張　淼

【摘要】本文采用MATLAB軟件編寫程序，利用一維或二維的傅里葉變換函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)二維圖像信息的傅里葉變換，通過程序?qū)ζ漕l譜結(jié)果進(jìn)行處理，利用傅里葉反變換函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)二維圖像信息的壓縮，進(jìn)而展示了傅里葉變換與反變換在信號(hào)的時(shí)域、頻域處理方面的作用。本文有助于對(duì)信號(hào)處理原理的學(xué)習(xí)與理解。

【關(guān)鍵詞】二維信號(hào) 二維離散 傅里葉變換 傅里葉反變換 圖像壓縮 MATLAB

一、引言

對(duì)信號(hào)的分類，可以從不同的角度進(jìn)行，通?？梢苑譃闀r(shí)域信號(hào)、頻域信號(hào)，一維信號(hào)、二維或多維信號(hào)，連續(xù)信號(hào)、離散信號(hào)等。將信號(hào)采用數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式表示，給信號(hào)的連續(xù)性、確定性的研究提供了必要的研究基礎(chǔ)，而常見的一維或二維的信號(hào)，如連續(xù)的一維聲音信號(hào)、連續(xù)的二維圖像信號(hào)，它們?cè)跁r(shí)域上離散表示時(shí)，通常采用相關(guān)的數(shù)據(jù)表示。本文研究的內(nèi)容，主要是時(shí)域上離散的二維圖像信號(hào)數(shù)據(jù)與其頻域信號(hào)的變換、處理問題。

二、二值化離散

對(duì)于二維離散數(shù)據(jù)可以理解為：它們?cè)仁菚r(shí)間函數(shù)在一定采樣頻率下離散的結(jié)果。對(duì)一張圖像、一個(gè)指紋、一個(gè)漢字等二維平面上的信息采樣，可得到二維離散數(shù)據(jù)。離散后的數(shù)據(jù)，一般為正實(shí)數(shù)內(nèi)的數(shù)據(jù)，為簡便起見，下面對(duì)一個(gè)漢字進(jìn)行二維數(shù)據(jù)進(jìn)行二值化離散，即非0即1的離散。

將漢字“王”字的二維二值化數(shù)據(jù)，可用如圖1(a)所示的矩陣描述，在f(m，n)矩陣中，將漢字中的筆畫上的點(diǎn)用“1”表示，無筆畫的地方用“0”表示。圖1(b)為將圖1(a)中“0”去掉以后的情形，由此可見，圖1(a)所示的矩陣能基本表示出“王”字的信息。當(dāng)然，點(diǎn)陣數(shù)越多，所描述出的漢字信息也越多，準(zhǔn)確性越好，失真越小。

圖1 “王”字的16*16點(diǎn)陣矩陣

對(duì)二維連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換，定義為

(1)

其中p、q為空間頻率，通常f(m，n)為空間頻率的復(fù)數(shù)值函數(shù)，它也有模值與相角，其模值為二維幅度譜(能量譜、密度譜)。由于式(1)可表示為

因此，對(duì)二維連續(xù)信號(hào)f(m，n)的傅里葉變換可視為先沿一個(gè)方向進(jìn)行一維的傅里葉變換，再沿另一個(gè)方向進(jìn)行一維的傅里葉變換。同理，對(duì)傅里葉反變換也可以兩次按一維進(jìn)行。

與一維連續(xù)傅里葉變換相似，式(1)為二維連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換，要想用計(jì)算機(jī)處理，必須將其離散化，二維離散傅里葉變換為

(2)

式(2)中，離散矩陣f(m，n)的行與列為M行、N列，M與N可以不相等，但都為正整數(shù)。如在圖1中M=N=16。

三、軟件實(shí)現(xiàn)

