葛 煒

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為了讓數(shù)學(xué)開(kāi)放題順利進(jìn)入課堂,筆者為此進(jìn)行了多年的教學(xué)探討,并選擇了一組開(kāi)放題進(jìn)行測(cè)試,隨后進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,希望了解學(xué)生解答開(kāi)放題時(shí)的困難所在,確定其影響因素,并對(duì)開(kāi)放題的教學(xué)提出相應(yīng)的建議.

一、開(kāi)放題的選擇

開(kāi)放題的選擇同時(shí)考慮了三個(gè)方面的要求:第一,涉及內(nèi)容為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)或可以達(dá)到;第二,問(wèn)題的難易適當(dāng),能夠使不同水平的學(xué)生作出解答;第三,有利于學(xué)生表述自己的數(shù)學(xué)思維過(guò)程.

【題1】 下面的劃線加上一句話,使之成為一道可解的問(wèn)題:

已知二次函數(shù)y=4x²-5x+m, ,試求m的取值范圍.

(1)在你所加的條件下,解出m的取值范圍并給出你的解題過(guò)程;

(2)給自己一點(diǎn)挑戰(zhàn),再多加幾個(gè)條件試試.

【題2】 已知:△ABC中三邊a,b,c成等差數(shù)列,由此可以得出哪些結(jié)果?

(1)寫(xiě)出你的解答過(guò)程及結(jié)論;

(2)不妨換個(gè)角度再思考一下,或者就目前得到的結(jié)論你繼續(xù)探索,再“挖”深一點(diǎn),你有新發(fā)現(xiàn)嗎?

【題3】 以正方體ABCD—A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)及其中心O共9個(gè)點(diǎn)中的任意兩個(gè)點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn),利用這些向量寫(xiě)出它們之間的等式.

(1)寫(xiě)出你所能得到的關(guān)系式;

(2)如果將正方體改為平行六面體,哪些等式關(guān)系仍然成立?

二、對(duì)開(kāi)放題解題情況的分析

1.缺少探究的習(xí)慣與方法

對(duì)第1題,大多數(shù)學(xué)生在編題時(shí)都表現(xiàn)出“避難就易”,不愿意動(dòng)腦筋深入思考,編出來(lái)的問(wèn)題雖有數(shù)量,但質(zhì)量不高,很難讓人有眼前一亮之感.而第3題的第(2)小題,很多學(xué)生都沒(méi)有作答.

2.認(rèn)知基礎(chǔ)直接影響開(kāi)放題的解答

在第1題中,因?yàn)閷W(xué)生對(duì)函數(shù)部分的知識(shí)和方法較為熟悉,所以完成的情況較好,也最符合預(yù)期的希望——即每個(gè)學(xué)生都能在自己的能力范圍內(nèi)做出相應(yīng)的解答.反觀第2題,有學(xué)生想到從三角函數(shù)、不等式、等差數(shù)列等多個(gè)角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究,但卻因?yàn)閷?duì)公式不熟悉,探究只能浮于表面,很難深入,得不到有意義的結(jié)果.

3.元認(rèn)知水平低下

對(duì)第1題,有個(gè)學(xué)生加的條件是“若玸inθ為此函數(shù)的一個(gè)根”,這個(gè)條件本身含義不清,雖然給出了一個(gè)解答,但解答過(guò)程存在明顯的漏洞,這反映了學(xué)生對(duì)自己編的題目沒(méi)有進(jìn)行檢驗(yàn)的習(xí)慣;還有的學(xué)生對(duì)解題方向的把握和調(diào)節(jié)水平較低,一個(gè)學(xué)生在做第2題時(shí),將已知條件“a+c=2b”轉(zhuǎn)化成“玸in獳+玸in獵=2玸in獴”進(jìn)行推導(dǎo),結(jié)果繞了個(gè)彎子又回到初始的條件,并沒(méi)有利用三角函數(shù)的有關(guān)公式得出更為豐富的結(jié)論.

三、對(duì)開(kāi)放題教學(xué)的建議

1.利用開(kāi)放題創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

作為一種新題型,其獨(dú)特的敘述方式、寬松的解題環(huán)境和極富挑戰(zhàn)性的解題策略,更能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.如“在一塊矩形地面上,要開(kāi)出一部分地做花壇,必須使花壇的面積為矩形面積的一半,請(qǐng)給出你的設(shè)計(jì).”花壇的圖案形狀沒(méi)有具體的要求,學(xué)生可以進(jìn)行大膽想象,充分展示幾何圖形的應(yīng)用,這種以實(shí)際問(wèn)題為背景編制的開(kāi)放題,不但有趣且富有吸引力.

2.從封閉題入手設(shè)計(jì)開(kāi)放題

對(duì)開(kāi)放題的解答學(xué)生出現(xiàn)較大差異,筆者認(rèn)為這為開(kāi)始階段開(kāi)放題的教學(xué)提供了啟示,即從學(xué)生熟悉的封閉題入手,改編成開(kāi)放題.例如弱化條件,或隱去結(jié)論,或在既定條件下探討多種結(jié)論.例如,在已知△ABC中∠A,∠B,∠C對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,其中c為定值,請(qǐng)?zhí)砑舆m當(dāng)?shù)臈l件,求出頂點(diǎn)C的軌跡方程.弱化原題的條件后,學(xué)生可以從a與b的和或差為定值,a、b、c三者的關(guān)系,C點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)連線的斜率的乘積為定值,△ABC面積為定值等多個(gè)方面添加條件.這種做法還有利于消除開(kāi)放題的神秘感,讓他們感覺(jué)到開(kāi)放與封閉之間的辯證關(guān)系.

3.適當(dāng)控制開(kāi)放度

學(xué)生進(jìn)行測(cè)試后,學(xué)生的解答情況并沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的效果,原因當(dāng)然是多方面的,反思自己設(shè)計(jì)的開(kāi)放題中的第2題,不禁恍然大悟,探究的方向不夠明確,開(kāi)放度對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)太高了!隨后的訪談中,筆者也了解到很多學(xué)生反映不太看得懂題目的意思.可見(jiàn)適當(dāng)控制題目的開(kāi)放度,可以通過(guò)給出相應(yīng)的示范題,限定答案的范圍,改變參數(shù)的取值等方法,例如,對(duì)第2題可以加限制條件“利用基本不等式(a+b2≥ab)或余弦定理(玞os獵=a2+b2-c22ab),你能得到什么結(jié)論”.過(guò)高的開(kāi)放度可能會(huì)使開(kāi)放題失去意義.

4.培養(yǎng)元認(rèn)知能力

教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解答或解法的有效性進(jìn)行分析和比較.例如,在探究結(jié)束后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我提問(wèn):是否有更好的探究方案,更好的探究策略,我能檢驗(yàn)推理過(guò)程的正確性嗎?通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次、全方位地反思探究的過(guò)程與方法,達(dá)到求新、求異,優(yōu)化解題思路,促進(jìn)學(xué)生自我評(píng)估能力發(fā)展的目的.

(責(zé)任編輯:金 鈴)