念上而非構(gòu)造上的，而我對(duì)這個(gè)困難的哲學(xué)方面思考得很少;況且除了樞密顧問高斯發(fā)表在他的關(guān)于二次剩余的第二篇論文及在他寫的紀(jì)念小冊(cè)子之中的非常簡(jiǎn)短的提示和Herbart的一些哲學(xué)研究外，我不能利用任何以前的研究。(［7］，602頁)

從這里我們可以看出，黎曼提到高斯“非常簡(jiǎn)短的提示”，說明高斯已經(jīng)有了至少是模糊的或初步的流形的觀念，并且這種觀念對(duì)黎曼是有所啟發(fā)的。

第二次是在演講的第二部分:“n維流形上可容許的度量關(guān)系”，黎曼說道:

關(guān)于這個(gè)問題的兩個(gè)方面(指一個(gè)流形能容許的度量關(guān)系和確定度量關(guān)系的充分條件)的基礎(chǔ)包含在樞密顧問高斯關(guān)于曲面的著名論文中。(［7］，605頁)這里所說的著名論文就是指高斯的《關(guān)于曲面的一般研究》。

第三次是在演講的第二部分的第2小節(jié)中，黎曼說到在一般流形上用作衡量曲面片在一點(diǎn)偏離平坦的程度的數(shù)值時(shí)，再一次提到高斯的工作“當(dāng)這個(gè)數(shù)值乘以時(shí)得到的值就是樞密顧問高斯所謂的曲面的曲率”(［7］，607頁)，這里的數(shù)值就是現(xiàn)在所稱的“高斯曲率”。以上分析足以證明高斯的思想對(duì)黎曼的深刻影響。

從黎曼的幾何學(xué)構(gòu)想上看更能看出黎曼幾何思想與高斯內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)思想的一脈相承。首先，黎曼幾何學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是所謂的黎曼度量它與高斯的出發(fā)點(diǎn)第一基本形式dr2=ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2相比較，我們明顯地看出黎曼度量是高斯的第一基本形式(相當(dāng)于n=2的情形)的高維推廣，當(dāng)然黎曼用的是張量的記號(hào)。

事實(shí)上，用現(xiàn)代微分幾何學(xué)的觀點(diǎn)來看我們知道，二維情形的黎曼幾何學(xué)就是高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)。因此，黎曼的幾何學(xué)思想不僅對(duì)高斯內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)思想有繼承更有發(fā)展，而這種思想的一脈相承的更為本質(zhì)的體現(xiàn)，則是黎曼對(duì)于n維流形在一點(diǎn)的一個(gè)曲面方向的曲率的形象解釋，他完全遵循著高斯的思路，黎曼指出:

……前一種解釋蘊(yùn)含著曲面的兩個(gè)主曲率半徑的乘積在曲面不伸縮的形變時(shí)是不改變的這個(gè)定理，后一種解釋蘊(yùn)含著在每一點(diǎn)的無窮小三角形的內(nèi)角和超過兩個(gè)直角的部分和它的面積成比例。為了給出n維流形在一點(diǎn)的一個(gè)曲面方向曲率的形象解釋，我們必須由這樣一個(gè)原則出發(fā)，即從一點(diǎn)發(fā)出的最短線被初始方向完全確定。(［7］，609 頁)

這正是高斯曲面論的兩個(gè)核心定理，即高斯的絕妙定理和高斯-博內(nèi)定理，而且黎曼所遵循的原則也正是高斯研究的出發(fā)點(diǎn)?？梢?，黎曼的幾何學(xué)構(gòu)想與高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)思想在本質(zhì)上是一致的。

3 常數(shù)(絕對(duì)長(zhǎng)度單位)高斯曲率曲面與非歐幾何的實(shí)現(xiàn)

黎曼幾何學(xué)思想不僅是對(duì)高斯內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)思想的繼承，更重要的是對(duì)高斯內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)思想的發(fā)展。由于黎曼認(rèn)識(shí)到度量是加到流形上去的一種結(jié)構(gòu)，因此，同一個(gè)流形可以有眾多的黎曼度量。黎曼在他的就職演說《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》中，特別地考慮了所謂的常曲率流形，這種流形的度量關(guān)系僅與曲率的值有關(guān)，如果設(shè)曲率為α，那么度量ds可取下面的形式(［7］，609頁):

