代 鴻,李茂軍

(1.重慶大學城市科技學院基礎(chǔ)部,重慶402167;2.重慶大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,重慶400044)

對流擴散方程[1,2]在流體力學、氣體動力學等領(lǐng)域有著廣泛的應用.通常,當對流項占優(yōu)時,用傳統(tǒng)的Galerkin有限元法或有限體積法求解會出現(xiàn)數(shù)值偽震蕩.近年來,許多研究工作者已經(jīng)提出了多種方法來避免數(shù)值震蕩現(xiàn)象,例如 Streamline Upwind Petrov-Galerkin Method(SUPG),Galerkin Least Squares Method(GL S),Streamline and approximate upwind/Petrov-Galerkin method,Constant gradient有限體積法等[3-7].

SU PG法和GLS法在Galerkin有限元變分公式中增加了穩(wěn)定項,當問題的精確解光滑時,數(shù)值解精度高,穩(wěn)定性好[3-5].然而當精確解具有邊界層效應時,數(shù)值偽震蕩仍然存在.因而構(gòu)造一種既能消除數(shù)值偽震蕩又能在問題的精確解光滑時保持 SU PG和 GLS的數(shù)值精度的方法具有很大的挑戰(zhàn)性.E-.G.D.doCarmo等人在SU PG法的基礎(chǔ)上,提出了SAU PG方法,解決了上面的困難,然而這種方法是一種非線性方法.孫小華等[8]應用無單元Gale rkin方法成功求解對流占優(yōu)對流擴散問題,而且該方法是一種無需網(wǎng)格的線性方法.

無網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin方法 (ML PG)[9-11]采用基于點的近似,對未知函數(shù)采用移動最小二乘近似,積分時不需要背景網(wǎng)格,只須在規(guī)則的子區(qū)域上進行,因而處理方便,是一種真正的無網(wǎng)格法,且算法簡單,易于程序?qū)崿F(xiàn).本文將SUPG法和GLS法的穩(wěn)定化思想引入ML PG法,構(gòu)造了非標準 ML PG法,并應用于定常對流擴散方程.數(shù)值算例表明該方法既保持了SU PG法和GLS法的數(shù)值精度,又消除了數(shù)值偽震蕩,同時該方法也是一種線性方法.

1 基本公式

考慮如下的定常對流擴散問題:

其中a(x)為對流速度,k為擴散系數(shù)且k＞0,f為源項,Ω為Rd(d=1,2,3)中的有界區(qū)域,n為單位外法線向量,Γ=Γu+Γq為區(qū)域Ω的邊界.

根據(jù)無網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin法[9],在任意的局部子域Ωs?Ω上建立積分弱形式,并采用罰因子法施加本質(zhì)邊界條件得:

其中s=1,2,…,N,N為局部子域個數(shù),Γus=Γu∩?Ωs,α是一個罰因子,以施加本質(zhì)邊界條件.v是具有局部緊支性的權(quán)函數(shù),本文取三次樣條函數(shù):

聯(lián)合 (3),(4)式得:

當對流項占優(yōu)時,直接求解 (9)式會出現(xiàn)數(shù)值偽震蕩,這一點可從后面的數(shù)值算例看出.為了獲得穩(wěn)定的數(shù)值解,本文基于 A.N.Brooks,T.J.R.Hughes等人提出的SU PG,GLS穩(wěn)定化方法,分別在(9)式兩端加入穩(wěn)定項得:

本文將上述兩種穩(wěn)定化方法分別記為 MSU PG法和MGLS法,并統(tǒng)稱為非標準無網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin法.

