馬麗貞,顧先明

(唐山師范學院數學與信息科學系,河北唐山06300)

數列的遞推問題常涉及到很多重要的數學思維方法,如函數思想、歸納推理等眾多思想.尤其對培養(yǎng)學生良好的思維推理能力和動手能力等方面具有重要意義,因而倍受高考命題者的青睞.此外,在高中數學教學中都強調數學教學要學以致用,開發(fā)學生的思維能力,培養(yǎng)學生應用數學的意識和能力.至于對數學知識的應用也被數學教師所重視.但是,教師在數列知識的教學中往往忽視數列遞推問題的一種基本應用——近似計算.

下面從一道02年北京高考試題第19題來開始說起:

題目:設 a＞0,x0＞0.數列 {xn}由以下遞推關系定義:

此后文獻 [1-4]都對其做了分析研究,但研究大多局限于對原題證法的改進或命題思路的分析.但是筆者研究發(fā)現(xiàn),該題實際上還給出了一種快速近似計算任意數的平方根的方法.同時也不禁為命題者的良苦用心感到欽佩.這里要先引用一些引理:

引理1[5]單調遞減的數列 {xn}收斂 (即=A (常數))的充要條件是它有下界.

引理2[6]如果數列 {xn}從某項起有 xn≥0且=a, 那么 a≥0.

引理3[7]設對于數列 {xn}若有常數 q,且0＜q＜1.使對?n∈N＊則有=A (常數) 存在.

另外,筆者在研究該題還發(fā)現(xiàn)采用初等數學的有關知識可有如下妙解:

通過上面的結論,可以發(fā)現(xiàn)根據上述結論給出了一種快速計算平方根的遞推方法.下面來舉例說明.

例如:取 x0=2,a=2來用上述原理來遞推求出 2的值.(注: 2=1.41421356310…)那么

這已是相當精確的近似值.

同樣的方法,可以取適當的 x0,就可遞推的求出任意的下面對其產生的計算誤差做出估計:

由此可以看出每迭近一次,有效位數幾乎增加一倍.(這在計算 2時也得到體現(xiàn))關于上題的方法,有如下推論:

推論4 對于給定數列 {xn}如下:x0＞0,xn+1=,n=0,1,2,…,其中 a為一給定的正數,k為任意給定的一個自然數,那么數列 {xn}收斂,且

顯然設εn=為第n次誤差,則在 n充分大時有:每迭代一次,有效位數幾乎增加一倍.但可能精確不如前面所述的幾個遞推關系.命題6還有一個推論如下:

也可以按照命題6的方法對其進行相應的誤差分析,確定精確程度,這里不再贅述。

通過對上述問題的探討,發(fā)現(xiàn)大量的近似計算方法都是用遞推迭代方式來實現(xiàn)。在以后的教學中注意在數學應用方面加大對用遞推關系來進行近似,尤其對一些無理數的遞推近似計算,有助于提高學生的創(chuàng)造力和動手的能力。這對數學效果甚是有益.

[1] 鄒明.京津滬粵高考試題新解 [J].中學數學雜志 (高中),2003,(01)：50

[2] 鄒明.高考熱點——遞推數列問題分類解析 [J].中學數學月刊,2003,(04)：26-27

[3] 周建華.繼承·創(chuàng)新·導向——2002年高考數學 (北京卷)評析 [J].中學數學,2002,(09)：1-2,8

[4] 劉美倫.突出能力,力求創(chuàng)新—2002年高考數學試卷 (北京卷)評析 [J].北京教育 (普教版),2002, (09)：24-25

[5] 張筑生.數學分析新講 [M].北京：北京大學出版社,1999：72

[6] 同濟大學應用數學系,高等數學 (第六版)[M].北京：高等教育出版社,2002：30

[7] 錢吉林.數學分析題解精辟 [M].北京：崇文書局,2003：64-65

[8] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法 (第二版)[M].北京：高等教育出版社,2006：96