沈　泉

數(shù)學(xué)是一門科學(xué)、是一門技術(shù)、是一門工具、是一門語言、是一個過程、是一種思想、是一種觀念、是一種精神、是一種文化、是一門需要時間和空間去悟的學(xué)科。

一、透視數(shù)學(xué)現(xiàn)象,感悟數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐,又經(jīng)過抽象提煉,因此隨著數(shù)學(xué)的產(chǎn)生,美感的一般表現(xiàn)形式(自然美、藝術(shù)美)就存在于數(shù)學(xué)之中,數(shù)學(xué)的魅力就在于透視數(shù)學(xué)的現(xiàn)象,展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美好與神奇。教師通過教學(xué)使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時,透視直線的剛勁平穩(wěn)、曲線的對稱柔和、起伏的正弦曲線等自然現(xiàn)象來感悟數(shù)學(xué)美的歡快、體味數(shù)學(xué)美的奇妙。學(xué)生漫步在數(shù)學(xué)美的圖苑中,也在同時欣賞著教師的教學(xué)之美。數(shù)學(xué)之美乃探究之美、發(fā)現(xiàn)之美、應(yīng)用之美。教師通過對一道數(shù)學(xué)題的解決,一個定理的發(fā)現(xiàn),一個猜想的證明讓學(xué)生為之激動與陶醉,讓學(xué)生于枯燥之中見新奇,于迷茫之中得豁朗,感悟數(shù)學(xué)美的真諦、體會數(shù)學(xué)美的深邃。隨著時間的推移,也許學(xué)生就會用心靈去感受數(shù)學(xué)之美,樹立追求數(shù)學(xué)美的愿望,體會數(shù)學(xué)美的魅力,逐步從喜歡數(shù)學(xué)到熱愛數(shù)學(xué)。

如著名的斐波那契數(shù)列不僅以其獨(dú)特的外形美引人注目,而且前后兩項(xiàng)的比越來越接近于0.618(黃金數(shù))。這樣斐波那契數(shù)列與黃金數(shù)、勾股定理演變出一系列奇妙的性質(zhì),令人神往,成為數(shù)學(xué)美學(xué)的一段佳話。這些美讓數(shù)學(xué)變得光彩奪目,教學(xué)中要適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用一雙雙善于捕捉美的眼睛、一顆顆感受數(shù)學(xué)美的心靈、一個個追求美的愿望,去透視數(shù)學(xué)現(xiàn)象,感悟數(shù)學(xué)之美。

二、探究數(shù)學(xué)過程,深悟數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)推理過程既是一種思維形式,又是一個思維過程。若干個推理組成了一個證明,無時不在,無處不有。對于那些經(jīng)過抽象概括獲得的命題, 只有在經(jīng)過演繹推理證明其正確性以后才能稱之為定理。其推理的形式包括歸納推理、類比推理或其他合情推理等。沒有推理就沒有數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展,為此,在教學(xué)中教師必須給學(xué)生一定的時間去探究數(shù)學(xué)的推理過程,讓學(xué)生去深悟數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性、廣泛性、規(guī)律性,深悟建模能否用于解決問題的多次循環(huán)、不斷深化的過程,如何建模解決實(shí)際問題,掌握數(shù)學(xué)建模的方式及過程。

另外,數(shù)學(xué)還是一個優(yōu)化過程、一個量化過程和應(yīng)用過程,教師要適當(dāng)?shù)匾肷鐣?jīng)濟(jì)問題、生活游戲問題、物理自然問題和科研生產(chǎn)等問題。這些蘊(yùn)涵且傳遞著數(shù)學(xué)信息的實(shí)際問題,為學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的空間。學(xué)生去探究后,就會通過建模加深認(rèn)識,徹底地了解概念的提出、形成和發(fā)展。教師的“知”轉(zhuǎn)化為學(xué)生的“悟”,由淺入深,進(jìn)而“引爆思維,開拓思維”,使學(xué)生構(gòu)建起一個包括數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)的完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系。這真正體現(xiàn)教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)理念,有益于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性及分析問題解決問題的能力。

探究教學(xué)的過程,反思認(rèn)知的結(jié)構(gòu),總結(jié)知識的運(yùn)用,可使學(xué)生經(jīng)歷一個“由厚到薄”的過程,養(yǎng)成用數(shù)學(xué)頭腦對周圍事物進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣,克服在知識掌握上的孤立與離散的狀態(tài),深悟知識的來龍去脈及它在體系中的地位和作用,以形成相應(yīng)的知識網(wǎng)絡(luò),使之系統(tǒng)化、條理化。

三、提煉數(shù)學(xué)方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

徐利治先生在《數(shù)學(xué)家是怎樣思考和解決問題的》一文中,指出了數(shù)學(xué)家們在數(shù)學(xué)創(chuàng)新過程中常用的幾種數(shù)學(xué)方法:聯(lián)想法、歸納法、類比法及抽象分析法。聯(lián)想法是把不同事物聯(lián)系起來的一種思想方法;類比法就是對兩個或幾個相似的東西進(jìn)行聯(lián)想,把它們中間某個較熟悉的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到它的相似的對象上去,從而做出相應(yīng)的判斷和推理;歸納法就是從特殊到一般的方法;抽象分析法就是用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號去表達(dá)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法精髓之所在,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和運(yùn)用十分重要。數(shù)學(xué)思想與具體表層知識相比,更加抽象和概括,而且更具有隱蔽性,這就決定了要領(lǐng)悟和掌握數(shù)學(xué)思想,必須在實(shí)際解題中對具體方法進(jìn)行分析、提煉和概括。如果不對它加以提煉和概括,那么它的適用范圍就有局限性,而且不容易產(chǎn)生遷移。反之,對解題過程及方法進(jìn)行提煉,可以分析出具體方法背后隱藏的數(shù)學(xué)思想,并對具體的方法進(jìn)行加工,從中提煉出應(yīng)用范圍更廣泛的思想方法。這樣長期下去,則有利于數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和掌握。