這是黎曼的演講中出現(xiàn)的唯一的一個(gè)數(shù)學(xué)公式。這里的常數(shù)α就是高斯曲率在高維情形的推廣——稱為黎曼曲率張量。因而，具有上述度量的流形就是所謂的常曲率流形(在n=2的情形，就是所謂的常數(shù)高斯曲率曲面)。我們可以證明:當(dāng)黎曼曲率張量α＞0時(shí)，就是球面幾何(又稱為正常曲率空間的幾何);當(dāng)黎曼曲率張量α=0時(shí)，就是歐氏幾何;而當(dāng)黎曼曲率張量α＜0時(shí)，就是羅巴切夫斯基幾何(稱為負(fù)常曲率空間的幾何或雙曲幾何)。

為了更好地理解黎曼的上述思想，我們?cè)诙S流形上來說明常曲率“空間”中的測(cè)地線的性狀以及非歐幾何的實(shí)現(xiàn)途徑［8］。

考慮第一基本形式為:的常數(shù)高斯曲率曲面(這就是黎曼考慮的常曲率流形)。通過計(jì)算可以知道，該曲面的高斯曲率K為常數(shù)α。當(dāng)α≥0時(shí)，該抽象曲面可以定義在整個(gè)(u，v)平面上;當(dāng)α＜0時(shí)，該抽象曲面的定義域是:

當(dāng)α=0時(shí)，則I=du2+dv2，此時(shí)的度量就是歐氏平面上的普通度量(就是由勾股定理所給出的度量)，它上面的測(cè)地線就是普通的直線，而這個(gè)抽象曲面的幾何就是普通的歐氏幾何。由于高斯曲率α=0，由高斯-博內(nèi)定理可知，在這個(gè)抽象曲面上其三角形的內(nèi)角和等于180°。

當(dāng)α＞0時(shí)，則這個(gè)抽象曲面可以看作E3中半徑為的球面通過從南極向球面在北極的切平面作球極投影所得到的像，如圖1所示。

圖1 球極投影

具體地說，這個(gè)投影的表達(dá)式是

或者

在球面上，測(cè)地線就是大圓。很明顯，這些大圓周在球極投影下的像是(u，v)-平面上以原點(diǎn)為中心、以為半徑的圓周C，以及所有的經(jīng)過圓周C的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)的直線和圓周，如圖2所示。

很明顯，在這樣的抽象曲面上，任意兩條測(cè)地線都是彼此相交的。因而，這個(gè)抽象曲面上的幾何就是球面幾何(非歐氏幾何)。由于高斯曲率α＞0，由高斯-博內(nèi)定理可知，在這個(gè)抽象曲面上由測(cè)地線構(gòu)成的三角形的內(nèi)角和大于180°。球面(高斯曲率等于1)上的測(cè)地三角形，如圖3所示。

的抽象曲面稱為Klein圓?？梢宰C明:在Klein圓內(nèi)的測(cè)地線是圓內(nèi)與圓周正交的圓弧或直徑，如圖4。

很明顯，在這樣的抽象曲面上，過“直線”外一點(diǎn)可以作無數(shù)條“直線”與已知“直線”不相交。因此，在Klein圓內(nèi)，歐氏幾何的“平行公設(shè)”——過直線外一點(diǎn)所引的與該直線平行的直線有且只有一條——不再成立。這個(gè)抽象曲面就是非歐幾何的Klein模型，它比非歐幾何的Beltrami模型(相當(dāng)于高斯曲率α=－1的情形，對(duì)應(yīng)的抽象曲面叫偽球面)更加簡(jiǎn)單明了地指出了，在這樣的抽象曲面上，普通的歐氏幾何的事實(shí)就成了羅巴切夫斯基幾何的定理。這個(gè)抽象曲面上的幾何就是雙曲幾何。由于高斯曲率α＜0，由高斯-博內(nèi)定理可知，在這個(gè)抽象曲面上由測(cè)地線構(gòu)成的三角形的內(nèi)角和小于180°。偽球面(高斯曲率α=－1)上的測(cè)地三角形，如圖5所示:

以上，我們從現(xiàn)代微分幾何的觀點(diǎn)，考察了高斯非歐幾何研究的實(shí)現(xiàn)途徑與內(nèi)蘊(yùn)微分幾何的內(nèi)在聯(lián)系。從中我們可以清楚地看到:高斯-博內(nèi)定理在聯(lián)系其非歐幾何研究的兩個(gè)核心問題之間的橋梁作用和特殊意義。高斯-博內(nèi)定理從本質(zhì)上揭示了從歐氏幾何學(xué)到非歐幾何學(xué)的發(fā)展歷史，這一歷史的發(fā)展過程，實(shí)際上就是從平面幾何到常數(shù)高斯曲率曲面上的幾何學(xué)的發(fā)展過程，更一般地，到抽象曲面上的幾何學(xué)的發(fā)展過程。在這一推廣過程中，直線換成了測(cè)地線(最短線)，相對(duì)曲率換成了測(cè)地曲率，其根本的不同之處在于所論的“空間”的高斯曲率的不同，也就是“空間”的度量結(jié)構(gòu)不同。歐氏“空間”的高斯曲率為零，由高斯-博內(nèi)定理有A+B+C=π，這就是“三角形的三內(nèi)角之和等于180度”的定理;非歐幾何的“空間”的高斯曲率不為零，由高斯-博內(nèi)定理有“三角形的三內(nèi)角之和不等于180度”，因此該“空間”是彎曲的!由于高斯曲率的符號(hào)的不同，影響了“空間”中的測(cè)地線的性狀不同，從而也決定了測(cè)地三角形的內(nèi)角和的不同。

因此，高斯-博內(nèi)定理對(duì)于人類關(guān)于空間性質(zhì)的認(rèn)知特別是對(duì)于空間的非歐本質(zhì)的認(rèn)識(shí)就有著重要的意義。

一般地，對(duì)于三維常數(shù)高斯曲率空間，我們有以下三種情形:曲率為正常數(shù)——黎曼非歐幾何(球面幾何);曲率為負(fù)常數(shù)——羅巴切夫斯基非歐幾何(雙曲幾何);曲率恒等于零——?dú)W幾里得幾何。

4 量地與測(cè)天——高斯非歐幾何的驗(yàn)證

從上面的分析和比較，我們可以看到高斯非歐幾何研究的實(shí)現(xiàn)途徑與他的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何思想的內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)然，高斯本人并未完全地實(shí)現(xiàn)這一過程。但是，高斯卻奠定了通向這一過程的理論與實(shí)踐兩方面的基礎(chǔ)。

在理論上，高斯已經(jīng)有了實(shí)現(xiàn)其非歐幾何研究的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)途徑的思想，高斯在其一般研究［9］的第20節(jié)中得到了著名的高斯-博內(nèi)定理之后，在接下來的第21節(jié)直到第29節(jié)全部用于比較定理的證明。在這些比較定理中，一方面，高斯把單個(gè)的角(不僅僅是角度之和)與歐幾里得平面上具有同樣長(zhǎng)度的直邊形三角形的角進(jìn)行比較;另一方面，高斯還把曲面上測(cè)地三角形的面積與歐幾里得平面上具有同樣長(zhǎng)度的直邊形三角形的面積進(jìn)行比較。從這我們不難看出高斯的真正用意。

