趙佳，楊景曙，金家保

（電子工程學(xué)院 信息對抗研究所，安徽 合肥 230037）

1 引言

在實(shí)際環(huán)境中多徑現(xiàn)象是普遍存在的，如在雷達(dá)測高或低角跟蹤的應(yīng)用中，目標(biāo)直接回波與地面反射波是強(qiáng)相關(guān)或相干的，類似的例子還有通信中基站與移動(dòng)臺之間的信號傳輸。此時(shí)，若干強(qiáng)相關(guān)或相干的信源會(huì)合并成一個(gè)信源使信號子空間秩虧損，故不能通過一般的 DOA估計(jì)方法（如MUSIC、ESPRIT等）對信源進(jìn)行分辨或測向?，F(xiàn)有處理方法主要分為2大類[1]：降維處理和非降維處理。降維類（如空間平滑類算法）方法[2～4]較為簡單，但陣列孔徑損失較大；非降維類（如Toeplitz近似算法）方法[5,6]雖不損失陣列孔徑，但穩(wěn)定性較差，估計(jì)偏差大。在實(shí)際環(huán)境中，由于無線信道傳播環(huán)境的復(fù)雜性，入射到天線陣列的信號中可能存在同向信號；此外，由于多徑相干信號的存在，還容易導(dǎo)致過載現(xiàn)象，即天線陣收到的信號數(shù)大于陣元數(shù)。在這種情況下，現(xiàn)有的這些解相干類 DOA估計(jì)方法都不能有效地進(jìn)行DOA估計(jì)。因此，有必要探索新的DOA估計(jì)方法。

盲源分離技術(shù)是在源信號信息及混合過程都未知的情況下，僅對觀測信號進(jìn)行處理就可以實(shí)現(xiàn)對源信號和系統(tǒng)的辨識，在被動(dòng)目標(biāo)的檢測與估計(jì)中具有優(yōu)勢。因此，這里考慮將盲源分離技術(shù)應(yīng)用到 DOA估計(jì)中。獨(dú)立分量分析(ICA, independent component analysis)是近年來由盲源分離技術(shù)發(fā)展起來的多道信號處理方法，在語音識別、通信、圖像處理、醫(yī)學(xué)信號處理等領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注。JADE算法[7]是由Cardoso提出的一種基于矩陣聯(lián)合對角化的ICA方法。該算法的主要特點(diǎn)是加強(qiáng)了算法的代數(shù)概念——引入了多變量數(shù)據(jù)的四維累積量矩陣，并對其作特征分解，簡化了算法，也提高了結(jié)果的穩(wěn)健性。

本文提出了一種基于JADE算法的DOA估計(jì)新方法。該方法是利用JADE算法對陣列流型矩陣進(jìn)行盲辨識，并將該陣列流型中的方向矢量看成是由多路復(fù)正弦信號線性混合而成，進(jìn)而利用頻譜分析的方法對各信源進(jìn)行DOA估計(jì)。經(jīng)過仿真驗(yàn)證，新方法不僅可以實(shí)現(xiàn)對來波方位相同信號的分辨，且具有較好的穩(wěn)定性，在信源數(shù)大于陣元數(shù)時(shí)仍然可以使用。

2 相干信號源的數(shù)學(xué)模型

窄帶陣列信號處理的模型如下：

其中，A為陣列流型；s(t)是信號矢量；n(t)是加性高斯噪聲矢量。

其中，天線陣列的陣元數(shù)為M，接收的信號數(shù)為N，第i路信號的波達(dá)方向（DOA）為iθ。

若 s1(t)和 s2(t)是由同一源發(fā)射經(jīng)不同路徑傳輸?shù)教炀€的強(qiáng)相關(guān)或相干信號，則有 s2( t) = αs1( t)，其中，α為復(fù)數(shù)幅度因子，表征了2個(gè)信號間的增益和相位關(guān)系。此時(shí)，信號模型中陣列流型式和信號矢量式可寫為

其中，混合信號1()t′s的來波方向既不是1θ也不是2θ。

3 基于JADE算法的DOA估計(jì)

假設(shè)信號模型中源信號各成分1s(t)之間互不相關(guān)，且均值為零，則其協(xié)方差陣為

那么，天線接收信號中的信號部分y(t)的自相關(guān)矩陣為

假設(shè)加性噪聲 n(t)為歸一化白噪聲，與信號相互獨(dú)立，則

在上面2個(gè)假設(shè)的前提下，陣列觀察信號的協(xié)方差陣可以寫為

3.1 球化數(shù)據(jù)

球化是JADE方法的第一步，通過球化可以消除各通道數(shù)據(jù)間的二階相關(guān)。假設(shè)N×M維球化矩陣為W，則球化就是使輸出 z =Wy的各分量 zi(t)的方差為1，且互不相關(guān)（但未必相互獨(dú)立）。

