張運(yùn)秋，胡金鵬，張寧川

（1.中科院廣州能源研究所中國(guó)科學(xué)院可再生能源與天然氣水合物重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州510640；2.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州510641；3.大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，大連116023）

畸形波是極值波中的一種特例，因其對(duì)船舶、采油平臺(tái)等海洋結(jié)構(gòu)極具危害而倍受關(guān)注。其波高具有以下特征：（1）波高大于2倍有效波高；（2）波高大于2倍相鄰波高；（3）波峰大于0.65倍波高?；尾ǖ陌l(fā)生具有不確定性和瞬時(shí)性，很難完全通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)來(lái)獲得畸形波在多種條件下的發(fā)生規(guī)律，因而有必要運(yùn)用數(shù)值探索其發(fā)生規(guī)律。

大量研究結(jié)果表明，非線性聚焦是畸形波生成的一種可能機(jī)理，可通過(guò)邊帶不穩(wěn)定性實(shí)現(xiàn)，該不穩(wěn)定性可引起邊帶擾動(dòng)在波列聚焦點(diǎn)處隨時(shí)間成指數(shù)增長(zhǎng)而生成一個(gè)大波［1］。這方面的數(shù)值模擬可通過(guò)深水非線性薛定諤方程、DS系統(tǒng)、Zakharov方程、完全非線性方程實(shí)現(xiàn)。Onorato等［2］采用三階非線性薛定諤方程研究了以JONSWAP譜為特征的隨機(jī)波狀態(tài)下畸形波的生成，認(rèn)為Phillip參數(shù)α和峰高因子γ值較大時(shí)，易產(chǎn)生畸形波；Janssen［3］用Zakharov方程模擬后，指出非線性聚焦可以克服線性色散引起的能量分散，當(dāng)波足夠陡時(shí)會(huì)出現(xiàn)畸形波，并且具有窄帶譜和大波陡的波有利于畸形波的出現(xiàn)；Fochesat［4］等建立了三維波浪數(shù)值水槽，求解了完全非線性勢(shì)流方程，指出入射角度和水深影響畸形波的運(yùn)動(dòng)和幾何特性；張運(yùn)秋等［5-6］通過(guò)四階修正非線性薛定諤方程研究了邊帶擾動(dòng)和JONSWAP譜描述的隨機(jī)波條件下的畸形波生成，指出減小邊帶不穩(wěn)定性范圍內(nèi)擾動(dòng)頻帶寬度、增加譜參數(shù)α和峰高因子γ有利于畸形波的生成，而且隨機(jī)初相位的選取對(duì)畸形波的生成有重要影響。

上述研究結(jié)果探討了多種條件下畸形波的生成規(guī)律，但邊帶擾動(dòng)條件下畸形波的生成規(guī)律還缺乏系統(tǒng)研究，本文將以四階修正非線性薛定諤方程為基礎(chǔ)，針對(duì)波列演化的邊帶不穩(wěn)定性，系統(tǒng)地研究邊帶擾動(dòng)條件下畸形波的生成規(guī)律。

1 數(shù)值模型

1.1 控制方程

假定A為一階Stokes波的復(fù)波包，φ為平均流的勢(shì)，在群速度移動(dòng)的坐標(biāo)系統(tǒng)下滿(mǎn)足控制深水波列演化的四階修正非線性薛定諤方程，具體見(jiàn)參考文獻(xiàn)［5-7］。該方程為高階非線性方程，采用偽譜方法求解。由已知的復(fù)波包求得無(wú)因次的自由波面ζ為

式中無(wú)因次變量與有因次變量存在的變換關(guān)系為

式中：ε=ka為波陡；a為載波振幅；ω為載波頻率；k為相應(yīng)的波數(shù)；λ為使ξ的計(jì)算域?yàn)?π的尺度因子；x為波浪傳播方向的水平坐標(biāo)；t為時(shí)間坐標(biāo)；A′、φ′和ζ′為相應(yīng)的有因次變量。

1.2 初始條件

由載波（v=0）加一對(duì)邊帶（v=±1）擾動(dòng)形成的邊帶擾動(dòng)條件如下

式中：S、a分別對(duì)應(yīng)邊帶的初始振幅和相位。

根據(jù)Dysthe［8］的不穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)滿(mǎn)足下列條件時(shí)邊帶（v=±1）是不穩(wěn)定的，會(huì)導(dǎo)致邊帶擾動(dòng)成指數(shù)增長(zhǎng)

