成文婧，劉偉，丁丁，魏急波

（國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

1 引言

空時(shí)編碼技術(shù)能夠充分利用 MIMO(multiple input multiple output)系統(tǒng)中多個(gè)獨(dú)立的傳輸通路獲得分集增益，從而大幅提高信息傳輸?shù)目煽啃?，被認(rèn)為是新一代移動(dòng)通信系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一。正交空時(shí)分組碼(OSTBC, orthogonal space time block coding)[1,2]不僅可以達(dá)到全分集，而且是單符號(hào)可譯的，即每個(gè)發(fā)送符號(hào)可以彼此獨(dú)立地進(jìn)行最大似然(ML, maximum likelihood)譯碼，譯碼復(fù)雜度與星座調(diào)制階數(shù)成線(xiàn)性關(guān)系。然而，當(dāng)發(fā)送天線(xiàn)數(shù)大于 2時(shí)，復(fù)星座下的OSTBC碼速率均小于1[2]。為提高傳輸速率，文獻(xiàn)[3]提出了準(zhǔn)正交空時(shí)分組碼(QOSTBC, quasi-orthogonal space time block coding)，該碼可通過(guò)星座旋轉(zhuǎn)[4]獲得全分集，但需要使用成對(duì)符號(hào)聯(lián)合ML譯碼，其譯碼復(fù)雜度與星座調(diào)制階數(shù)的平方成正比。當(dāng)發(fā)送天線(xiàn)數(shù)大于 4時(shí)，QOSTBC[3,4]的碼速率仍然小于1。為此，文獻(xiàn)[5,6]提出了分組可譯的QOSTBC，碼速率在任意發(fā)送天線(xiàn)數(shù)下都能達(dá)到 1。文獻(xiàn)[7]系統(tǒng)研究了全分集QOSTBC的碼速率、譯碼復(fù)雜度和分集階數(shù)的最優(yōu)折中問(wèn)題，提出了 MGp-QOSTBC（multi-group decodable QOSTBC）構(gòu)架，進(jìn)一步完善了QOSTBC的理論研究。此外，文獻(xiàn)[8]分析QOSTBC的等效信道矩陣特性，提出了一種基于預(yù)處理的發(fā)送策略，使QOSTBC可以實(shí)現(xiàn)單符號(hào)ML譯碼，但是該策略不能保證全分集，所以帶來(lái)很大的性能損失[8]。

以上空時(shí)碼[1～8]，其碼字元素取自于集合(z表示空時(shí)編碼前的符號(hào))。后i來(lái)文獻(xiàn)[9,10]提出了一種更一般的 QOSTBC(G-QOSTBC)，它擴(kuò)大了碼字元素的取值范圍，讓其元素取自更大的集合該碼不但對(duì)任意的QAM星座都能達(dá)到全分集，而且不會(huì)帶來(lái)星座圖的擴(kuò)展。但是這種碼需要進(jìn)行成對(duì)符號(hào)聯(lián)合譯碼，譯碼復(fù)雜度較高。

本文從降低譯碼復(fù)雜度的角度出發(fā)，把預(yù)處理的思想應(yīng)用于 G-QOSTBC中，使其能實(shí)現(xiàn)單符號(hào)ML譯碼。另外，設(shè)計(jì)合理的符號(hào)交織和星座旋轉(zhuǎn)，在保證單符號(hào)ML譯碼的同時(shí)還達(dá)到了全分集和最大的編碼增益。該編碼方案的主要優(yōu)勢(shì)在于：與G-QOSTBC的性能幾乎相近卻具有更低的譯碼復(fù)雜度；與另一種全分集單符號(hào)可譯碼 CIOD (coordinate interleaved orthogonal design)[12]具有完全一致的誤碼率性能，但降低了峰均比。

符號(hào)說(shuō)明：小寫(xiě)粗體表示向量，如r，矢量r的第k個(gè)元素表示為 rk；大寫(xiě)粗體表示矩陣，如H，矩陣H的第k列表示為 hk，矩陣H的第p行第q列的元素表示為 hp,q； Id表示大小為d的單位矩陣。(·)*、(·)T和(·)H分別表示對(duì)矩陣進(jìn)行共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置操作。det( )表示求矩陣的行列式。

