賴 欣 馮勤超

摘要：對亞式期權(quán)定價的文獻(xiàn)進(jìn)行分類整理，并就其中一些文獻(xiàn)的觀點進(jìn)行分析評論。亞式期權(quán)是場外交易中幾種最受歡迎的新型期權(quán)之一，但它的價格卻沒有解析表達(dá)式，到目前為止，亞式期權(quán)的定價仍是個公開問題。在嘗試了大量研究之后，發(fā)現(xiàn)在很早之前提出來的Monte Carlo模擬法定價是算術(shù)平均亞式期權(quán)的較好近似。

關(guān)鍵詞：亞式期權(quán)；定價方法；文獻(xiàn)綜述

中圖分類號：F830文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3198(2009)24-0170-02

1引言

亞式期權(quán)(Asian options)作為新型期權(quán)中的一種，也稱為平均期權(quán)，它實質(zhì)上是歐式期權(quán)的一種創(chuàng)新。它與歐式期權(quán)的相同點在于它們都是只允許其投資者在到期日當(dāng)天執(zhí)行期權(quán)合同，不同點在于歐式期權(quán)是根據(jù)到期日當(dāng)天的股價的高低來決定是否執(zhí)行期權(quán)合同，而亞式期權(quán)是根據(jù)合同期內(nèi)的股價的平均價格的高低來決定是否執(zhí)行期權(quán)合同。由于歐式期權(quán)到期日的價值與路徑無關(guān)，只依賴于到期日的股價，因此很難防止有人操縱到期日的價格進(jìn)而從中套利，而亞式期權(quán)卻是與路徑相關(guān)的，使用它可以緩解投機(jī)行為。而且，與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)相比，亞式期權(quán)還有價格更便宜、可以用來對沖在指定時期內(nèi)的風(fēng)險的優(yōu)點。

亞式期權(quán)是場外交易中幾種最受歡迎的新型期權(quán)之一，但它的價格卻沒有解析表達(dá)式，到目前為止，亞式期權(quán)的定價仍是個公開問題。假定標(biāo)的資產(chǎn)價格s服從對數(shù)正態(tài)分布，因為一系列對數(shù)正態(tài)分布變量的幾何平均仍服從對數(shù)正態(tài)分布。而相應(yīng)算術(shù)平均沒有可以解析處理的特性，故算術(shù)平均亞式期權(quán)比幾何平均亞式期權(quán)的定價要困難得多。對幾何平均亞式期權(quán)，我們已得到它的定價的(顯式)解析解，但算術(shù)平均亞式期權(quán)很可能不存在這種(顯式)解析解。然而，實際中常見的是算術(shù)平均亞式期權(quán)，幾何平均亞式期權(quán)相對較少。因此，算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價問題引起許多數(shù)理金融學(xué)家的注意，已有不少的近似解，但至今沒有解析解，因而探尋其合理的價值估計方法成為期權(quán)理論的一個具有重要學(xué)術(shù)價值的題目。

2亞式期權(quán)定價

盡管亞式期權(quán)已經(jīng)在實務(wù)界得到廣泛應(yīng)用，其準(zhǔn)確的定價公式仍沒有從理論上得到較好解決。對于亞式期權(quán)的估價問題，關(guān)鍵是如何確定股價平均價格A(T)的概率分布，這是得到解析定價公式的主要難點。許多學(xué)者從不同角度討論了亞式期權(quán)的定價思路。

2.1國外研究

Kemna＆Vorst(1990)通過改變波動率和敲定價格提出了一個幾何平均期權(quán)的定價解析公式。幾何平均期權(quán)可以用一個明確的解析式來計算，因為如果價格服從對數(shù)正態(tài)分布，那么價格的幾何平均值也服從對數(shù)正態(tài)分布。因此，幾何平均亞式買入和賣出期權(quán)的價值就可以得出，而算術(shù)平均期權(quán)則不可以。

