沈仁廣

最近，聽(tīng)了一節(jié)公開(kāi)課，課題是蘇科版《數(shù)學(xué)》(八下)教材的§11．4“互逆命題”．上 課期間教師向?qū)W生提出了一組命題，要求學(xué)生說(shuō)出這些命題的逆命題．這些命題中有一條就是本文標(biāo)題提及的“正方形的4個(gè)角是直角”．稍作沉思后，有學(xué)生回答說(shuō)：這個(gè)命題的逆命題是“直角是正方形的4個(gè)角”．由于學(xué)生的回答不是老師預(yù)期的，所以主講老師走向黑板畫(huà)了一個(gè)正方形，并用“已知”和“求證”的形式寫(xiě)下了上述命題，最后，就得出了“如果一個(gè)四邊形的4個(gè)角都是直角，那么這個(gè)四邊形是正方形”的正確結(jié)論(這也是教參上的標(biāo)準(zhǔn)答案)．事后，據(jù)筆者觀察，相當(dāng)一部分的學(xué)生還是一臉盲然，可謂說(shuō)者云云，聽(tīng)者昏昏．學(xué)生是如此，那么聽(tīng)課的教師對(duì)這個(gè)問(wèn)題又是怎樣想的呢?我與部分教師交流后得知，確實(shí)有相當(dāng)一部分教師也存在著不解，學(xué)生的答案錯(cuò)在哪里?課堂教學(xué)中教師應(yīng)該怎樣分析和生成一個(gè)命題的逆命題?教師們普遍覺(jué)得這部分內(nèi)容難教難學(xué)，其實(shí)要解決這些問(wèn)題我們還要從命題本身談起!

目前，中學(xué)教材中一般都直接用“判斷”來(lái)定義命題，所以，要研究命題及其逆命題就不能不研究“判斷”．本文擬先從“判斷”入手、然后再研究命題及其逆命題，以期最終能幫助教師徹底弄清上述問(wèn)題．

1 判斷及其分類

判斷是對(duì)思維對(duì)象及其屬性有所肯定或否定的思維形式．判斷有兩個(gè)基本邏輯特征：①對(duì)事物有所斷定，即肯定或否定；②判斷的真假．若判斷所反映的和斷定事物的情況符合實(shí)際就是真判斷；否則就是假判斷(本文暫不討論判斷和命題的真假)．判斷作為一種思維形式，必然需要一定的物質(zhì)載體，判斷的內(nèi)容通?？梢杂藐愂鼍浔磉_(dá)，例如：

(1)a．一切同邊數(shù)的正多形都是相似的；

b．負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)；

c．有些一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

等都是判斷．ジ據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可把判斷進(jìn)行分類．首先，按判斷本身是否還包含其它的判斷而分為簡(jiǎn)單判斷和復(fù)合判斷．

簡(jiǎn)單判斷是指判斷本身不再包含其它判斷的判斷．如果一個(gè)簡(jiǎn)單判斷所斷定的是對(duì)象的性質(zhì)，我們就把這樣的簡(jiǎn)單判斷叫做性質(zhì)判斷．例如：“一切三角形都有外接圓”、“正方形的邊相等”等都屬于性質(zhì)判斷(又稱直言判斷)；我們把判定事物與事物間關(guān)系的簡(jiǎn)單判斷叫做關(guān)系判斷．例如：“△ABC相似于△A′B′C′”、“直線a⊥直線b”，都屬于關(guān)系判斷．

簡(jiǎn)單判斷由主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)、聯(lián)項(xiàng)四部分組成．現(xiàn)將其邏輯結(jié)構(gòu)分析如下：如(1)中“同邊數(shù)的正多邊形”、“負(fù)數(shù)”、“一元二次方程”分別是這四個(gè)判斷的主項(xiàng)．謂項(xiàng)表示主項(xiàng)具有或者不具有的性質(zhì)．如“相似的”、“對(duì)數(shù)”、“實(shí)數(shù)根”就分別是這三個(gè)判斷的謂項(xiàng)．