2 系統(tǒng)模型

考慮發(fā)送天線(xiàn)數(shù)nT=4，接收天線(xiàn)數(shù)nR的MIMO系統(tǒng)，傳輸一個(gè)碼字占用T=4個(gè)符號(hào)周期。系統(tǒng)模型如下：

假設(shè) hp,q為準(zhǔn)靜態(tài)平衰落信道，它在一個(gè)碼字時(shí)間內(nèi)保持不變，在不同碼字之間獨(dú)立地變化。假設(shè)接收端完全已知信道狀態(tài)信息，而發(fā)送端未知。

本文以下的設(shè)計(jì)都針對(duì)文獻(xiàn)[10]提出的4× 4的G-QOSTBC，其碼字如式(2)所示。

3 基于預(yù)處理的思想保證單符號(hào)最大似然可譯

本節(jié)將從降低譯碼復(fù)雜度的角度出發(fā)，把預(yù)處理的思想應(yīng)用于 G-QOSTBC中，推導(dǎo)基于預(yù)處理的單符號(hào)可譯系統(tǒng)模型。

考慮接收天線(xiàn)數(shù)nR=1，聯(lián)合式(1)和式(2)，得到以下模型：

式(3)可等價(jià)變換為

其中， n′是對(duì)n的某些分量做共軛處理，所以 n ′為白噪聲向量。

由式(4)可推得

由于HHH為Hermite矩陣，所以其特征值均大于等于0。因此其特征值分解可以表示為

其中，特征向量矩陣V為常數(shù)矩陣，跟實(shí)際的信道無(wú)關(guān)（具體的分解過(guò)程參見(jiàn)附錄1），這里給出結(jié)果。

假設(shè)接收端完全已知信道，所以在接收端可以對(duì)接收向量 y ′左乘 D-1VHHH有：

將式(4)和式(6)代入式(9)中，可得

可以證明， n′為白噪聲。證明過(guò)程參見(jiàn)附錄2。

由式(10)可以看出，在發(fā)送端做一定的預(yù)處理，可以保證在接收端單符號(hào)可譯。具體來(lái)說(shuō)，由于特征矩陣V是和信道無(wú)關(guān)的常數(shù)矩陣，可以在發(fā)送端對(duì)星座映射后的符號(hào)做預(yù)處理如式(11)所示。

則得到單符號(hào)可譯碼系統(tǒng)模型為

此時(shí)，接收端最大似然譯碼等價(jià)為尋找(s1, s2, s3, s4)使ML度量

最小。由于D是一個(gè)對(duì)角陣，所以ML度量可以寫(xiě)成4個(gè)獨(dú)立的度量之和的形式，即

4 全分集設(shè)計(jì)和最大化編碼增益

第3節(jié)提出的基于預(yù)處理的G-QOSTBC可以實(shí)現(xiàn)單符號(hào)可譯，但是本節(jié)后面分析表示，這種處理不能獲得全分集。本節(jié)將在第3節(jié)的基礎(chǔ)上，通過(guò)合理的符號(hào)交織（重新安排每個(gè)符號(hào)的實(shí)部和虛部）和星座旋轉(zhuǎn)來(lái)獲得全分集并最大化編碼增益。

由式(2)可知，

其中，

則

將式(9)代入式(13)和式(14)有

所以，將式(16)和式(17)代入式(15)可得

定義任意2個(gè)碼字之差為ΔC，則

當(dāng)Δs1≠0，Δs2=Δs3=Δs4=0時(shí)，ΔC≠0，代入式(19)可得，此時(shí) d et(Δ CHΔC ) = 0，也就是說(shuō)基于預(yù)處理的G-QOSTBC不能保證對(duì)于 ? ΔC≠0都有 d et(Δ CHΔC)＞0。所以該碼是不能獲得全分集的。