Turnbull＆Wakeman(TW)(1991)提出了一種近似計算方法，盡管亞式期權(quán)的分布是未知的，但是算術(shù)平均價格概率分布的前兩階距是可以求得出來的，他們是基于算術(shù)平均的一種近似對數(shù)正態(tài)分布，為了定價期權(quán)而提出平均值的二階矩近似法。

Edmond Levy(1992)則是在此基礎(chǔ)上，找到了一個更適合前兩階距的對數(shù)正態(tài)分布，就是用幾何布朗運動s(t)來近似代替A(T)，這樣就將亞式期權(quán)的定價轉(zhuǎn)化為常規(guī)歐式期權(quán)的定價了，從而計算的算術(shù)平均價格近似值比TW的近似值更精確。Curran在同年提出了一種基于幾何調(diào)節(jié)方法的近似算術(shù)亞式期權(quán)方法。這個模型著眼于我們所學(xué)的幾何分布以及標(biāo)的資產(chǎn)價格在特定點的值。通過對每個時間點上的數(shù)取自然對數(shù)，我們就可以得到在幾何分布下的標(biāo)的資產(chǎn)價格，最后求積分計算。

Hull＆White(1993)在二叉樹的模型上增加一個結(jié)點，然后運用線性內(nèi)插法來計算每個結(jié)點的近似平均值，最后通過后向折現(xiàn)計算出期權(quán)價格。但是。這種方法不能保證收斂性。

Rogers&Shi(1995)提出了用有限差分法來解亞式期權(quán)問題，他們根據(jù)比例縮放的性質(zhì)，將平均亞式期權(quán)價格計算簡化為解一個二元拋物線偏微分方程。但是這種方法在于適用于較低的波動率和較短的到期時間。Chalasani，Jha＆Varikooty(1997)在Rogers＆Shi模型的基礎(chǔ)上修改了用來估計期權(quán)條件期望的隨機(jī)變量z，得出了亞式期權(quán)精確解的下界。Chalasani，Jha＆Varikooty(1998)使用三叉樹法計算了離散的亞式期權(quán)，而Thompson(2000)改進(jìn)了此方法，使之更精確。

Andreasen(1998)對Rogers&Shi的模型進(jìn)行了擴(kuò)展，通過改變基準(zhǔn)在數(shù)字上解決亞式期權(quán)的定價問題。在用有限差分法來解亞式期權(quán)問題上，Tavella和Randall(2000)也做了相關(guān)方面的研究。

Zhang(2001)給出了具有固定敲定價格的算術(shù)平均亞式期權(quán)的半顯示解，并得到了較好的數(shù)值結(jié)果，但此方法沒有充分利用解在部分區(qū)域中有解表達(dá)式的特征。

2.2國內(nèi)研究

而在國內(nèi)。胡日東在《關(guān)于亞式股票期權(quán)及其定價方法的研究》中首先提出了奇異期權(quán)問題，并且計算出亞式期權(quán)的近似計算公式，由于亞式期權(quán)的算術(shù)平均價格不再服從對數(shù)正態(tài)分布，因此難以找到A(T)密度函數(shù)，于是胡日東將幾何布朗運動s(T)來近似代替A(T)，再找出亞式買人期權(quán)的近似值C(T；S，K)。此方法要根據(jù)亞式買人期權(quán)價格的近似值是否超出理論邊界來判斷近似計算公式的合理性。此方法運用的是解析法。

1999年，許端和蔡金緒在《亞式期權(quán)估價的最新進(jìn)展》中提出了利用對數(shù)正態(tài)分布近似估計算術(shù)平均資產(chǎn)價格期權(quán)的價值。他是用對數(shù)正態(tài)分布作為資產(chǎn)價格算術(shù)平均值的近似概率分布，來獲得此類期權(quán)的近似價格。具體思路是。假設(shè)A服從某種對數(shù)正態(tài)分布，通過隨機(jī)變量的矩確定所需要的參數(shù)。然后利用關(guān)于常規(guī)期權(quán)的Black-Scholes定價公式得到亞式期權(quán)的近似估價。該方法得到的近似期權(quán)估價公式的取值范圍沒有超出期權(quán)價值的理論邊界。然后，他們利用Johnson分布近似估計算術(shù)平均資產(chǎn)價格期權(quán)的價值。

