張央林

一、一次測(cè)試引發(fā)的思考

三年級(jí)下學(xué)期末，筆者為了解學(xué)生解決問題的能力，對(duì)自己教學(xué)的兩個(gè)班進(jìn)行了一次解決問題能力非正式前測(cè)，以作為復(fù)習(xí)的依據(jù)。

問題1：爸爸買了兩盒一樣的巧克力豆，明明和媛嬡每人一盒。媛媛每天吃9顆，可以吃4天；明明每天吃18顆，可以吃幾天?

問題2：明明在東京旅游，媽媽給了他525日元零用，他買了4張紀(jì)念卡，這時(shí)他發(fā)現(xiàn)自己只剩下25日元了。紀(jì)念卡的單價(jià)是多少日元?

問題3大型拖車送火箭從制造廠到發(fā)射場(chǎng)，每小時(shí)行9千米，用了4小時(shí)：從發(fā)射場(chǎng)返回到制造廠，每小時(shí)行18千米，需要幾小時(shí)?

問題4：叔叔進(jìn)行汽車?yán)愑?xùn)練，從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路程是525千米，行了4小時(shí)，發(fā)現(xiàn)到終點(diǎn)還有25千米。汽車平均每小時(shí)行多少千米?

兩個(gè)班在解答題3和題4上差異明顯。(正確率見下表所示)

在沒有學(xué)習(xí)路程、速度和時(shí)間數(shù)量關(guān)系之前(四年級(jí)上學(xué)期才學(xué))，A班解答問題‘3和問題4的正確率已經(jīng)比較好了(至少是正常的)。而B班則特別出色。兩班的差異讓我眼前一亮：兩個(gè)班是隨機(jī)分班，B班二年級(jí)開始是筆者執(zhí)教，A班從二年級(jí)下學(xué)期起是筆者執(zhí)教。經(jīng)過一年的教學(xué)，兩個(gè)班在包括解決問題能力的各個(gè)數(shù)學(xué)能力上看不出差異，但為什么兩個(gè)班在解決離散量類型的問題時(shí)沒有差異(事實(shí)上，題l和題3、題2和題4是同構(gòu)的，唯一的區(qū)別是，題1和題2問題涉及的量是離散量，而題3和題4問題涉及的量是連續(xù)量)，而在解決連續(xù)量問題的時(shí)候B班卻更為優(yōu)異呢?為了確定不是外部因素影響了測(cè)試的信度，隨后筆者又對(duì)兩個(gè)班同時(shí)進(jìn)行了20分鐘小測(cè)驗(yàn)，還在復(fù)習(xí)過程中多次針對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)后30％的學(xué)生進(jìn)行了專項(xiàng)對(duì)比觀察，證實(shí)了前面的測(cè)試有較高的信度：解題失敗的幾個(gè)同學(xué)在解決同類問題時(shí)依然表現(xiàn)不佳，于是我作出了這樣的判斷：長(zhǎng)度單位教學(xué)策略對(duì)連續(xù)量類型的實(shí)際問題解決(特別是路程、速度、時(shí)間關(guān)系問題解決)有直接影響；或者說長(zhǎng)度單位概念建構(gòu)的失敗是導(dǎo)致學(xué)生解決連續(xù)量問題困難的原因。

二、得出此判斷的依據(jù)

筆者很早就開始關(guān)注學(xué)生解決連續(xù)量問題不如離散量問題的現(xiàn)象，這里舉一個(gè)極端的例子，

[牛吃草]一塊草地，每天均勻地生長(zhǎng)新草。如果放養(yǎng)6頭牛，8天可以吃完草地里的草。如果放養(yǎng)9頭牛，4天就吃完了草地里的草。如果放養(yǎng)7頭牛，草地的草夠吃多少天?

[吃雞蛋]冰箱里有一些雞蛋，養(yǎng)的雞每天下同樣多的雞蛋。如果每天給熊貓吃6只蛋，8天后雞蛋不夠吃，如果每天吃9只蛋，4天后雞蛋不夠吃。如果每天吃7只蛋，幾天后雞蛋不夠吃?