不失一般性，可以假設(shè)各源信號方差都為 1，則

所以

其中U=WA是一個(gè)酉矩陣。對任意的球化矩陣W都存在一個(gè)酉矩陣使得

其中，#表示偽逆，W#=W*( WW*)-1。

3.2 JADE算法

由式(13)可知：求出酉矩陣U便可對陣列流型矩陣A實(shí)現(xiàn)辨識。JADE算法的主要特點(diǎn)是引入了四階累積量矩陣。令為球化后的天線陣觀測矢量，M為任意M×M矩陣。則z的四階累積量矩陣第 i, j個(gè)元素定義為其中，Kijkl(z)是矢量z中第 i, j, k, l 4個(gè)分量的四階累積量， mkl是矩陣M的第 k, l個(gè)元素。

酉矩陣U = W A=[u1u2…uM]，ui=[ui1ui2…uiM]T，則

可以證明[7]：以M為權(quán)重矩陣構(gòu)成的累積量矩陣 Θz( M)必可分解為

其中，λ= k4(sm)是信源 sm的峰度，M稱為 Θz(M)的特征矩陣，k4(sm)是對應(yīng)的特征值。因此 Θz(M)可表示成 U Λ(M) U*。

其中

由此可見，U矩陣在這里起著將 Θz(M)對角化的作用。如果各信源的峰度互不相同，則um和λm也就各不相同，那么就能得到酉矩陣U，進(jìn)而可以求得陣列流型矩陣A和各獨(dú)立分量。

3.3 DOA估計(jì)的實(shí)現(xiàn)

天線陣為均勻直線陣，陣元間距為d，則陣列流型矩陣中的的方向矢量可以看成是對復(fù)正弦曲線的均勻采樣，采樣數(shù)即天線陣元數(shù)M。例如：

其中

式(19)中，f為載波頻率，c為波速。

復(fù)雜多徑環(huán)境下，方向矢量可以看成是由多路復(fù)正弦曲線線性混合而成。

式(20)中iα為復(fù)常系數(shù)。

可以采用頻譜分析的方法估計(jì)各頻率點(diǎn)ωi( i=1 ,2,…,m )，進(jìn)而可求出信號的來波方向。

頻譜分析一般是通過DFT方法來實(shí)現(xiàn)，但在這里，由于天線陣元數(shù)有限即采樣數(shù)據(jù)較少，不宜采用DFT方法，而是采用一些其他的方法，如改進(jìn)的前后向預(yù)測算法MFBLP[9]等。

綜上所述，基于JADE算法的DOA估計(jì)實(shí)現(xiàn)步驟總結(jié)如下。

第2步：選擇矩陣組M，根據(jù)球化數(shù)據(jù)z求得一組累積量矩陣 Θz( Mi)，i=1～P。

第5步：利用MFBLP算法對矩陣A?的列矢量進(jìn)行頻率估計(jì)，進(jìn)而計(jì)算出各信號來波方位為

這里稱為JADE-MFBLP算法。

4 克拉美羅界

利用中心極限定理可知：具有確定均值和方差的多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)過程的混合接近高斯分布。在盲源分離和獨(dú)立分量分析中，一般假設(shè)各源信號是相互獨(dú)立的，且為未知的非高斯分布（至多有一個(gè)高斯分布），而且假設(shè)混合過程是線性的，混合矩陣固定，且信號和噪聲的均值為零，可以認(rèn)為混合信號的分布近似為多元高斯分布。那么，混合信號概率密度函數(shù)的確定，只需要確定各混合信號的均值和方差。

由于信號間相互獨(dú)立，信號和噪聲互不相關(guān)，且均值都為零，則混合信號x的均值為

協(xié)方差矩陣為

那么，L次獨(dú)立快拍數(shù)據(jù)的聯(lián)合密度函數(shù)可以寫為

由于假設(shè)多次快拍間是獨(dú)立的，可以先對一次快拍進(jìn)行處理，最后再將所有的結(jié)果組合。單次快拍的對數(shù)似然函數(shù)為

Fisher信息矩陣（FIM）中的元素為

應(yīng)用矩陣求逆引理：

將FIM矩陣寫為如下分塊矩陣的形式。

可以按同樣的方式將 CRB矩陣寫成分塊矩陣形式：

利用分塊矩陣的求逆公式，可以求得[8]

上述的所有表達(dá)式都是基于單次快拍結(jié)果。如果有N次獨(dú)立的快拍結(jié)果，那么它的對數(shù)似然函數(shù)為

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將對DOA估計(jì)性能進(jìn)行了仿真分析。

仿真1 2個(gè)獨(dú)立信號源。

假設(shè)有2個(gè)相互獨(dú)立的QAM信號，來波方位分別為θ1和θ2，信噪比為SNR，天線陣元數(shù)為M，采樣長度為 NS= 1 000。

首先對 MUSIC算法、Toeplitz近似算法以及JADE-MFBLP算法在不同信噪比下的成功概率和估計(jì)方差進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