式中：Δk為波數(shù)擾動(dòng)。根據(jù)色散關(guān)系式可得Δω/ω=Δk/（2k），當(dāng)λ變小時(shí)，波數(shù)擾動(dòng)Δk變小，即擾動(dòng)頻率帶寬Δω變窄，不穩(wěn)定邊帶的模式增多。

計(jì)算中載波的基頻取f=2 Hz，為了在短時(shí)間內(nèi)獲得最大線性的增長(zhǎng)，取邊帶擾動(dòng)的初始相位a=-0.25 π。

2 數(shù)值結(jié)果

2.1 畸形波的生成示例

取波陡ka=0.15，邊帶擾動(dòng)振幅S=0.05。根據(jù)式（3）可知尺度因子取0<λ<1.146時(shí)，邊帶擾動(dòng)是不穩(wěn)定的，計(jì)算中主要選λ=1.2，1.1，1.0，…，0.2，0.1來(lái)研究畸形波的生成。圖1給出了尺度因子λ取不同值時(shí)初始波列及其演化過(guò)程中生成的畸形波波列示例。由圖1可看出含有邊帶擾動(dòng)的初始波列近于正弦波，波峰和波谷有極其微小的變化，而當(dāng)畸形波出現(xiàn)時(shí)，這種類(lèi)正弦波的波形節(jié)奏被破壞，大部分時(shí)間里較為規(guī)則的波形會(huì)突然升起一個(gè)高而陡的峰，兩側(cè)形成相對(duì)較淺的谷，波面左右不對(duì)稱(chēng)，具有明顯的非線性特點(diǎn)。另外，當(dāng)λ=0.3，0.2時(shí)，即有3對(duì)及3對(duì)以上邊帶不穩(wěn)定時(shí)，波列演化空間的某個(gè)位置處在一個(gè)周期為2 π的域上偶爾會(huì)出現(xiàn)2個(gè)畸形波，這說(shuō)明多對(duì)不穩(wěn)定邊帶的相互作用可促進(jìn)畸形波的生成。

2.2 畸形波的生成規(guī)律

2.2.1 畸形波的生成隨波陡的變化

取波陡ka=0.1，0.15，0.2，S=0.05，圖2給出了一對(duì)邊帶擾動(dòng)條件下（式（2）），波列演化過(guò)程中畸形波的生成概率。在此，畸形波的生成概率是指初始波列演化過(guò)程中在空間上有畸形波出現(xiàn)的可能性。當(dāng)ka=0.1而其他參數(shù)條件不變時(shí)，尺度因子λ的不穩(wěn)定域?yàn)?<λ<1.228。由于初始波陡較小，邊帶不穩(wěn)定性的發(fā)展較慢，所進(jìn)行的模擬中，僅λ=0.1時(shí)有畸形波出現(xiàn)，但其生成概率僅為0.006 7%，遠(yuǎn)低于ka=0.15時(shí)的概率；當(dāng)ka=0.15而其他參數(shù)條件不變時(shí)，根據(jù)前面的模擬統(tǒng)計(jì)可知，尺度因子0.85<λ≤1.2時(shí)，畸形波的生成概率為零，但當(dāng)λ≤0.85時(shí)，畸形波具有一定的發(fā)生概率，且隨著λ的減小，即不穩(wěn)定邊帶的數(shù)目逐漸增多，有逐步上升的趨勢(shì)。顯然，多對(duì)不穩(wěn)定邊帶的相互作用在很大程度上增加了畸形波的發(fā)生概率；當(dāng)ka=0.2而其他參數(shù)條件不變時(shí)，尺度因子λ的不穩(wěn)定域?yàn)?<λ<1.07。采用較大的初始波陡可加快非線性的發(fā)展，使得邊帶的不穩(wěn)定性快速顯著地表現(xiàn)出來(lái)。