對(duì)于成人來說，“牛吃草”問題也是個(gè)棘手的題目，而“吃雞蛋”問題則是個(gè)簡(jiǎn)單問題。對(duì)于沒有經(jīng)過特殊輔導(dǎo)的四年級(jí)兒童來說，能解決前一個(gè)問題的百里挑一，而能解決后一個(gè)問題的學(xué)生則不在少數(shù)?！芭３圆荨焙汀俺噪u蛋”是同構(gòu)的，為什么前者如此困難而后者則相對(duì)簡(jiǎn)單得多呢?籠統(tǒng)的解釋是：后一個(gè)問題容易理解，而前一個(gè)問題難以理解。事實(shí)上，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，許多有經(jīng)驗(yàn)的教師都能注意到連續(xù)量問題相對(duì)較難，他們的解釋通常是“學(xué)生不理解題意”。然而，用“不理解題意”來解釋這種現(xiàn)象還過于籠統(tǒng)，什么是“不理解題意”?閱讀障礙嗎?兩者并沒有什么差別!離生活太遠(yuǎn)?沒有理由認(rèn)為牧區(qū)小學(xué)的孩子會(huì)比城市的孩子更會(huì)解答“牛吃草”問題!那么，不理解題意的原因是什么?

筆者的理解是：“牛吃草”問題困難的原因是沒有一個(gè)現(xiàn)成的和熟知的單位來表示牧草的量，而后者表示雞蛋數(shù)量的“個(gè)”則是兒童在幼兒期就熟知的單位。對(duì)許多兒童來說，感到困難的行程、面積、重量、時(shí)間、角度等連續(xù)量問題，如果換成離散數(shù)量問題則容易得多。由此可以推斷，兒童是否正確建立長(zhǎng)度(面積、體積、質(zhì)量、角度、時(shí)間)等單位概念決定著兒童在解決相應(yīng)量的問題時(shí)是否“理解題意”。

因此，筆者對(duì)前述A班兒童在解決問題3和問題4上的失敗歸因于長(zhǎng)度單位概念在他們的大腦里沒有被正確建立起來。二年級(jí)兒童理解“厘米”“公畝”“平方米”“立方厘米”“(角)度”與我們成人理解“千克·米”“米/秒”這樣的單位概念有相似的難度。事實(shí)上，在孩子的大腦中，8個(gè)，8厘米，8千克，8小時(shí)，8度(角)，這些概念完全不一樣，除了“8個(gè)”是真實(shí)而清晰的，其他的概念一個(gè)比一個(gè)模糊，從他們解答這類量的問題常常出錯(cuò)——不理解題意、胡亂寫名數(shù)、周長(zhǎng)與面積不分——可以看出來。

正是基于這個(gè)判斷，筆者主張重視兒童對(duì)連續(xù)量和測(cè)量單位的理解，改變長(zhǎng)度(面積、體積、周長(zhǎng)、時(shí)間、角度等)量和測(cè)量單位的教學(xué)策略。

三、長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位的教學(xué)策略

支配目前長(zhǎng)度認(rèn)識(shí)和長(zhǎng)度單位認(rèn)識(shí)的主流觀點(diǎn)是這樣的：①長(zhǎng)度測(cè)量教學(xué)重點(diǎn)是技能形成；②長(zhǎng)度單位教學(xué)的重點(diǎn)是單位之間的轉(zhuǎn)換和實(shí)際運(yùn)用；③長(zhǎng)度單位和直尺的認(rèn)識(shí)難點(diǎn)是用斷尺測(cè)量長(zhǎng)度和單位的實(shí)際運(yùn)用；④“比長(zhǎng)短”和“直尺的認(rèn)識(shí)”不用教，學(xué)生都會(huì)；⑤一些教材上安排的用鉛筆、橡皮等一般單位測(cè)量被測(cè)對(duì)象的活動(dòng)盡管符合知識(shí)的邏輯起點(diǎn)，但并不符合兒童的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)(因?yàn)閷W(xué)生100％會(huì)使用直尺)。因此，課改前后，長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位的教學(xué)基本沒有什么改變，依然是技能訓(xùn)練。

7年前，筆者教學(xué)長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位所采取的策略正好與人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第一單元《長(zhǎng)度單位》教材安排的圖2相似，學(xué)生使用的測(cè)量長(zhǎng)度的“尺子”就是把10個(gè)紅黃相間的厘米立方體用透明膠帶粘成的長(zhǎng)條。用離散量的表達(dá)方式表達(dá)測(cè)量結(jié)果一例如，右邊的數(shù)學(xué)書的寬是“15‘個(gè)厘米”“鉛筆盒的長(zhǎng)度是25‘個(gè)厘米”，用“個(gè)”把測(cè)量與數(shù)數(shù)統(tǒng)一起來，將學(xué)生數(shù)離散量的經(jīng)驗(yàn)和能力遷移到長(zhǎng)度測(cè)量上來，再遷移到質(zhì)量、面積、體積、角度測(cè)量上去。很明顯的效果是學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位表示的對(duì)象(概念)認(rèn)識(shí)非常清晰，在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面積的時(shí)候，混淆周長(zhǎng)面積的比例顯著減少。