四、品味數(shù)學(xué)元認(rèn)知,頓悟數(shù)學(xué)規(guī)律

頓悟是指突然覺察到問題的解決方法或規(guī)律,它是格式塔心理學(xué)家的主要代表人物苛勒(WolfgangKohler)通過對黑猩猩的學(xué)習(xí)問題的實(shí)驗(yàn)研究而提出來的?？晾照J(rèn)為動物解決問題是一個頓悟的過程,他把學(xué)習(xí)解釋為“知覺重組”或“認(rèn)知重組”。頓悟理論是格式塔心理學(xué)對學(xué)習(xí)研究的最大貢獻(xiàn)。

蘋果只有落到牛頓的頭上才頓悟了萬有引力定律,只有阿基米德發(fā)現(xiàn)了水從浴缸里溢出才頓悟了阿基米德定律。這些在不經(jīng)意間的豁然開朗,正是在元認(rèn)知的調(diào)控與指導(dǎo)下的頓悟表現(xiàn)。頓悟產(chǎn)生之前必然要經(jīng)歷一段艱難的、模糊的摸索數(shù)學(xué)元認(rèn)知?dú)v程,沒有持久進(jìn)行的積極的思維行動,沒有元認(rèn)知的不斷調(diào)整與修正及不斷的品味,是不可能產(chǎn)生頓悟的。學(xué)生的心理和行為向預(yù)期目標(biāo)的發(fā)展,都需要依賴元認(rèn)知的反饋調(diào)節(jié),教師應(yīng)及時地、有針對性地調(diào)節(jié)教學(xué),讓學(xué)生參與自我評價,改善學(xué)習(xí)的進(jìn)程。如何提高元認(rèn)知能力呢?方法很多,比如積累與運(yùn)用個人的數(shù)學(xué)資料。(1)成功學(xué)生的元認(rèn)知計劃不僅僅是聽課、作筆記和等待教師布置的測試,他們會預(yù)測完成作業(yè)需花多少時間、考試前復(fù)習(xí)筆記、針對錯題筆記查找資料作選題訓(xùn)練、整理個人學(xué)習(xí)心得筆記等個人數(shù)學(xué)資料及使用各種科學(xué)有效的方法學(xué)習(xí)。(2)學(xué)會反思,學(xué)會合情推理,掌握自我講授法及書寫法。(3) 運(yùn)用個人數(shù)學(xué)資料進(jìn)行提問或做審題訓(xùn)練,對元認(rèn)知進(jìn)行后調(diào)整與修正。 元認(rèn)知過程一般分為8個階段,即獲取信息階段,辨認(rèn)識別、提取信息階段,醞釀及預(yù)測階段,領(lǐng)會監(jiān)控、信息遷移階段,元認(rèn)知監(jiān)控、調(diào)整、信息重組階段,擬定計劃階段,監(jiān)控計劃、信息組合階段,實(shí)施計劃階段。為此,教師在教學(xué)中要能留給學(xué)生足夠的時間去獨(dú)立思考,留出足夠思維的空間讓學(xué)生運(yùn)用元認(rèn)知去細(xì)細(xì)體味,給學(xué)生創(chuàng)造頓悟的機(jī)會。

五、關(guān)注數(shù)學(xué)細(xì)節(jié),覺悟數(shù)學(xué)技巧

在問題解決的教學(xué)實(shí)踐中,學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想方法,但要想將思想方法加以靈活自如的運(yùn)用,還有待于挖掘隱藏于題目背后的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié),形成一定的數(shù)學(xué)技巧,否則一切思想也只能是鏡中觀月,可望而不可及。在問題的表象之后,隱藏著數(shù)學(xué)思想的巧妙應(yīng)用,學(xué)生對于數(shù)學(xué)技巧的形成往往需要經(jīng)歷一個從模糊到清晰的較長過程。這都要有時間的保障。因此在教學(xué)中教師要關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)的細(xì)節(jié),在多次的應(yīng)用中,讓數(shù)學(xué)思想的妙用慢慢地展露出來,讓學(xué)生逐漸地覺悟數(shù)學(xué)的技巧,從而形成能力。

在教學(xué)中要回避“壓路機(jī)式的教學(xué)”,警惕教學(xué)中的“滑過現(xiàn)象”,要突出重點(diǎn),丟棄以往的講得多練得少、講解不到位練得太分散、講得太辛苦學(xué)得很吃力的陳舊落后的“經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)”。放下“害怕”的思想包袱,不要牽著學(xué)生走,讓學(xué)生活動起來。課堂例習(xí)題的編制要做到低起點(diǎn)、重基礎(chǔ),要更能符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。既有探究性又有開放性, 留有時間的余地,讓學(xué)生能慢慢地去覺悟, 在輕松而緊張的教學(xué)環(huán)境中體驗(yàn)收獲與成功的喜悅。

“悟”需要時間,“悟”需要過程,“悟”需要關(guān)愛與呵護(hù),“悟”需要持之以恒,讓我們一起行動起來,為學(xué)生營造一個寬松和諧的悟性思維空間和時間,促其展開想象的翅膀,自由地翱翔吧。