在實(shí)踐上，高斯利用他的實(shí)際大地測(cè)量工作——量地與測(cè)天——親自驗(yàn)證他發(fā)現(xiàn)的非歐幾何。高斯為了說明他的角度比較定理和面積比較定理，進(jìn)行了實(shí)地的大測(cè)地三角形的測(cè)量。高斯在《關(guān)于曲面的一般研究》的第28節(jié)，附了一個(gè)當(dāng)時(shí)他所做的三角測(cè)量結(jié)果的記錄，其中三個(gè)頂點(diǎn)分別為Hohenhagen(H)，Brocken(B)及l(fā)nselsberg(I)的山頂;H，B，I兩兩的距離分別為69，85及107公里，幾近直角三角形。高斯利用他自己發(fā)明的日光發(fā)射信號(hào)器(heliotrope)得到山頂之間的由光線構(gòu)成三角形HBI，決定H，B，I的角度，測(cè)得三角和H+B+I為180°，因而與歐氏幾何符合;然后，再測(cè)量由測(cè)地線得到的地球表面上對(duì)應(yīng)的測(cè)地線三角形，并算出其角度H1，B1及I1，此三角和超過180°約14.85348″。雖說微不足道但確實(shí)超過180°，在三個(gè)頂點(diǎn)盈余的量分別是:

這三數(shù)與其平均值間的差異，與地球近北極時(shí)較平有關(guān)。差異顯然小于0.0002″，故高斯結(jié)論說:“即使是在地球表面上，這些角度可以測(cè)量到的巨大三角形上，這種差別通常是太小而難以覺察的”。［9］

后來的數(shù)學(xué)家揣測(cè)，這些測(cè)量還有額外的目的，就是檢查由光線造成的三角形HBI的內(nèi)角和與歐幾里得的值180°是否有偏差。

F.克萊因(Felix.Klein，1849—1925)指出:

在高斯的這些工作(非歐幾何學(xué))里，完全看不到高斯在他的無畏的思想面前退縮。從他與Olbers，Schumacher，Bessel以及其他人的通信，連同他的一些未公開發(fā)表的論文，毫無疑問地表明高斯已經(jīng)掌握了非歐幾何學(xué)的思想。雖然關(guān)于這個(gè)成就高斯一個(gè)字也沒有發(fā)表過，但是非歐幾何學(xué)思想，在他的任何工作中都沒有離開過，這一點(diǎn)從他的信件中清楚地流露出來。就此而言，上面說過的他測(cè)量光線所成的三角形，又有了新的意義。(［10］，14頁)

我們認(rèn)為，聯(lián)系前面所引的1824年11月8日高斯給Taurinus的信所表達(dá)的深刻含義，以及1827年3月1日高斯給他的朋友奧伯斯(Heinrich W.M.Olbers，1758—1840)的一封信中所說的:

在實(shí)際當(dāng)中，這(指地球表面測(cè)地三角形的不同角的修正值的差異)當(dāng)然一點(diǎn)也不重要，因?yàn)樗鼘?duì)于地球上可以測(cè)量到的最大的三角形來說是微不足道的;然而，科學(xué)的尊嚴(yán)要求我們要清楚地理解這個(gè)不等量的本質(zhì)。(［2］，188頁)

特別是，結(jié)合 19世紀(jì)后期貝爾特拉米(E.Beltrami，1835—1900)，F(xiàn).克萊因(F.Klein，1849—1925)，龐加萊(H.Poincare，1854—1912)等關(guān)于非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn)的實(shí)現(xiàn)途徑來看，我們認(rèn)為這種揣測(cè)是可以成立的。

如果上述認(rèn)識(shí)能夠成立的話，那么我們是否可以認(rèn)為:不管是量地或測(cè)天，高斯的真正用意是驗(yàn)證他的非歐幾何。因?yàn)楦咚故前褞缀慰闯珊土W(xué)一樣的實(shí)證科學(xué)，到底哪一種幾何為“真”，在“現(xiàn)實(shí)”中存在，他覺得只有實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚪獯?。因而，高斯企圖用他那個(gè)大測(cè)地三角形為實(shí)證，來發(fā)現(xiàn)宇宙空間與歐氏幾何的偏差。高斯的一生工作計(jì)劃嚴(yán)謹(jǐn)周密，特別是在他的大地測(cè)量工作中更表現(xiàn)出非凡的組織才能。因此，我們認(rèn)為，在當(dāng)時(shí)來講只有他自己心里有數(shù)，但歷史地看，那么結(jié)論是毫無疑問的［11］。