圖1 發(fā)送端結(jié)構(gòu)圖

針對(duì)此問(wèn)題，本文提出一種全分集的發(fā)送策略，具體處理流程如圖1所示。其中是來(lái)自旋轉(zhuǎn)星座 A = Aejθ的符號(hào)，經(jīng)過(guò)符號(hào)交織和預(yù)處理后再進(jìn)行 G-QOSTBC編碼。通過(guò)合理地設(shè)計(jì)星座旋轉(zhuǎn)角θ和符號(hào)交織，可以達(dá)到全分集同時(shí)保持單符號(hào)譯碼和最大化編碼增益。前文已經(jīng)介紹了預(yù)處理矩陣V的設(shè)計(jì)，本節(jié)后面將詳細(xì)給出符號(hào)交織和星座旋轉(zhuǎn)的方法。

把信號(hào)向量a中每個(gè)符號(hào)的實(shí)部和虛部重新組合，得到新的向量s如下：

其中 aiI表示 ai的實(shí)部， aiQ表示 ai的虛部，i= 1 ,… ,4 。

下面通過(guò)合理設(shè)計(jì)星座圖來(lái)保證全分集和最大化編碼增益。為此，首先給出文獻(xiàn)[11]中對(duì)(CPD,coordinate product distance)的定義。

定義 1 對(duì)于任意 2個(gè)星座點(diǎn) u = uI+ j uQ和v=vI+jvQ且u≠v，其CPD定義為：星座點(diǎn)集A的CPD為星座點(diǎn)集中任意 2個(gè)星座點(diǎn)的 CPD的最小值，即

將式(20)代入式(19)得到

此時(shí) d et(Δ CHΔC)表達(dá)式中每個(gè)因式都包含a1, a2, a3, a44個(gè)符號(hào)的信息（實(shí)部信息或虛部信息）。當(dāng)ΔC≠0時(shí)，Δ a1,Δ a2,Δ a3,Δ a4中至少有一個(gè)不為0。不妨假設(shè)Δa1≠0，Δ a2=Δ a3=Δ a4= 0 ，得到

分析 d et(Δ CHΔC)的表達(dá)式(22)，可以得到：設(shè)計(jì)星座A，使得 C PD(A)＞0，ak∈A，k= 1 ,2,3,4，則可保證該碼達(dá)到全分集。這是因?yàn)槿旨枰獫M(mǎn)足 ? ΔC≠0都有det(Δ CHΔC ) ＞ 0。根據(jù)式(22)，只要就能保證 d et(Δ CHΔC ) ＞ 0。也就是說(shuō)，適當(dāng)設(shè)計(jì)星座A使其 C PD＞ 0 ，則可以獲得全分集。實(shí)際上將任意 C PD (A ) = 0的星座做一定的旋轉(zhuǎn)θ即可保證其 C PD＞ 0 。

設(shè)計(jì)最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)角θ，保證星座點(diǎn)集A的CPD最大，則可最大化編碼增益。由式(22)可以看出，最大化編碼增益即是使最大。這和最大化星座點(diǎn)集A的CPD是一致的。因而最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)角應(yīng)保證星座點(diǎn)集A的CPD最大。文獻(xiàn)[11]中提出了一種全分集單符號(hào)可譯碼 CIOD，同樣是利用最大化星座的 CPD來(lái)達(dá)到最大編碼增益的。所以文獻(xiàn)[11]中分析得到的 CIOD在不同類(lèi)型星座下的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角同樣適用于本文提出的空時(shí)碼。例如，對(duì)于方形的 QAM 星座，其最佳的旋轉(zhuǎn)角為arctan(2)/2。

至此，本節(jié)證明了通過(guò)合理設(shè)計(jì)符號(hào)交織和星座點(diǎn)集A，保證其 C PD＞ 0 ，且最大化此星座點(diǎn)集的CPD，則可以達(dá)到全分集和最大化編碼增益。

文獻(xiàn)[11]中得出，對(duì)于CIOD，其

與式(21)比較可以看出兩者僅在系數(shù)上不同。但是本文的碼利用了所有的空時(shí)單元，而CIOD只利用了一半的空時(shí)單元，所以式(23)中每個(gè)符號(hào)能量是式(21)中每個(gè)符號(hào)能量的 2倍，因此本文提出的碼和CIOD具有相同的編碼增益。然而，由于本文所設(shè)計(jì)的碼利用了所有的空時(shí)單元，所以比CIOD具有更好的峰均比性能[11]。

