劉明鼎 段素芳 張艷敏

（青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東 青島266106）

微分方程是描述自然科學(xué)現(xiàn)象的常用工具，因此對微分方程數(shù)值求解的相關(guān)理論研究一直是各個領(lǐng)域?qū)W者的研究熱點(diǎn)。采用方法也比較多，目前常采用的數(shù)值求解方法主要有有限差分法、譜方法、有限元法、小波法、分解法等方法[1-6]。

非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法Mickens在1994出版的文獻(xiàn)[7]中進(jìn)行了詳細(xì)地描述。該方法主要討論在構(gòu)造微分方程的差分格式時，對導(dǎo)數(shù)項(xiàng)離散后的分母函數(shù)應(yīng)具有的形式以及非線性項(xiàng)離散后的形式兩個問題。目前國內(nèi)學(xué)者對非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法的應(yīng)用主要有王媛媛利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法對Logistic方程進(jìn)行了分析[8],張磊利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法和參數(shù)擾動法討論了微分方程的求解[9]，秦雯娣討論了幾類偏微分方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式解的正性、有界性以及動力學(xué)相容性[10]，王倩倩利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法研究了兩類含空間擴(kuò)散生物模型數(shù)值解并研究了數(shù)值解的穩(wěn)態(tài)性[11]。本文將利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法研究兩類能量守恒振子方程[7]。能量方程在研究物理、流體力學(xué)等方面有著重要的作用，例如研究無粘不可壓縮流體以及無粘可壓縮流體的運(yùn)動現(xiàn)象。

1.一類常微分方程的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式

在滿足Hamilton原理下構(gòu)造如下能量方程的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式

ω,f,g為常數(shù)。

首先考慮

構(gòu)造Lagrange函數(shù)[12]

對（3）式在tn處進(jìn)行離散得：

滿足性質(zhì)[12]

根據(jù)式（5）計(jì)算得a=b。所以有

對xn進(jìn)行移位，利用離散Euler-Lagrange方程[13]，

式(6)滿足：

利用式(7)，結(jié)合式(6)得：

式(8)為一個二階非線性差分方程，是(2)式在滿足Hamilton原理下的一個非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式。對于式(2)非線性項(xiàng)采用了非局部離散方式為

對于式(2)，傳統(tǒng)的有限差分格式為

我們再來研究(1)式，采用與(2)式相同的處理過程。構(gòu)造Lagrange函數(shù)

在滿足n+1?n差分格式不變的性質(zhì)下，對(11)式利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法進(jìn)行離散得

根據(jù)式(7)得：

(13)式為(1)式在滿足Hamilton原理下的一個非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式。

如果不考慮滿足Hamilton原理，可以得到如下的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式：

利用傳統(tǒng)的有限差分方法對(1)式進(jìn)行離散得

2.一類常微分方程組的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式

在滿足Hamilton原理下構(gòu)造如下非線性常微分方程組的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式

對應(yīng)的Lagrange函數(shù)為：

對式(18)進(jìn)行離散得

對式(19)中xn,yn進(jìn)行移位并利用式(7)得

則有

傳統(tǒng)的差分格式為

3.非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式性質(zhì)

性質(zhì)1 式(8)具有時間轉(zhuǎn)換不變性與能量守恒性[14]。

在式（2）中，令t?(-t)時，式（2）不變。對應(yīng)于非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式(8)，令n+1?n-1，式(8)的格式也不會發(fā)生改變。所以式（8）、（13）在不同的相堆成的時間層上具有時間轉(zhuǎn)換不變性與能量守恒性。而傳統(tǒng)的有限差分格式（10），在第n+1和n-1和時刻時，差分格式完全不同，所以不具備上述性質(zhì)。因此利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法構(gòu)造的差分格式可以保持與原微分方程一樣的性質(zhì)，優(yōu)于傳統(tǒng)的有限差分法。

性質(zhì)2 式（13）具有能量守恒性質(zhì)。

令n+1?n-1，帶入式（13），得到的差分格式與原差分格式一致，所以式（13）具有能量守恒性，與原微分方程保持同樣的性質(zhì)。而式（14）、（15）則不具備能量守恒性質(zhì)。

性質(zhì)3 式（22）、(23)具有能量守恒性質(zhì)

令n+1?n-1，帶入式（22）、(23)中，變換后的差分格式與變換前的差分格式一致，所以式（22）、(23)具有能量守恒性質(zhì)，與原微分方程保持同樣的性質(zhì)。對傳統(tǒng)的差分格式（24）、（25）做同樣的變換，格式上發(fā)生了改變，因此不具備能量守恒性質(zhì)。

4.結(jié)語

利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法，依據(jù)Hamilton原理對一類能量守恒常微分方程和方程組進(jìn)行離散。對微分方程中的非線性項(xiàng)采用了非局部的離散方式，將離散后的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式與傳統(tǒng)的差分格式進(jìn)行比較得出，非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式在形式上更復(fù)雜，能更好地保留原微分方程能量守恒性質(zhì)。因此，利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法構(gòu)造的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式是實(shí)用的。