郭維威

(雞西大學,黑龍江雞西158100)

1 問題重述

某油田計劃在路線一側建造兩家煉油廠,同時在鐵路線上增建一個車站,用來運送成品油.由于這種模式具有一定的普遍性,油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數(shù)學模型與方法.

針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形,提出你的設計方案.在方案設計時,若有共用管線,應考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形.

圖1 煉油廠及周圍情況圖

設計院目前需對一更為復雜的情形進行具體的設計.兩煉油廠的具體位置如圖1所示,其中A廠位于郊區(qū) (圖中的I區(qū)域),B廠位于城區(qū) (圖中的 II區(qū)域),兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示.圖中各字母表示的距離(單位：km)分別為 a=5,b=8,c=15,l=20.

若所有管線的鋪設費用均為每7.2萬元/km.鋪設在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用,為對此項附加費用進行估計,聘請三家工程咨詢公司 (其中公司一具有甲級資質,公司二和公司三具有乙級資質)進行了估算.公司一估算附加21萬元/km,公司二估算24萬元/km,公司三估算20萬元/km.請為設計院給出管線布置方案及相應的費用.

在該實際問題中,為進一步節(jié)省費用,可以根據煉油廠的生產能力,選用相適應的油管.這時的管線鋪設費用將分別降為輸送A廠成品油的每5.6萬元/km,輸送B廠成品油的每6.0萬元/km,共用管線費用為每7.2萬元/km,拆遷等附加費用同上.請給出管線最佳布置方案及相應的費用.

2 模型的假設與說明

2.1 模型假設

1)假設在管線鋪設過程中總能按照設計方案進行鋪設.

2)假設在輸油管道鋪設過程中,不考慮天氣、人為因素對拆遷等的影響.

3)假設忽略鋪設過程中物價波動對工程費用的影響.

2.2 符號說明

a(AC)表示位于郊區(qū)A廠到鐵路線的距離,b(BD)表示位于城區(qū)B廠到鐵路線的距離,z(GK)表示A、B廠共用管道到車站的距離,y(HM)表示B廠的輸油管道在城郊分界線到鐵路線的距離,x(CK)表示所建車站距C點的距離,S表示總費用,Q表示三家公司的相應附加費,S1表示公司一的管道鋪設費用及附加費用,S2表示公司二的管道鋪設費用及附加費用,S3表示公司三的管道鋪設費用及附加費用,S4表示特殊駐點4的費用,S5表示特殊駐點5的費用,S6表示特殊駐點6的費用.

3 模型的建立與求解

問題一：

在鋪設過程中,考慮到兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形,距離的改變對設計管道和計算相關費用造成很大影響.因此,需要建立管道長度和相關費用相對穩(wěn)定的模型.根據費馬定理[1]：

1)若三角形ABC的3個內角均小于120°,那么3條距離連線正好平分費馬點所在的周角.所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心.

2)若三角形有一內角不小于120°,則此鈍角的頂點就是距離和最小的點.

所建車站C、煉油廠A、煉油廠B,三點.考慮兩煉油廠間的距離及公用管線與非公用管線費用不同的情形.設計方案如下：

1)如果三點在一條直線上,則連接A、B、C構成直線,公用管線 CB和非公用管線BA,此方案費用最省.如圖2所示:

2)如果三點不在同一條直線上,如果A、B兩廠相距較近,三點構成的三角形內角均小于120°時,三點連線平分周角,即角度COA、角度COB和角度AOB相等,所構成的CO、OB、OA的線路最短,此方案費用最省.如圖3所示：

3)如果三點相距較遠,構成三角形有一內角大于120°時,所購成的 CA、CB距離最短,此方案費用最省.如圖4所示:

圖2 三點一線方案

圖3 三點不在一線方案

圖4 最優(yōu)方案

問題二：

在此問題給出相應數(shù)據的情況下,由題中兩廠所在的位置,A廠所在郊區(qū),B廠所在城區(qū),要想總的費用最省,必須考慮到城區(qū)的一些附加費用,需建立數(shù)學模型優(yōu)化城區(qū)與郊區(qū)的管線長度,達到總費用的最省,建立模型如圖5所示：

圖5 具有附加費用的模型方案

模型的建立：CK=x,MQ=y,GK=z,可根據圖形列出方程:

利用MA TLAB數(shù)學軟件[2]對其 S中的變量x,y,z求偏導可得如下數(shù)據:

(一)利用MA TLAB求出駐點 x,y,z:

當Q=21(公司一)時 x=5.459;y=7.357;z=1.848,當 Q=24(公司二)時 x=5.405;y=7.414;z=1.880,當Q=20(公司三)時 x=5.480;y=7.333;z=1.836.代入①利用Visual Basle語言編程算法[3]求出 S1=280.117(萬元),S2=295.289(萬元),S3=275.134(萬元),程序界面如圖 6所示:

(二)考慮其特殊駐點:

三種情況分別為 x=0、y=8、z=0;x=0、y=8、z=5;x=15、y=0、z=0,利用Visual Basle語言編程求出,當Q=20時,S4=294.4,S5=282.138,S6=370.446;當Q=21時,S4=299.4,S5=287.138,S6=379.880;當Q=24時,S4=314.4,S5=302.138,S6=408.188.

比較特殊駐點與優(yōu)化駐點,特殊駐點下的費用總是大于其優(yōu)化駐點的費用;因此分析出布置管線及相應的費用如下:

(1)采用工程咨詢公司一的報價時:車站應建在距C點5.459(km),在郊區(qū)的管線長L1=19.1688(km),在城區(qū)的管線長L2=5.041(km),總費用為S1=280.117(萬元).

(2)采用工程咨詢公司二的報價時:車站應建在距 C點 x=5.405(km),在郊區(qū)的管線長L1=19.1973(km),在城區(qū)的管線長L2=5.0342(km),總費用為S2=295.289(萬元).

(3)采用工程咨詢公司三的報價時:車站應建在距 C點 x=5.480(km),在郊區(qū)的管線長L1=19.1568(km),在城區(qū)的管線長L2=5.0442(km),總費用為S3=275.134(萬元).

問題三:

當公用管線費用不相同時仍然可采用上題的數(shù)學模型,在城區(qū)管線鋪設費、郊區(qū)管線鋪設費用、公共管線費用一定時,通過上題的模型,優(yōu)化城區(qū)、郊區(qū)的管線長度,使其費用達到最省.

通過題二中的模型轉化可得:

利用MA TLAB求出駐點x,y,z:

當Q=21(公司一)時 x=6.744;y=7.266;z=0.130,當 Q=24(公司二)時 x=6.702;y=7.341;z=0.164,當Q=20(公司三)時 x=6.763;y=7.237;z=0.117.代入②利用Visual Basle語言編程算法求出S1=249.442(萬元),S2=264.587(萬元),S3=244.386(萬元),如圖6所示:

圖6 程序執(zhí)行界面

分析三家公司的總費用,按照費用最省的原則,應選擇公司三,但實際考慮到公司的資質不同的問題,參照網絡相關資料,資質等級越高,相應的工作年限及工作人員的專業(yè)技術水平越高,在對工程評估更為準確,故選擇公司一;但是公司一與公司三之間的總費用相差5.056萬元,考慮到工程估算誤差對總費用的影響,做出最優(yōu)解的分析應選擇公司一.最優(yōu)的設計方案為：車站應建在距C點6.744(km),在郊區(qū)的管線長L1=19.361 1(km),在城區(qū)的管線長L2=5.053 6(km),總費用為 S=249.442(萬元).

4 模型的質量與分析

4.1 模型的優(yōu)點

1)本模型是利用費馬點定理、極值法建立函數(shù)方程及計算機的編程對各種管線鋪設做了分析,優(yōu)化費用最省模型準確性高.

2)本模型使用及可操作性強,可推廣其他類似問題的多個領域.

4.2 模型的缺點

本模型中忽略了一些因素對總費用的影響,以及理想化的鋪設要求.在數(shù)值計算過程中準確度為0.000 1.

4.3 模型的拓展與推廣

本模型對于建設有關線路最短、費用最省類似的情況都可使用,例如：鐵路修建、城市道路的改造等.

[1] 姜啟源.數(shù)學模型 [M].北京：高等教育出版社,2008：25

[2] 萬淑香.數(shù)學問題的MATLAB的求解 [M].哈爾濱：哈爾濱地圖出版社,2007：63

[3] 林丕源.VB應用程序中基于MATLAB的數(shù)學處理解決方案 [J],計算機應用與軟件,2003,(02)：68

[4] 張慶海.Matlab在數(shù)學建模中的應用 [J].中國集體經濟,2008,(02)：170