量項(xiàng)表示主項(xiàng)的數(shù)量，反映判斷的量的差別．根據(jù)量的多少，量項(xiàng)可分為全稱量項(xiàng)和特稱量項(xiàng)兩類，表示對(duì)象全體的叫做全稱量項(xiàng)，常用“所有”、“一切”、“任何”、“凡”、“每一個(gè)”等詞表達(dá)，表示對(duì)象一部分的叫做特稱量項(xiàng)，常用“有些”、“有的”等詞表達(dá)．在數(shù)學(xué)中，為了表達(dá)簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)單判斷的量項(xiàng)常常省略．如(1-b)省略了量項(xiàng)“所有”．

聯(lián)項(xiàng)表示主項(xiàng)和謂項(xiàng)之間的關(guān)系，反映判斷的質(zhì)的差異．根據(jù)質(zhì)的不同，聯(lián)項(xiàng)可分為肯定聯(lián)項(xiàng)和否定聯(lián)項(xiàng)兩類．通常用“是”或“有”表達(dá)肯定聯(lián)項(xiàng)；用“不是”或“沒(méi)有”表示否定聯(lián)項(xiàng)．簡(jiǎn)單判斷的聯(lián)項(xiàng)有時(shí)也可省略．

在簡(jiǎn)單判斷中，決定判斷形式的主要是量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)．根據(jù)判斷的量項(xiàng)是全稱，還是特稱，可以把判斷分為全稱判斷和特稱判斷．根據(jù)判斷的聯(lián)項(xiàng)是肯定，還是否定，可以把判斷分為肯定判斷和否定判斷. 這樣，把判斷的量和質(zhì)結(jié)合起來(lái)研究，簡(jiǎn)單判斷就有四種基本形式：全稱肯定判斷，全稱否定判斷，特稱肯定判斷，特稱否定判斷．一般地，我們?nèi)绻糜⑽淖帜竤和p分別表示判斷的主項(xiàng)和謂項(xiàng)，那么上述四種判斷中的全稱肯定判斷和特稱否定判斷的邏輯表達(dá)式就分別是：“所有s是p”、“有的s不是p”．

復(fù)合判斷是指判斷本身還包含其它判斷的判斷，通常由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單判斷通過(guò)邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)起來(lái)而組成，組成復(fù)合判斷的簡(jiǎn)單判斷稱為復(fù)合判斷的肢判斷．復(fù)合判斷按其肢判斷的不同結(jié)合情況(指按不同的邏輯聯(lián)結(jié)詞所聯(lián)結(jié)起來(lái))而分為聯(lián)言判斷、選言判斷、假言判斷等.

聯(lián)言判斷是指同時(shí)斷定了事物幾種情況的判斷．其聯(lián)結(jié)詞有“與”、“而且”、“一方面…，另一方面…”、“既…，又…”等，若用p、q表示判斷，則聯(lián)言判斷的邏輯公式為：“p∧q”(符號(hào)“∧”讀“合取”，表示聯(lián)言判斷的邏輯聯(lián)結(jié)詞)即“p而且q”．

選言判斷是指斷定事物若干可能情況的判斷．例如：“這個(gè)四邊形是平行四邊形或者是菱形或者是正方形”．選言判斷的邏輯表達(dá)式是：“p∨q(符號(hào)“∨”讀“析取”，表示選言判斷的邏輯詞)．

假言判斷是指有條件地判定某事物情況存在的判斷．它是反映事物之間條件和結(jié)果關(guān)系的判斷．其邏輯聯(lián)結(jié)詞通常是“如果…那么…”、“若…則…”，其邏輯公式是：“p→p”．

2 數(shù)學(xué)判斷與數(shù)學(xué)命題

數(shù)學(xué)判斷是對(duì)事物的空間形式及數(shù)量關(guān)系有所肯定或否定的思維形式．用來(lái)表示數(shù)學(xué)判斷的語(yǔ)句或符號(hào)的組合稱為數(shù)學(xué)命題．根據(jù)對(duì)判斷的分類，數(shù)學(xué)命題對(duì)應(yīng)的也有簡(jiǎn)單命題、復(fù)合命題之分；簡(jiǎn)單命題又有性質(zhì)命題和關(guān)系命題之分；復(fù)合命題又有聯(lián)言命題、選言命題和假言命題之分．關(guān)于數(shù)學(xué)命題的劃分可見(jiàn)下面的圖式：

ナ學(xué)命題簡(jiǎn)單命題性質(zhì)命題；す叵得題.