由此，ML度量可以重寫(xiě)成f(a1)+f( a2)+f( a3)+f(a4)的形式，做單符號(hào)譯碼。

5 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文所提碼的性能，本節(jié)對(duì)其性能進(jìn)行了仿真分析，并與文獻(xiàn)[10]提出的G-QOSTBC，文獻(xiàn)[8]提出的基于預(yù)處理的QOSTBC，以及文獻(xiàn)[11]提出的CIOD進(jìn)行比較。調(diào)制方式為QPSK，其中G-QOSTBC采用的星座點(diǎn)集為CIOD以及本文提出的碼都采用星座點(diǎn)集A = Aejθ，其中旋轉(zhuǎn)角 θ = a rctan(2)/2。發(fā)送天線(xiàn)數(shù)nT= 4 ，且發(fā)送端能量歸一化。信道為準(zhǔn)靜態(tài)平衰落Rayleigh信道，服從均值為0，方差為1的復(fù)高斯分布。

5.1 本文的編碼方案的性能以及與其他碼的比較

圖 2給出了接收天線(xiàn)數(shù)nR=1和nR=2下的性能曲線(xiàn)。從圖2可以看出，相比與文獻(xiàn)[8]基于預(yù)處理的 QOSTBC方案，本文的編碼方案在誤碼率為10-3，接收天線(xiàn)數(shù)為1和2時(shí)，分別約有3dB和1.3dB的性能增益。與CIOD相比，本文提出的碼具有相同的性能且二者都可以實(shí)現(xiàn)單符號(hào)ML譯碼。但是CIOD一半的空時(shí)單元始終是 0，也就是說(shuō)碼字能量只集中在另一半空時(shí)單元上。而本文提出的碼，碼字能量分布在所有空時(shí)單元內(nèi)，所以峰均比(PAR)較CIOD要低。相對(duì)于G-QOSTBC而言，本文的碼僅有非常小的性能損失，這是由于編碼增益有稍許降低。根據(jù)文獻(xiàn)[4]對(duì)編碼增益的定義可以推出，QPSK調(diào)制下，G-QOSTBC的編碼增益為0.353 6，而本文所提的碼的編碼增益為 0.334 4，稍微低一點(diǎn)。但是，帶來(lái)的好處是譯碼復(fù)雜度大大降低，特別是在高階調(diào)制時(shí)，這種降低更為明顯。

圖2 4天線(xiàn)系統(tǒng)下基于預(yù)處理的QOSTBC、G-QOSTBC、CIOD以及本文的碼的性能曲線(xiàn)

5.2 復(fù)雜度分析

以接收天線(xiàn)數(shù)目nR=1為例，對(duì)本文的編碼方案和文獻(xiàn)[11]提出的 G-QSTBC的譯碼復(fù)雜度進(jìn)行分析。本文的編碼方案可以單符號(hào)ML譯碼，對(duì)于M階調(diào)制，其乘法次數(shù)為16M，加法次數(shù)為12M，比較次數(shù)為4(M-1)。G-QOSTBC需要成對(duì)符號(hào)聯(lián)合譯碼，其乘法次數(shù)為 80M2，加法次數(shù)為 46M2，比較次數(shù)為 2(M2-1)。可以看出，本文方案的譯碼復(fù)雜度是和M成正比的，而G-QOSTBC的譯碼復(fù)雜度是和 M2成正比的。所以在同樣階數(shù)的調(diào)制方式下，單符號(hào)譯碼具有更低的復(fù)雜度。

表1～表3分別給出接收天線(xiàn)數(shù)為1時(shí)，不同調(diào)制階數(shù)下單符號(hào)譯碼和成對(duì)符號(hào)譯碼的乘法次數(shù)，加法次數(shù)和比較次數(shù)。

表1 單符號(hào)譯碼和成對(duì)符號(hào)譯碼的乘法次數(shù)

