楊本慧

新課標(biāo)中明確提出：“探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”．?dāng)?shù)學(xué)中的探索規(guī)律問題是指發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性與不變性的問題．探索規(guī)律性問題的特點是問題的結(jié)論或條件不直接給出，而常常是給出一列數(shù)、一列等式、一列圖形的前幾個，然后通過我們觀察、分析、綜合、歸納、概括、推理、判斷等一系列探索活動逐步確定需求的結(jié)論或條件．解決探索規(guī)律問題，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、猜想的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力，也為高中學(xué)習(xí)數(shù)列知識打下一定的基礎(chǔ)．因此，探索規(guī)律問題，常常出現(xiàn)在各省、市的中考試題中．下面結(jié)合2008年部分省、市的中考相關(guān)試題，分析初中的常見考法．

探索規(guī)律探索數(shù)式規(guī)律探索數(shù)值結(jié)果ぬ剿魘量關(guān)系

ぬ剿魍夾喂媛商剿魍夾蔚陌詵毆媛瑟ぬ剿魍夾蔚陌詵擰⑴帕懈鍪等ぬ剿魍夾蔚某ざ?、制H?、面坏?/p>

1 探索數(shù)值結(jié)果

例1 （湖北十堰）觀察下面兩行數(shù)：

2，4，8，16，32，64，…①

5，7，11，19，35，67，…②

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，取每行數(shù)的第10個數(shù)，求得它們的和是（要求寫出最后的計算結(jié)果）．

評析 容易發(fā)現(xiàn)第①行的規(guī)律是2琻的形式，第②行的規(guī)律是2琻+3的形式．因此，兩行的第10個數(shù)的和是210+210+3=2051．

例2 (江蘇泰州)讓我們輕松一下，做一個數(shù)字游戲：

第一步：取一個自然數(shù)n1=5，計算n21+1得a1；

第二步：算出a1的各位數(shù)字之和得n2，計算n22+1得a2；

第三步：算出a2的各位數(shù)字之和得n3，計算n23+1得a3；

……

依此類推，則a2008.

評析 按游戲步驟，要得到a2008的值，表面上要進(jìn)行2008次才能完成，但這是不現(xiàn)實的．像出現(xiàn)這種形式的問題，一般通過計算幾個就會發(fā)現(xiàn)這些值存在一定的（循環(huán)）規(guī)律，然后按規(guī)律寫出結(jié)果．本題中，a1=26，a2=65，a3=122，a4=26，a5=65，…．通過計算發(fā)現(xiàn)，a1、a2、a3、a4、a5、…的值每三個循環(huán)出現(xiàn)，因此a2008=a1=26．

例3 （湖南常德）下面是一個三角形數(shù)陣：

1

2 4 2

3 6 9 6 3

4 8 12 16 12 8 4

……

根據(jù)該數(shù)陣的規(guī)律，猜想第十行所有數(shù)的和是.

評析 觀察“三角形數(shù)陣”發(fā)現(xiàn)，第n行的數(shù)依次是n,2n,3n,…,n2，…,3n,2n,n,第n行所有數(shù)的和n+2n+3n+…+n2+…+3n+2n+n=n3，因此是第十行所有數(shù)的和103（或1000）．

2 探索數(shù)量關(guān)系

例4 （廣東梅州）觀察下列等式:

1．32-12=4×2；

2．42-22=4×3；

3．52-32=4×4；

4．( )2-( )2=( )×( )；

…

則第4個等式為；第n個等式為（n是正整數(shù)）．

評析 探索數(shù)量關(guān)系，要認(rèn)真分析所給等式的左邊與右邊的代數(shù)式共同特征，以及與對應(yīng)序號的關(guān)系，用字母表示出來即可．本題等式的特征是：左邊是平方差形式，右邊都是4的倍數(shù)，答案：62-42=4×5;(n+2)2-n2=4×(n+1).