關(guān)于金融衍生證券定價的Monte Carlo模擬方法問題。1999年以前中國期刊上尚未看到有關(guān)研究成果。

2000年黨開宇和吳沖鋒分析了Monte Carlo模擬、幾何平均近似法、二階矩近似法、偏微分方程法和條件期望下限法等五種亞式期權(quán)的定價方法。他認(rèn)為，用Monte Carlo模擬得出的結(jié)論十分精確，但缺陷是操作麻煩，工作量大，且無法做靈敏度分析，

2004年邵斌和丁娟運用LongstaH和Schwartz最近提出的用Monte Carlo模擬法計算美式期權(quán)的方法在GARCH模型中求解美式亞式期權(quán)，結(jié)果表明和其它數(shù)值方法相比，不僅有相當(dāng)?shù)木_度，而且使用簡便并具有更廣泛

的實用性，對于GARCH模型中運用格點法難以求解的浮動執(zhí)行價格的美式亞式期權(quán)同樣可以得到穩(wěn)定解。

2005年馬俊海和張維將重要性抽樣技術(shù)處理特殊衍生證券定價問題的能力與控制變量技術(shù)、分層抽樣技術(shù)簡單靈活、易于應(yīng)用的特點有機(jī)地結(jié)合起來，把分層抽樣技術(shù)和控制變量技術(shù)引入重要性抽樣模擬估計的分析框架，提出更為有效的關(guān)于期權(quán)定價Monte Carlo模擬的綜合性方差減少技術(shù)I并以基于算術(shù)型亞式期權(quán)定價為例，進(jìn)行了實證模擬分析。

2008年孫彥和王子亭研究了亞式期權(quán)與交易帳戶期權(quán)之間的關(guān)系。作為交易帳戶期權(quán)的一種特例，亞式期權(quán)的價格可以通過一個簡單的一維偏微分方程來求解，通過網(wǎng)格離散形式。對同定敲定價格的算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行求解，給出方程的數(shù)值解，取得定價解。

同年，羅付巖和賈貞分析了在標(biāo)的資產(chǎn)價格對數(shù)收益服從NIG-Levy，過程的條件下，如何構(gòu)建和計算等價鞅測度，通過Esscher轉(zhuǎn)換得到Q等價鞅測度，并以此為基礎(chǔ)尋找風(fēng)險中性概率的條件。最后利用這些條件探討亞式期權(quán)的數(shù)值定價問題。利用低差異序列中的Halton、Sobol、Faure序列對亞式期權(quán)進(jìn)行了數(shù)值定價分析。

由于算術(shù)平均亞式期權(quán)的路徑相關(guān)性，始終無法得出其定價的精確解，人們在嘗試了大量研究之后，發(fā)現(xiàn)在很早之前提出來的Monte Carlo模擬法得出的價格是算術(shù)平均亞式期權(quán)的較好近似。