值得注意的是，莫里斯·克萊因(Morris Kline，1908—1992)在關(guān)于高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)與非歐幾何學(xué)思想的內(nèi)在聯(lián)系上，其觀點(diǎn)是自相矛盾的，關(guān)于高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)，他指出:

高斯的工作意味著，至少在曲面上有非歐幾何，如果把曲面本身看成是一個(gè)空間的話，高斯是否看到他的曲面幾何學(xué)的這種非歐幾何學(xué)的解釋，那就不清楚了。(［4］，308頁)

而在同一專著中，關(guān)于高斯的非歐幾何學(xué)思想，他又指出:

為了檢驗(yàn)歐幾里得幾何學(xué)和他的非歐幾何的應(yīng)用可能性，高斯實(shí)際測(cè)量了由Hoherhagen、Brocken和Inselberg三座山峰構(gòu)成的三角形的內(nèi)角之和，三角形三邊為69，85與197公里。他發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和比180°超出14″85?！绺咚顾J(rèn)識(shí)到的，這個(gè)三角形還小，又因在非歐幾何中，虧值與面積成正比，只有在大的三角形中才有可能顯示出180°與三角和有任何差距。(［4］，289頁)

然而，我們知道，高斯在他的《關(guān)于曲面的一般研究》的第21—29節(jié)，正是著力闡述直線型三角形(歐氏幾何學(xué)的)和測(cè)地三角形(非歐幾何學(xué)的)之間的角度比較定理和面積比較定理，高斯將其“檢驗(yàn)歐幾里得幾何學(xué)和他的非歐幾何學(xué)的應(yīng)用的可能性”的實(shí)際地理測(cè)量的結(jié)果記錄于他的一般研究之中，并構(gòu)成其中的第28節(jié)的內(nèi)容［9］。

今天，有很多經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)(如愛因斯坦的廣義相對(duì)論)，能夠證明現(xiàn)實(shí)世界的幾何是非歐的;但是由于差異很小，以至于在實(shí)際生活中，例如說筑路、造橋、開隧洞時(shí)，可以不去理它。正如高斯所說:

一般地說，在地球表面上所有可以測(cè)量到的三角形內(nèi)，這種誤差太小而難以察覺(error generaliter loquendo erit quinti ordinis，sed insensibilis in omnibus triangulis，qualia in superficie telluris dimetiri licet.)。［12］

這是高斯《關(guān)于曲面的一般研究》一文的最后一句話。同時(shí)，高斯在他的論文摘要中指出:

……但是哪怕曲面與球面僅是略有差別，這種修正也不應(yīng)忽略。因此，具體算出修正值并由此說明在地球表面測(cè)地三角形的情形下這些微不足道的偏差，是十分重要的。(［13］，569頁)

這句話與我們前面所引的高斯于1824年11月8日給陶里努斯的信中的話——“我們給予這常數(shù)值愈大，則愈接近歐幾里得幾何，而且它的無窮大值會(huì)使得雙方系統(tǒng)合而為一”——可以說是遙相呼應(yīng)。

肯定的觀察與實(shí)驗(yàn)來自原子物理與天文學(xué)。宇宙幾何的絕對(duì)單位長(zhǎng)度也許可以得自于星際距離及星際質(zhì)量的測(cè)量。我們不知道我們所看到的宇宙，其非歐幾何的高斯曲率是多少;我們甚至也不知道它是正是負(fù)，到處存在于這個(gè)銀河世界中的宇宙曲率的計(jì)算，依然是今天的科學(xué)家們最重要的工作。

根據(jù)愛因斯坦的廣義相對(duì)論，宇宙的真實(shí)幾何與歐氏幾何間的相差程度可以據(jù)之表示出來。我們可以從實(shí)驗(yàn)中計(jì)算出三條在重力場(chǎng)影響下的光線所構(gòu)成的三角形的內(nèi)角和。高斯所測(cè)量的三角形HBI的角之差實(shí)在太微小了，以至于高斯那時(shí)候和我們現(xiàn)有的光學(xué)儀器都無法測(cè)出，差異的數(shù)量級(jí)為10－17秒角，即小數(shù)點(diǎn)后有十六個(gè)零。但是，高斯卻認(rèn)識(shí)到:

如果宇宙的幾何真是非歐的，而且如果這常數(shù)的數(shù)量級(jí)和我們能夠得到的對(duì)地球或天體的測(cè)量值相差不太遠(yuǎn)的話，那我們應(yīng)該可以算出這常數(shù)。［2］

5結(jié)語

通過上述比較研究，我們認(rèn)為:高斯完全看到了這兩種幾何的內(nèi)在聯(lián)系，并且完全看到了曲面本身(即把曲面本身作為一個(gè)空間)的這種非歐本質(zhì)。高斯于1827年發(fā)表的《關(guān)于曲面的一般研究》不僅奠定了內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)，標(biāo)志著內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的誕生，而且提出了幾何學(xué)歷史上的一個(gè)具有革命性意義的概念——即一個(gè)曲面本身就是一個(gè)空間，尋求到了解決“從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀”這一重大理論問題的一系列重要方法，提出了高斯映射、高斯曲率、總曲率等重要概念，證明了高斯曲率在等距變換下的不變性(絕妙定理)以及由高斯曲率的符號(hào)進(jìn)一步將空間的曲面進(jìn)行分類，而高斯-博內(nèi)定理又進(jìn)一步揭示出空間的非歐本質(zhì)。

因此，高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)本質(zhì)上已經(jīng)蘊(yùn)含了他的非歐幾何學(xué)研究的基本思想，實(shí)現(xiàn)了他的非歐幾何研究中的兩個(gè)核心的問題，闡述了兩者的深刻的內(nèi)在聯(lián)系(高斯-博內(nèi)定理)。更重要的是，高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)思想為非歐幾何學(xué)的發(fā)展與最終的確認(rèn)指明了一條微分幾何的途徑，而這條道路最終引導(dǎo)著黎曼、貝爾特拉米、F.克萊因、龐加萊等偉大的數(shù)學(xué)家走向并最終實(shí)現(xiàn)了非歐幾何學(xué)的發(fā)展與確認(rèn)的艱難歷程。

致 謝本文得到我的導(dǎo)師李文林先生的悉心指導(dǎo)，并得到先生主持的基金項(xiàng)目支持，在此表示衷心的感謝!

1 陳惠勇．高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何與非歐幾何［J］．西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，36(6):1028—1032．

2 Gauss C F．Werke［M］Ⅷ．London:Herausgegeben von der K;Gottingen:Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen，1900．

3 李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論［M］．第二版．北京:高等教育出版社，2002．229．

4 (美)莫里斯·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想(第三冊(cè))［M］．上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002．

5 Dombrowski P．Differential Geometry—150 Years After CARL FRIEDRICH GAUSS'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curves［J］．Astérisque，1979，62:97—153．

6 鄧明立，閻晨光．黎曼的幾何思想萌芽［J］．自然科學(xué)史研究，2006，25(1):66—75．

7 黎曼．關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)［A］．李文林?jǐn)?shù)學(xué)珍寶——?dú)v史文獻(xiàn)精選［C］．北京:科學(xué)出版社，1998．601—613．

8 陳維桓．微分幾何初步［M］．北京:北京大學(xué)出版社，2003．185—187．

9 高斯．關(guān)于曲面的一般研究［J］．陳惠勇譯，蘇陽校．?dāng)?shù)學(xué)譯林，2008，27．

10 F．克萊因．?dāng)?shù)學(xué)在19世紀(jì)的發(fā)展［M］．第一卷．齊民友譯．北京:高等教育出版社，2010．

11 Hall T．高斯——偉大數(shù)學(xué)家的一生［M］．第三版．田光復(fù)等譯．新竹:凡異出版社，1986．

12 Gauss C F．Werke［M］Ⅳ．London:Herausgegeben von der K;Gottingen:Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen，1880．

13 高斯．《關(guān)于曲面的一般研究》摘要［A］．李文林．?dāng)?shù)學(xué)珍寶——?dú)v史文獻(xiàn)精選［C］．北京:科學(xué)出版社，1998．565—570．