由圖2可看到，在邊帶不穩(wěn)定范圍之外的模擬中（λ=1.1，1.2）沒(méi)有畸形波出現(xiàn)，而在剛剛滿(mǎn)足邊帶不穩(wěn)定性范圍的λ=1.0處就具有一定的畸形波發(fā)生概率，之后隨著尺度因子的減小，畸形波的發(fā)生概率不斷增長(zhǎng)，但當(dāng)λ=0.8，0.775時(shí)，畸形波的發(fā)生概率急劇降低，主要是由于統(tǒng)計(jì)過(guò)程中較大的波如果位于波列中的第一個(gè)或最后一個(gè)，則無(wú)法滿(mǎn)足畸形波特征中大于相鄰波高2倍的條件，因而在可能生成的位置而低估了其發(fā)生概率，但從總的趨勢(shì)上來(lái)看，隨著λ的減小，畸形波的發(fā)生概率增長(zhǎng)，而且與ka=0.15時(shí)相同條件的模擬相比，其發(fā)生概率均大于后者。

2.2.2 畸形波的生成隨初始邊帶擾動(dòng)振幅的變化

取含有一對(duì)邊帶擾動(dòng)的波列為初始條件（式（2）），擾動(dòng)振幅為 S=0.01，0.05，0.1，0.15，波陡為 ka=0.15。圖 3 給出了這些條件下初始波列演化過(guò)程中畸形波的生成概率。當(dāng)1.0≤λ≤1.2時(shí)，各次模擬中均無(wú)畸形波出現(xiàn)，當(dāng)λ≤0.9時(shí)開(kāi)始有畸形波生成，生成概率基本上隨著初始擾動(dòng)振幅的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，并且也隨著尺度因子的減小而增長(zhǎng)。

2.2.3 畸形波的生成隨初始邊帶擾動(dòng)數(shù)目的變化

取 1對(duì)邊帶（v=±1）擾動(dòng)（式（2））作為初始條件，還采用2 對(duì)邊帶（v=±1，±2）擾動(dòng)（式（4））及 3 對(duì)邊帶（v=±1，±2，±3）擾動(dòng)（式（5））形成的復(fù)波包作為初始條件，模擬波陡ka=0.15，0.2時(shí)初始波列的演化

式中：邊帶的初始振幅S=0.05。

圖4給出了1對(duì)、2對(duì)及3對(duì)初始邊帶擾動(dòng)條件下波列演化過(guò)程中畸形波的生成概率。由圖4可看出，當(dāng)ka=0.15時(shí)，λ≤0.85時(shí)進(jìn)行的各次模擬中有畸形波生成，3對(duì)初始邊帶擾動(dòng)的模擬與2對(duì)初始邊帶擾動(dòng)相比，前者畸形波生成概率基本上大于后者，但是與1對(duì)初始邊帶擾動(dòng)時(shí)的模擬相比，除了λ=0.85，0.7，0.6之外，其他各次模擬沒(méi)有相似的規(guī)律；而2對(duì)初始邊帶擾動(dòng)的模擬與1對(duì)初始邊帶擾動(dòng)相比，僅有λ=0.85，0.7，0.6時(shí)，前者的畸形波生成概率大于后者。當(dāng)ka=0.2時(shí)，λ≤1.0時(shí)所進(jìn)行的模擬中，畸形波的發(fā)生概率大于零，3對(duì)初始邊帶擾動(dòng)時(shí)的模擬畸形波的生成概率多數(shù)大于2對(duì)初始邊帶擾動(dòng)，而基本上均大于1對(duì)初始邊帶擾動(dòng)；2對(duì)初始邊帶擾動(dòng)條件下畸形波的生成概率基本上均大于1對(duì)初始邊帶擾動(dòng)。因此可知初始邊帶擾動(dòng)數(shù)目的增長(zhǎng)有增加畸形波發(fā)生概率的趨勢(shì)。

3 結(jié)語(yǔ)

本文以控制深水波列演化的四階修正非線性薛定諤方程為基礎(chǔ)，研究了邊帶擾動(dòng)條件下，通過(guò)非線性聚焦生成畸形波的規(guī)律，得到如下結(jié)論：

（1）畸形波的生成隨著不穩(wěn)定域中不穩(wěn)定邊帶數(shù)目的增加而增加；

（2）當(dāng)波陡大于0.1且邊帶擾動(dòng)滿(mǎn)足不穩(wěn)定性條件時(shí)，畸形波的生成隨著波陡的增加而增加；

（3）邊帶不穩(wěn)定性滿(mǎn)足的前提下，畸形波的生成隨著初始邊帶擾動(dòng)振幅和數(shù)目的增加而增加。

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