3基于Monte Carlo模擬的亞式期權(quán)定價

根據(jù)現(xiàn)有的金融資產(chǎn)定價理論，除了少數(shù)一些簡單衍生證券的價格可以得到比較簡單的理論計算公式以外，絕大部分期權(quán)價格則必須通過數(shù)值分析方法來加以確定。因此，數(shù)值分析方法就成為解決衍生證券定價問題的十分必要的手段。概括地講，常用的金融衍生證券定價的數(shù)值分析技術(shù)可分為三個基本類型：網(wǎng)格分析技術(shù)、有限差分技術(shù)和Monte Carlo模擬技術(shù)。其中，網(wǎng)格分析技術(shù)和有限差分技術(shù)在維數(shù)較低的衍生證券定價應(yīng)用中得到比較好的應(yīng)用，但對于基于多標(biāo)的變量和路徑依賴特性的高維衍生證券定價應(yīng)用時，由于計算工作量的迅速增加使得實現(xiàn)起來十分困難，有時甚至是不可能的。此即所謂的“維數(shù)災(zāi)難”。而Monte Carlo模擬由于具有比較靈活且易于實現(xiàn)、估計誤差及收斂速度與解決問題的維數(shù)獨立等兩個明顯優(yōu)勢，從而能夠較好地解決基于多標(biāo)的變量的高維衍生證券的定價問題。所以，隨著高維衍生證券發(fā)展越來越快。交易規(guī)模迅速增加，應(yīng)用日趨廣泛，網(wǎng)格分析技術(shù)和有限差分技術(shù)應(yīng)用將會受到越來越大的限制，Monte Carlo模擬必將在金融衍生證券定價中發(fā)揮更為重要的作用。

Monte Carlo模擬方法在亞式期權(quán)定價中應(yīng)用的基本思想是：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價格的分布兩數(shù)已知，將期權(quán)的有效期分成若干個小的時間段，利用計算機(jī)，從樣本中隨機(jī)抽樣來模擬每個時刻股票價格，從而得到股票價格的-二個可能路徑，進(jìn)而可求得期權(quán)在到期，日的價值。這一結(jié)果可看成是到期日期權(quán)的價值一個隨機(jī)樣本。不同的路徑得到不同的樣本，最后對所有的樣本求算術(shù)平均，就可得到到期日期權(quán)的價值，再根據(jù)無套利原理，將該值折現(xiàn)到當(dāng)前時刻，即可得期權(quán)當(dāng)前的價格。

但Monte Carlo模擬在應(yīng)用方面也存在著明顯的不足。對相當(dāng)一部分金融衍生證券的定價問題，仍然不能得到理想的結(jié)果。首先，收斂速度比較慢，對一些復(fù)雜的衍生證券。要想達(dá)到較好的估計精度，就需要進(jìn)行很多的模擬次數(shù)，否則將產(chǎn)生較大的估計誤差，其次，由于方法本身所具有的前向模擬特點，使其對具有后向迭代搜索特征的美式衍生工具的價格估計存在著一定的困難。近些年來，人們針對Monte Carlo模擬方法這些不足。提出了許多有效的改進(jìn)技術(shù)。大大擴(kuò)展了該方法的應(yīng)用范圍和估計效果。

4總結(jié)

亞式期權(quán)是與路徑相關(guān)的，這樣它通常比標(biāo)準(zhǔn)化的歐式期權(quán)要便宜，且使用它可以緩解投機(jī)行為。因此它在某些情況下是較好的投資和風(fēng)險控制工具。在許多情況下，在市場上尋求套期保值的公司往往需要為他們在未來一段時間內(nèi)連續(xù)平穩(wěn)的可預(yù)測現(xiàn)金流進(jìn)行保值，這時持有一個合適的亞式期權(quán)可以對沖平均價格的風(fēng)險，因此，亞式期權(quán)是進(jìn)行金融風(fēng)險管理的有力工具。

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對于幾何平均亞式期權(quán)，我們能得到精確的解析解，但是，對于算術(shù)平均亞式期權(quán)，人們采用了各種方法，但是仍然無法得到解析的定價公式。對標(biāo)的算術(shù)平均亞式期權(quán)更多的是以標(biāo)的幾何平均亞式期權(quán)來近似逼近(常見的如二階矩近似法、控制變量法、相似變量代換法)或采用數(shù)值方法。

本文對亞式期權(quán)定價的研究理論進(jìn)行綜述，并提出用Monte Carlo模擬對算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行定價，對學(xué)術(shù)界進(jìn)一些步研究亞式期權(quán)定價問題起到一定的參考作用。