兩年前，筆者教學(xué)厘米認(rèn)識(shí)的時(shí)候，基于促進(jìn)學(xué)生對(duì)連續(xù)量對(duì)象的認(rèn)識(shí)和測(cè)量單位概念的建立，進(jìn)一步調(diào)整和豐富了教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容。

核心活動(dòng)如下，給學(xué)生提供如下圖的5個(gè)長(zhǎng)度單位，用復(fù)制的方法測(cè)量。比如文具盒長(zhǎng)“大約6個(gè)積木”(第4個(gè)，上到下，下同)，如果用圓柱體橡皮(第1個(gè))作單位測(cè)量，文具盒的長(zhǎng)度大約是多少個(gè)單位?估計(jì)一下再測(cè)出來，交流一下你是怎么估計(jì)的。如果用長(zhǎng)方體橡皮(第5個(gè))測(cè)量呢?在這種結(jié)構(gòu)化的材料操作中，學(xué)生不僅獲得正確的長(zhǎng)度單位概念，更重要的是，學(xué)生在這里獲得了更有用的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，不同單位表示同一對(duì)象——反比例關(guān)系的模型，這正是前述測(cè)試題中問題3的結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，前述測(cè)試題的問題3，本質(zhì)上是一個(gè)測(cè)量問題：將拖車1小時(shí)移動(dòng)的距離當(dāng)做一個(gè)單位，用兩種不同的單位測(cè)量同一個(gè)距離——制造廠到發(fā)射場(chǎng)的距離，其測(cè)量數(shù)據(jù)與單位大小成反比例。

這種學(xué)習(xí)長(zhǎng)度測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)是A班同學(xué)沒有的，有理由相信，B班學(xué)生在解決問題3和問題4上的優(yōu)異表現(xiàn)，與他們?cè)趯W(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位時(shí)的不同方式是相關(guān)的。

四、結(jié)論和思考

長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位概念是后續(xù)學(xué)習(xí)其他計(jì)量單位的基礎(chǔ)，還是日后學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、幾何的基礎(chǔ)；長(zhǎng)度測(cè)量經(jīng)驗(yàn)是倍數(shù)、單位1、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等重要數(shù)學(xué)概念的自然入口，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著特殊重要的地位。用離散的數(shù)數(shù)入手測(cè)量長(zhǎng)度是幫助學(xué)生建立長(zhǎng)度概念的有效策略。面積、體積、角度測(cè)量也應(yīng)該使用相似的策略。楊利亞等老師在角度教學(xué)時(shí)從離散的單位角度(1度的角)入手，用單位復(fù)制(數(shù)數(shù))的方法測(cè)量角度，也印證了這種策略的必要性和有效性。

想不到一個(gè)長(zhǎng)度單位概念建構(gòu)之初的策略改變競(jìng)?cè)挥绊懥藢W(xué)生對(duì)“速度、路程、時(shí)間”關(guān)系的理解。由此想到時(shí)下評(píng)課的“萬能”流行語數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是“清清楚楚一條線”，而不是“模模糊糊一大片”，意思是教學(xué)目標(biāo)要明確、過程要清晰。然而，以筆者的這種策略教學(xué)長(zhǎng)度單位顯然是模模糊糊一大片——看不出通常理解的重點(diǎn)和難點(diǎn)!無可非議，某個(gè)小片段的數(shù)學(xué)知識(shí)和相應(yīng)的教學(xué)或許應(yīng)該是一條線，但應(yīng)該在怎樣的尺度下、怎樣的視野中考察這條線々因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和知識(shí)結(jié)構(gòu)決不會(huì)是一個(gè)線性系統(tǒng)，我們應(yīng)該站得更高，在更大的尺度下、在更廣闊的視野中把握這條線——定位教學(xué)目標(biāo)和選擇教學(xué)策略——以有效促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)生態(tài)和諧的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。