2 數(shù)值算例

為檢驗算法的有效性,我們考慮如下問題:

其中Ω=(0,1)×(0,1),a=(1,0),分別取 k=0.1,0.05,0.01,在上述假設下,問題有解析解:u(x1,x2)

該算例對 Peclet數(shù) (Pe=|a|k)非常敏感,常用來檢驗各種算法的優(yōu)劣.為求解 (9), (10),(11)式,我們在區(qū)域Ω上布置121(11×11)個規(guī)則節(jié)點,對未知函數(shù) u采用移動最小二乘近似 [9,10].圖1,圖2,圖3分別顯示了三種方法 (ML PG法,MSU PG法,MGLS法)沿x2=0.5時的計算結(jié)果與精確解.從圖中可以看出當 Peclet數(shù)較小時,三種方法都可以得到很好的結(jié)果,當 Peclet數(shù)較大時,ML PG法出現(xiàn)數(shù)值偽震蕩,而MSU PG法與MGLS法仍然可以得到比較精確的結(jié)果,這說明了本文方法的有效性.

3 結(jié) 論

本文分別將SU PG法和GLS法的穩(wěn)定化思想引入無網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin法,構(gòu)造了兩種非標準無網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin法 (即MSU PG法,MGLS法),并應用于定常對流擴散方程.數(shù)值實驗結(jié)果表明:MSU PG法與MGLS法采用基于點的近似,不需要背景網(wǎng)格,前后處理方便,且算法簡單,易于程序?qū)崿F(xiàn);由于未知函數(shù)采用移動最小二乘近似,因而具有高階連續(xù)函數(shù)性質(zhì),在計算時穩(wěn)定項中的二階導數(shù)不會消失,從而保證了數(shù)值穩(wěn)定性和計算精度;當對流項不占優(yōu)時,三種方法均可以得到很好的結(jié)果,當對流項占優(yōu)時,由于ML PG法沒有對二階導數(shù)進行控制,因而出現(xiàn)了數(shù)值偽震蕩,MSU PG法與MGLS法在ML PG法的基礎(chǔ)上增加了不同的穩(wěn)定項,均對二階導數(shù)進行了控制,因而消除了數(shù)值偽震蕩.

[1] 遠方.一類反應擴散方程的銳利條件 [J].河北北方學院學報：自然科學版,2008,24(03)：8-9

[2] 王增波,劉景波,孟旭東.擴散方程的孤子解法 [J].河北北方學院學報：自然科學版,2005,21(06)：22-24

[3] Brooks AN,Hughes TJR.Streamline upwind/Petrov-Galerkin formulationsfor convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations[J].Comput Methods Appl Mech Engin,1982,32：199-259

[4] Hughes TJR,Franca LP,Hulbert GM.A new finite element formulation for computational fluid dynamics：VII,the Galerkin-least-squares method for advective-diff usive equations[J].Comput Methods Appl Mech Engin,1989,73：173-189

[5] Hsieh PW,Yang SY.On efficient least-squaresfinite element methodsfor convection-dominated problems[J].Comput Methods Appl Mech Engin,2009,199：183-196

[6] do Carmo EGD,Alvarez GB.A new stabilized finite element formulation for scalar convection-diffusion problems：the Streamline and approximate upwind/Petrov-Galerkin method[J].Comput Methods Appl Mech Engin.2003,192：3379-3396

[7] Manzini G,Russo A.A finite volume method for advection-diffusion problems in convection-dominated regimes[J].Comput Methods Appl Mech Engin,2008,197：1242-1261

[8] 張小華,歐陽潔.線性定常對流占優(yōu)對流擴散問題的無網(wǎng)格解法 [J].力學季刊,2006,27(02)：220-226

[9] Atluri SN,Zhu T.A new meshless local Petrov-Galerkin(ML PG)approach in computational mechanics[J].Comput Mech,1998,22(01)：117-127

[10] Dehghan M,Mirzaei D.Meshless Local Petrov-Galerkin(MLPG)method for the unsteady magnetohydrodynamic(MHD)flow through pipe with arbitrary wall conductivity[J].Appl Numer Math,2009,59(05)：1043-1058

[11] Wen PH.Meshless local Petrov-Galerkin(ML PG)method for wave propagation in 3D poroelastic solids[J].Engin Anal Bound Elem,2010,34(4)：315-323