在MATLAB軟件中，對(duì)一維數(shù)組a進(jìn)行傅里葉變換使用函數(shù)fft(a)進(jìn)行，對(duì)二維數(shù)組c進(jìn)行傅里葉變換，可以利用對(duì)一維數(shù)組進(jìn)行傅里葉變換的函數(shù)，進(jìn)行二維數(shù)組的傅里葉變換函數(shù)，其形式為：fft(fft(c).′).′，也可以直接利用對(duì)二維數(shù)組的傅里葉變換函數(shù)fft2(c)進(jìn)行；對(duì)二維數(shù)組c的傅里葉反變換函數(shù)，其形式為ifft2(c)。下面的MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)對(duì)圖1所示的二維離散數(shù)據(jù)的進(jìn)行顯示、傅里葉變換、能量譜的顯示、頻譜壓縮、傅里葉反變換、還原顯示等處理，程序行右邊以“%”開頭的是程序的注釋。

imshow(f，'notruesize')%顯示矩陣f點(diǎn)陣圖，如圖2所示。

a=input('aaaaa=')%等待從命令窗口輸入任意數(shù)，目的是看清圖2結(jié)果。

F = fft2(f)；%對(duì)矩陣f進(jìn)行2維傅里葉變換，賦值到F中

F0=F；%將F保存到F0中，后續(xù)還要用到F

F1 = log(abs(F))；%對(duì)變換結(jié)果取模值，并取常用對(duì)數(shù)，數(shù)越大，幅度越強(qiáng)

imshow(F1，[-1 4]，'notruesize')；%以五種顏色顯示頻譜，

colormap(jet)； colorbar%結(jié)果如圖3所示

a=input('bbbbb=') %等待從命令窗口輸入任意數(shù)

由圖3可知，頻譜的中心部分對(duì)應(yīng)圖像的高頻分量，其能量較低，它們?cè)诟道锶~變換反變換中作用較小，為此，可將中心部分的頻譜去掉，清空為零，，然后進(jìn)行傅里葉變換反變換，得到點(diǎn)陣圖案。為此，可繼續(xù)執(zhí)行如下程序。

for i=8：1：10；%對(duì)第8到第10行

for j=6：1：12；%對(duì)第6到第12列

F( i，j )=0；%頻譜的中間清空(為0)

end%列循環(huán)結(jié)束

end%行循環(huán)結(jié)束

f1=ifft2(F)%對(duì)中空的頻譜做傅里葉反變換

f2=abs(f1)%對(duì)變換結(jié)果取絕對(duì)值，因?yàn)樽儞Q結(jié)果為有正、負(fù)的實(shí)數(shù)

imshow(f2，'notruesize') %將矩陣f2中的數(shù)據(jù)顯示出來，結(jié)果與圖2完全相同

a=input('cccccc=')%等待從命令窗口輸入任意數(shù)，目的是看清圖的結(jié)果

從中空的頻譜的反變換所得到的點(diǎn)陣圖像與原點(diǎn)陣圖像相同這一點(diǎn)說明，二維數(shù)據(jù)的頻譜從能量上看，主要分布在邊緣部分，如果將原頻譜F0的四角重新組織在一起，從16*16頻譜矩陣F0生成一個(gè)新的8*8頻譜矩陣F2。

這樣處理，實(shí)際上就是實(shí)現(xiàn)了頻譜壓縮，將壓縮的頻譜進(jìn)行傅里葉變換反變換，得到壓縮一般的點(diǎn)陣圖案，為此，可繼續(xù)執(zhí)行程序(程序略)。

由圖4可見，這是一個(gè)非二值化的灰度圖象，已基本上看不清是一個(gè)“王”字，因?yàn)樵趂4矩陣中的數(shù)據(jù)盡管是實(shí)數(shù)，但并非是非0即1的數(shù)據(jù)，為此，要進(jìn)行二值化處理，將高于某個(gè)數(shù)值的認(rèn)為是1，而低于某個(gè)數(shù)值的認(rèn)為是0，這個(gè)數(shù)值即閾值。對(duì)閾值的選擇，可取f4矩陣中的數(shù)據(jù)的平均值。

四、結(jié)論

通過程序執(zhí)行發(fā)現(xiàn)，用平均值作閾值所得到的圖像并不是十分理想，而當(dāng)閾值y=2.53~2.71時(shí)，形成的壓縮圖像保持一致，如圖6所示。比較圖2原16*16點(diǎn)陣圖與圖6壓縮8*8點(diǎn)陣圖，壓縮圖筆畫信息稍有失真?？梢?，還原閾值的選擇十分重要。

以上例子顯示了利用傅里葉變換與反變換函數(shù)，對(duì)二維圖像信息的壓縮處理與還原的具體應(yīng)用，展示了傅里葉變換與反變換在信號(hào)的時(shí)域、頻域處理方面的作用。

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