由圖1可以看出，本文所提出的新方法在不同信噪比下對2個(gè)相互獨(dú)立的信號進(jìn)行來波方位估計(jì)時(shí)，估計(jì)方差較MUSIC算法和Toeplitz近似算法都要??；成功概率與Toeplitz近似算法基本相同，比MUSIC算法要好。

圖1 MUSIC、Toeplitz近似算法和JADE-MFBLP算法對2個(gè)相互獨(dú)立信號的估計(jì)性能信真結(jié)果

當(dāng)2個(gè)信號的來波方位相同時(shí)，且未知任何信號先驗(yàn)知識的情況下，常用的 DOA估計(jì)方法（例如MUSIC算法、Toeplitz近似算法等）都是無法進(jìn)行DOA估計(jì)的。而JADE-MFBLP算法仍然可以實(shí)現(xiàn)對這2個(gè)信號的有效DOA估計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

由圖2可以看出，雖然JADE-MFBLP算法性能較2個(gè)信號來波方位不同時(shí)有所下降，但還是可以實(shí)現(xiàn)對2個(gè)來波方位相同信號的有效DOA估計(jì)。

下面對基于JADE盲源分離的DOA估計(jì)方法的估計(jì)方差與理想克拉美羅下界進(jìn)行比較。此時(shí)，M= 8 ，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 JADE-MFBLP算法的估計(jì)方差與CRB的比較

圖4 JADE-MFBLP算法與JADE-Toeplitz算法隨信噪比變化時(shí)的成功率和估計(jì)方差

由圖3可以看出，JADE-MFBLP算法的的估計(jì)方差隨著信噪比的增加，逐漸逼近理想的克拉美羅下界。

仿真2 2個(gè)相干信號源。

下面假設(shè)有2個(gè)完全相關(guān)（相干）的QAM信號，來波方位分別為θ1和θ2，信噪比為SNR，天線陣元數(shù)為M=8，采樣長度為 NS= 1 000。由于MUSIC算法不能對相干信號進(jìn)行有效DOA估計(jì)，因此這里只對Toeplitz近似算法以及JADE-MFBLP算法在不同信噪比下的成功率和估計(jì)方差進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，在對2個(gè)相干信號源進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，當(dāng)信號來波方位相差較大時(shí)，Toeplitz近似算法的估計(jì)性能要略優(yōu)于JADE-MFBLP算法；但當(dāng) 2個(gè)信號來波方位較小時(shí)，Toeplitz近似算法的估計(jì)方差明顯變大，性能下降，而JADE-MFBLP算法性能則明顯優(yōu)于Toeplitz近似算法。由此可見，JADE-MFBLP算法的穩(wěn)定性要優(yōu)于Toeplitz近似算法。

仿真3 JADE-MFBLP算法對多個(gè)相干信號的分辨能力。

JADE-MFBLP算法對相干信源的分辨能力與JADE算法的信號盲分離能力和 MFBLP算法的頻率辨識能力密切相關(guān)。在不考慮噪聲影響的情況下，JADE-MFBLP算法在不同陣元數(shù)時(shí)對相干信源的分辨能力如圖5所示。

圖5 不同陣元數(shù)時(shí)JADE-MFBLP算法可分辨的相干信源數(shù)

下面在陣元數(shù)M=6及不同信號源數(shù)的情況下，用JADE-MFBLP算法進(jìn)行DOA估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1（其中CM為常模信號）。

由圖5可以看出，隨著陣元數(shù)的增加，JADEMFBLP算法可分辨的相干信源數(shù)也增多。從表 1則可以看出，當(dāng)源信號增多時(shí)，JADE-MFBLP算法的分辨效果受到一定的影響，但當(dāng)天線陣接收信號數(shù)（含相干多徑信號）大于陣元數(shù)時(shí)，仍可以實(shí)現(xiàn)對各信號有效的DOA估計(jì)。

表1 JADE-MFBLP算法對多個(gè)信號進(jìn)行DOA估計(jì)

6 結(jié)束語

在復(fù)雜的電磁環(huán)境下，不僅可能存在同向信號，而且當(dāng)多徑現(xiàn)象存在時(shí)還會(huì)造成過載現(xiàn)象等，現(xiàn)有的DOA估計(jì)方法都不能很好解決這些問題。因此，針對上述問題，本文提出了一種基于 JADE算法的DOA估計(jì)新方法。仿真實(shí)驗(yàn)證明，該方法不僅對獨(dú)立信號有較好的估計(jì)性能，可以實(shí)現(xiàn)對來波方位相同的2個(gè)信號實(shí)現(xiàn)有效分辨，而且在對相干信號進(jìn)行分辨時(shí)的穩(wěn)定性較Toeplitz近似算法要好，在信源數(shù)（含相干多徑信號）大于陣元數(shù)時(shí)仍然可以使用。因此，在復(fù)雜的多徑環(huán)境下，采用本文方法進(jìn)行DOA估計(jì)將更具有優(yōu)勢。

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