じ春廈題聯(lián)言命題；ぱ⊙悅題；ぜ傺悅題.

ナ學(xué)教材中，大量的數(shù)學(xué)知識(shí)都被概括為假言命題的形式，即都可以寫(xiě)成“若p則q”或簡(jiǎn)寫(xiě)成“p→q”的形式，我們把這種假言命題中的兩個(gè)命題p、q分別叫做前提(或題設(shè))與結(jié)論(或題斷)．如果把一個(gè)命題的前提與結(jié)論互換其位置叫做命題的換位，換位后的命題稱為原命題的逆命題．

3 逆命題的構(gòu)造方法

給出一個(gè)數(shù)學(xué)命題的逆命題其實(shí)是一件比較復(fù)雜的事情．以下我們分三種類型一一討論．

3．1 簡(jiǎn)單命題的逆命題

如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題是簡(jiǎn)單命題，這時(shí)，我們只要把組成該命題的簡(jiǎn)單判斷中的主項(xiàng)和謂項(xiàng)互換位置就可以得到原命題的逆命題．例如：“南京是江蘇的城市”和“a>b”的逆命題就分別是：“江蘇的城市是南京”、“b>a”．

3．2 假言命題的逆命題

但是，數(shù)學(xué)命題通常是復(fù)合命題中的假言命題，給出其逆命題就要復(fù)雜的多了．一般地，一個(gè)假言判斷的邏輯表達(dá)式是：“如果p那么q”或“p→q”，其中p、q都表示判斷，稱為肢判斷，根據(jù)肢判斷在假言判斷中的功能，又把肢判斷p(前提)叫做假言判斷的前件，表示依賴條件而成立的肢判斷q(結(jié)論)稱為假言判斷的后件．

一個(gè)假言命題的前件和后件如果都是簡(jiǎn)單命題，在一般情況下生成其逆命題也是相對(duì)容易的，即只要調(diào)換前件和后件的位置就可以得到原命題的逆命題．例如：原命題：“如果兩直線平行，那么同位角相等”，其逆命題為：“如果同位角相等，那么兩直線平行”．

ビ行┘傺耘卸系那凹或后件中包含不止一個(gè)條件和結(jié)論，那么，在給出逆命題時(shí)就存在著部分調(diào)換或全部調(diào)換題設(shè)與題斷的問(wèn)題，為了區(qū)分起見(jiàn)，我們把部分交換題設(shè)與題斷所得的新命題，稱為原命題的偏逆命題．一般情況下，在初等數(shù)學(xué)里，主要研究把命題的題設(shè)和題斷全部交換所得到的逆命題．

一個(gè)數(shù)學(xué)命題可以用數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言表達(dá)，也可以用自然語(yǔ)言表達(dá)．用自然語(yǔ)言表達(dá)命題的過(guò)程中，常常省去了部分的量項(xiàng)、聯(lián)項(xiàng)，甚至還有的省去了前提．根據(jù)邏輯語(yǔ)義學(xué)的觀點(diǎn)，由于漢語(yǔ)語(yǔ)詞的多義性和句法結(jié)構(gòu)的多重性特點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致語(yǔ)句語(yǔ)義的歧義．因此，雖然數(shù)學(xué)命題的內(nèi)容是客觀的，但一旦用語(yǔ)句表達(dá)出來(lái)以后，往往也會(huì)產(chǎn)生一定的歧義．這些也都會(huì)使學(xué)生由原命題得出逆命題時(shí)產(chǎn)生一定的困難. 但是，數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言(或邏輯語(yǔ)言)則是不會(huì)有歧義的，所以，我們?cè)谘芯恳恍?fù)合命題時(shí)，最好能用數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言(或邏輯語(yǔ)言)把它們表示出來(lái)，這樣會(huì)更有助于我們對(duì)命題的研究．