3 探索圖形的長度、周長、面積等

例5 （廣東湛江）如下圖所示，已知等邊三角形ABC的邊長為1．按圖中所示的規(guī)律，用2008個這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長是( ).

A.2008 B.2009 C.2010 D.2011

評析 按圖中所示的規(guī)律，每增加1個三角形，鑲嵌而成的四邊形的周長相應(yīng)只增加1，答案選C．

例6 （黑龍江齊齊哈爾）如圖1，菱形AB1C1D1的邊長為1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于點D2，以AD2為一邊，做第二個菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于點D3，以AD3為一邊做第三個菱形AB3C3D3，使∠B3=60°；…，依此類推，這樣做的第n個菱形AB璶C璶D璶的邊AD璶的長是．

ね1圖2

評析 AD2=32，通過計算發(fā)現(xiàn)AD璶=32AD﹏-1．因此AD璶的長是(32)﹏-1．

例7 （廣西桂林）如圖2，矩形A1B1C1D1的面積為4，順次連結(jié)各邊中點得到四邊形A2B2C2D2，再順次連結(jié)四邊形A2B2C2D2四邊中點得到四邊形A3B3C3D3，依此類推，求四邊形A璶B璶C璶D璶的面積是．

評析 “順次連結(jié)各邊中點”問題，在找規(guī)律問題中經(jīng)常容易出現(xiàn)．容易發(fā)現(xiàn)，本題中四邊形A璶B璶C璶D璶面積是四邊形A﹏-1狟﹏-1狢﹏-1狣﹏-1面積的一半，按此規(guī)律可得四邊形A璶B璶C璶D璶的面積是23-n．

4 探索圖形的擺放、排列個數(shù)等

例8 （海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影聪聢D所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子枚（用含n的代數(shù)式表示）.

評析 仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，若以前一個圖為基礎(chǔ)，增加3個棋子就可得到后一個圖．按此規(guī)律第個圖形需棋子（3n+1）枚．

例9 （遼寧沈陽）觀察下列圖形的構(gòu)成規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第8個圖形中有個圓．

評析 經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，第n個圖形中有（n2+1）個圓．因此第8個圖形中有65個圓．

例10 （湖北襄樊）如圖3，在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；…，照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個．

ね3

評析 通過在銳角內(nèi)部畫射線，容易發(fā)現(xiàn)畫n條不同射線，多畫1條射線，就可多得銳角（n+1）個．照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＝66個．

例11 （重慶）如圖①是一塊瓷磚的圖案，用這種瓷磚來鋪設(shè)地面，如果鋪成一個2×2的正方形圖案（如圖②），其中完整的圓共有5個，如果鋪成一個3×3的正方形圖案（如圖③），其中完整的圓共有13個，如果鋪成一個4×4的正方形圖案（如圖④），其中完整的圓共有25個，若這樣鋪成一個10×10的正方形圖案，則其中完整的圓共有個.

評析 觀察發(fā)現(xiàn)，n×n個正方形圖案比(n-1)×(n-1)個正方形圖案中完整的圓多4(n-1)個．

5 探索圖形的擺放規(guī)律

例12 （青海）觀察下列圖形的排列規(guī)律（其中☆、□、●分別表示五角星、正方形、圓）．●評析 觀察圖形排列規(guī)律發(fā)現(xiàn)，圖形的排列是按“●□☆●●□☆”順序循環(huán)排列的，因此第2008個圖形與第6個圖形（正方形）是一樣的，即第2008個圖形是正方形．

其實，初中探索規(guī)律問題常見的數(shù)學(xué)模型有： n2型、n2+1（或n2-1）型、2琻型、等差數(shù)列型、等比數(shù)列型，另外，也有以數(shù)學(xué)史料為背景設(shè)計的問題（如斐波拉契數(shù)列、楊輝三角等）．以上分析的僅是結(jié)合常見類型的一些考法，與大家共飧，還有許多問題需要我們繼續(xù)共同探索．