表2 單符號(hào)譯碼和成對(duì)符號(hào)譯碼的加法次數(shù)

表3 單符號(hào)譯碼和成對(duì)符號(hào)譯碼的比較次數(shù)

5.3 峰均比分析

仿真時(shí)保證碼字的平均功率等于 1，那么碼字的峰均比等于其峰值功率。計(jì)算碼字峰值功率時(shí)，需要考慮所有可能發(fā)送碼字的所有空時(shí)單元的最大功率。例如，本文的編碼方案中，信號(hào)向量中包含4個(gè)符號(hào)，每個(gè)符號(hào)采用M階調(diào)制時(shí)，共有 M4個(gè)相異的信號(hào)向量。對(duì)于每個(gè)信號(hào)向量，做符號(hào)交織，預(yù)處理和G-OSTBC調(diào)制后，則得到 M4個(gè)相異的碼字，每個(gè)碼字都存在16個(gè)空時(shí)單元。通過(guò)計(jì)算機(jī)搜索的方法先找到每個(gè)碼字的16個(gè)空時(shí)單元中的峰值功率，再比較所有 M4個(gè)碼字的峰值功率的最大值，從而得到本文編碼方案的峰值功率。

圖3比較了本文的編碼方案和CIOD在不同調(diào)制星座下的峰值功率?？梢?jiàn)，該編碼方案比 CIOD大大降低了峰值功率，從而降低了峰均比。

圖3 4天線(xiàn)系統(tǒng)下CIOD以及本文的碼的峰均比性能

6 結(jié)束語(yǔ)

本文主要從降低譯碼復(fù)雜度的角度出發(fā)，改進(jìn)了文獻(xiàn)[10]的 G-QOSTBC，提出了一種新的發(fā)送策略，該策略可以實(shí)現(xiàn)單符號(hào)最大似然譯碼，同時(shí)保證全分集和最大編碼增益。該發(fā)送策略首先將比特信息做旋轉(zhuǎn)星座映射，經(jīng)過(guò)符號(hào)交織和預(yù)處理后，進(jìn)行G-QOSTBC編碼。它相對(duì)于G-QOSTBC僅有非常小的性能損失，但譯碼復(fù)雜度卻大大降低，特別在高階調(diào)制時(shí)降低得更為明顯。通過(guò)分析得到，本文所提的碼的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角和最大編碼增益都與CIOD相同，目前4 4×CIOD在各種星座下的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角都可直接應(yīng)用于本文所提的碼。但是由于CIOD僅使用了一半的空時(shí)單元，所以本文所提的碼比CIOD具有更低的峰均比。從另一方面而言，本文也說(shuō)明：預(yù)處理方法結(jié)合適當(dāng)?shù)姆?hào)交織和星座旋轉(zhuǎn)，不但能降低 G-QOSTBC的復(fù)雜度，而且還能達(dá)到全分集，因此推測(cè)這種方案對(duì)所有的QOSTBC都是可行的，同時(shí)這也是筆者進(jìn)一步要研究的工作。

附錄1 HHH的特征值分解推導(dǎo)

首先求HHH的特征值。

令其等于0，得其特征值為

解方程組 (λ3I-HHH) x=0，求得其對(duì)應(yīng)的特征向量為

則HHH的特征值分解表達(dá)式為 HHH= VDDVH

附錄2 證明 ′′n為白噪聲

奇異值分解定理[12]：若 A =(aij)N×N為滿(mǎn)秩矩陣，λ1, λ2,… ,λN為AHA的特征值，則為A的奇異值，且A有如下的奇異值分解：其中 UA和 VA為N階的酉矩陣，且分別為 A AH和 AHA的特征向量矩陣，

根據(jù)以上奇異值分解定理，則對(duì) H做奇異值分解為H =UDVH，其中V和U為酉矩陣，V為HHH的特征向量矩陣，如式(7)所示。D為對(duì)角陣，其對(duì)角元素為HHH的特征值的平方根，如式(8)所示。

則n′= D-1VHHHn ′= D-1VH( UDVH)Hn ′= UHn′。由于 n′為白噪聲，且U為酉矩陣，所以 n′為白噪聲。

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