現(xiàn)在我們對(duì)命題：“正方形的4個(gè)角是直角”進(jìn)行詳細(xì)的探討．我們首先把上述命題用數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)就是這樣一個(gè)復(fù)合命題：“如果∠A、∠B、∠C、∠D是四邊形ABCD的內(nèi)角，且四邊形ABCD是正方形，那么∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”．考慮到“四邊形ABCD是正方形”已經(jīng)蘊(yùn)含了“∠A、∠B、∠C、∠D是四邊形ABCD的內(nèi)角”，因此，上述命題還可以更簡(jiǎn)潔地寫(xiě)成：“四邊形ABCD是正方形，那么∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”．不難看出，這是一個(gè)假言命題，其前件：“四邊形ABCD是正方形”是簡(jiǎn)單命題，只有1個(gè)題設(shè)(前提)；其后件：“∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”是一個(gè)聯(lián)言命題，有4個(gè)題斷(結(jié)論)．一般地，如果一個(gè)假言命題有m個(gè)題設(shè)，n個(gè)題斷，那么該命題就一共能形成∑mi=1∑nj=1C琲璵C琷璶個(gè)偏逆命題，因此，這個(gè)原命題共有∑4j=1C琷4=C14+C24+C34+C44=15個(gè)偏逆命題．限于篇幅，我們就僅列出把命題的題設(shè)和題斷全部交換所得出的命題，即：“若∠A，∠B，∠C、∠D是四邊形ABCD的內(nèi)角，且∠A、∠B、∠C、∠D都是直角，那么四邊形ABCD是正方形”，考慮到概念之間的蘊(yùn)含關(guān)系，用自然語(yǔ)言也可以把它寫(xiě)成：“四邊形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，那么這個(gè)四邊形是正方形”或“四個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形是正方形”．

學(xué)生認(rèn)為“正方形的4個(gè)角是直角”的逆命題是：“直角是正方形的4個(gè)角”，主要原因是學(xué)生沒(méi)有深刻理解原命題的前提、條件和結(jié)論，而且還錯(cuò)把它當(dāng)作了簡(jiǎn)單命題所至．

4 對(duì)教學(xué)的啟示

(1)正確理解命題及其逆命題的生成是學(xué)生順利發(fā)展邏輯思維能力和推理能力的基礎(chǔ)．教師要能正確引導(dǎo)學(xué)生理解逆命題的生成過(guò)程，這客觀上就要求教師本身要有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備，教師先要吃透教材，理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，切不可讓學(xué)生望文生義，生搬硬套．

(2)考慮到這一章節(jié)內(nèi)容在教學(xué)時(shí)間上的限制以及初中生的認(rèn)知水平，教師不可能在課堂教學(xué)內(nèi)容上像本文這樣展開(kāi)，筆者認(rèn)為要取得較好的教學(xué)效果，可以從以下幾方面入手：①中學(xué)數(shù)學(xué)中討論的命題，一般都是假言命題，考慮到數(shù)學(xué)命題的陳述有些是自然語(yǔ)言，甚至是高度省略了的自然語(yǔ)言，而且再加上漢語(yǔ)語(yǔ)句可能產(chǎn)生的歧義以及這些假言命題的前提和結(jié)論之間往往還存在著一些蘊(yùn)含關(guān)系，而這些都會(huì)影響學(xué)生能否正確的生成逆命題，因此，我們建議教師在教學(xué)時(shí)，要先把原命題用假言命題的形式表示出來(lái)，當(dāng)然學(xué)生要是能借助數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言那就更好；②要仔細(xì)分析條件和結(jié)論中的前提以及它們當(dāng)中出現(xiàn)的相關(guān)概念之間是否還存在蘊(yùn)含關(guān)系，以免在互換時(shí)產(chǎn)生表達(dá)上的錯(cuò)誤；③一定要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)生成逆命題的關(guān)鍵要素是要把全部的條件和結(jié)論進(jìn)行互換!關(guān)于這一點(diǎn)其實(shí)教材上說(shuō)的是很清楚的，但教師和學(xué)生均容易忽視，導(dǎo)致學(xué)生寫(xiě)出偏逆命題或其它錯(cuò)誤的結(jié)論來(lái)；④最后，還要要求學(xué)生把生成的逆命題用最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表示出來(lái)，因?yàn)檫@樣能有助于培養(yǎng)學(xué)生形成正確、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，而這一能力正是邏輯思維能力的基礎(chǔ)．