丘志華

【摘要】在課外練習(xí)或競(jìng)賽中,常常會(huì)出現(xiàn)有這么一類數(shù)學(xué)題:看上去數(shù)字較大的計(jì)算或求值,如果采用常規(guī)方法按運(yùn)算順序直接計(jì)算確實(shí)很麻煩甚至根本不可能算得出,這時(shí)若巧妙地使用乘法公式則可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算,往往使用原本看上去很復(fù)雜的數(shù)學(xué)題出現(xiàn)轉(zhuǎn)機(jī)?運(yùn)用乘法公式還可以引申到解決其他表面上很復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題?

【關(guān)鍵詞】乘法公式?運(yùn)算?解題

Wondrous use multiplication formula skillful problem solving

Qiu Zhihua

【Abstract】In the extracurricular practice or the competition, will appear frequently has such kind of mathematics problems: Seems the digital big computation or the evaluation, if uses the conventional method to be truly very troublesome according to the operation order direct calculation simply is even impossible to be considered as, if used the multiplication formula to be possible ingeniously by now to simplify the operation greatly, often uses the book seems the very complex mathematics problems presents the favorable turn. May also expand using the multiplication formula to solves on other surfaces the very complex mathematics question.

【Key words】Multiplication formula, operation, problem solving

1.直接化為乘法公式的形式

例1計(jì)算99992-10000×9998

分析:如果直接計(jì)算雖能算得出,但費(fèi)時(shí)費(fèi)力,用乘法公式就方便多了?而10000×9998=(9999+1)(9999-1),恰好可用平方差公式計(jì)算?

解:原式=99992-(9999+1)(9999-1)=99992-(99992-1)

2.原題經(jīng)過(guò)變形化為乘法公式

例2已知玜²-5a+1=0,求玜²+1a²的值?

分析:本題不能急于先求出玜的值再代入式子計(jì)算,那樣做將會(huì)走入死胡同,還是在乘法公式上想辦法?

由玜²-5a+1=0,可得玜²+1=5a,且玜≠0,即a+1a=5,所以(a+1a)2=52

即a²+2+1a²=25,因此a²+1a²=23

3.添項(xiàng)后能構(gòu)成乘法公式

例3計(jì)算3(22+1)(24+1)(28+1)-216

分析:若直接計(jì)算肯定很復(fù)雜?本題只要在連乘因式前面添上因式(2-1),3改為(2+1),即可連續(xù)使用平方差公式?

解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)-216

=……=216-1-216=-1

4.逆用乘法公式

例4計(jì)算(1-122)(1-132)(1-142)…(1-120042)(1-120052)

分析:本題若直接運(yùn)算,理論上可行,但實(shí)際幾乎辦不到?仔細(xì)觀察每個(gè)因式的特征,便可發(fā)現(xiàn)如果充分利用平方差公式,將每個(gè)因式進(jìn)行分解:1-1n2=(1+1n)(1-1n)=n+1n×n-1n的形式,化繁為簡(jiǎn),就會(huì)給計(jì)算帶來(lái)極大的便利?

解原式=(1+12)(1-12)(1+13)(1-13)…(1+12004)(1-12004)(1+12005)(1-12005)=12×32×23×43×…×20032004×20052004×20042005×20062005=12×20062005=10032005

5.探索規(guī)律型

例5已知:52-32=8×2,92-72=8×4,112-52=8×12,152-32=8×27,152-72=8×22,……,你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?并說(shuō)明這個(gè)規(guī)律的正確性?

分析:注意觀察題目,已知條件左邊是平方差,此題與平方差公式有關(guān),而右邊因式全部含有8?

解:規(guī)律:任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)?

說(shuō)明:設(shè)m?n為任意兩個(gè)正整數(shù),兩個(gè)奇數(shù)可表示為:2m+1?2n+1,則(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1),當(dāng)m?n取任決正整數(shù)時(shí),(m-n)或(m+n+1)中至少有一個(gè)是偶數(shù),所以4(m-n)(m+n+1)一定是8的倍數(shù)?因此任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)?

6.利用乘法公式分解因式

因式分解的方法很多,常用的方法有:提取公因式法?公式法(平方差公式?完全平方公式?立方和公式?立方差公式)?分組分解法?特別是對(duì)于“二項(xiàng)式”,如果沒(méi)有公因式可提取,可試用平方差?立方和?立方差公式進(jìn)行因式分解,有時(shí)需要對(duì)原題稍加變化?改變結(jié)構(gòu)?局部分解?拆項(xiàng)?添項(xiàng)?重新組合等?化為乘法公式后,便可進(jìn)行因式分解?

例6分解因式x4+4y4

分析:根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn),關(guān)鍵是在式子里添上4x²y2-4x²y2兩項(xiàng),湊完全平方的形式?

解:原式=x4+4x²y2+4y4-4x²y2

=(x²+2y2)2-(2xy)2

=(x²+2y2+2xy)(x²+2y2-2xy)

乘法公式的用途還很多,無(wú)法一一詳細(xì)介紹?總之只要靈活地運(yùn)用好乘法公式,有許多看上去較繁的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以迎刃而解?

收稿日期:2009-04-08