王元凱

2008年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷的最后一道壓軸題是這樣的：

剛回營地的兩個搶險分隊又接到救災(zāi)命令：一分隊立即出發(fā)趕往30千米外的A鎮(zhèn)；二分隊因疲勞可在營地休息a(0≤a≤3)小時再趕往A鎮(zhèn)參加救災(zāi). 一分隊出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在離營地10千米處發(fā)生塌方，塌方處地形復(fù)雜，必須由一分隊用1小時打通道路. 已知一分隊的行進(jìn)速度為5千米／時，二分隊的行進(jìn)速度為(4+a)千米／時.

(1)若二分隊在營地不休息，問二分隊幾個小時能趕到A鎮(zhèn)?

(2)若需要二分隊和一分隊同時趕到A鎮(zhèn)，二分隊?wèi)?yīng)在營地休息幾個小時?

(3)下列圖象中，①②分別描述一分隊和二分隊離A鎮(zhèn)的距離y(千米)和時間x(小時)的函數(shù)關(guān)系，請寫出你認(rèn)為所有可能合理圖象的代號，并說明它們的實際意義.

1 分析與解

分析 解決第(1)問的關(guān)鍵是考慮二分隊在行進(jìn)過程中是否在塌方處受阻，若受阻則應(yīng)計算出停留時間；解決第(2)問須結(jié)合題意進(jìn)行分類討論，并能準(zhǔn)確理解字母a的含義：解決第(3)個問題的關(guān)鍵是能看出圖象的變化趨勢，準(zhǔn)確理解圖像上每段的起點、終點在情境中的實際意義，并能對圖象①和圖象②進(jìn)行對照比較，從而找出可能合理的圖象的代號.

解 (1)若二分隊在營地不休息，則a=0，速度為4千米／時，行至塌方處需104=2．5(小時)，因為一分隊到塌方處并打通道路需要105+1=3(小時)，故二分隊在塌方處需停留0.5小時，所以二分隊在營地不休息趕到A鎮(zhèn)需2．5+0．5+204=8(小時)；

(2)一分隊趕到A鎮(zhèn)共需305+1=7(小時).

(Ⅰ)若二分隊在塌方處需停留，則后20千米需與一分隊同行，故4+a=5，即a=1，這與二分隊在塌方處停留矛盾，舍去：

(Ⅱ)若二分隊在塌方處不停留，則(4+a)(7-a)=30，即a2-3a+2=0，解得a1=1，a2=2，經(jīng)檢驗a1=1，a2=2均符合題意。

答：二分隊?wèi)?yīng)在營地休息1小時或2小時。

(3)合理的圖象為(b)、(d).

圖象(b)表明二分隊在營地休息時間過長(2

圖象(d)表明二分隊在營地休息時間恰當(dāng)(1

2 亮點賞析

2.1 背景新

ケ咎餿〔男掠保貼切實際. 2008年我國重大災(zāi)害頻繁發(fā)生，“搶險救災(zāi)”是大家都關(guān)注的一個話題. 該題以合乎情理而學(xué)生又非常熟悉的材料為背景，將數(shù)學(xué)中方程和函數(shù)等知識巧妙置于其中，既凸現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用性和教育性功能，又具備讓學(xué)生樂于接受，甚至欣賞并躍躍欲試的情感目標(biāo).

2.2 題意明

ケ咎庖桓拇統(tǒng)中考壓軸題語言冗長、涉及知識面過廣、綜合性過強(qiáng)的面孔. 表述言簡意賅，自然質(zhì)樸，可讀性較好，沒有使人望而生畏的感覺. 本題以能力立意作為描摹主題的主色調(diào)，突出對學(xué)生閱讀理解、分析問題、條件轉(zhuǎn)換、圖象的理解和信息捕捉等能力的考查：突出了對學(xué)生方程思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查.

2.3 設(shè)計巧

ケ咎饃杓頻男諧濤侍庥胍話閾諧濤侍獠灰謊，突破了傳統(tǒng)行程問題應(yīng)用題的模式. 例如設(shè)計“離營地10千米處發(fā)生塌方，須由一分隊用1小時打通道路”的條件，為解決問題設(shè)置了一個障礙，也是本題設(shè)計的一個亮點。使學(xué)生難以用陳題去“對號入座”，能真實、充分地考查出學(xué)生分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用意識; 所設(shè)計的圖象與常見的函數(shù)圖象也有不同之處：一般此類圖象均是以出發(fā)地作為坐標(biāo)原點，而本題設(shè)計的出發(fā)地的坐標(biāo)是(0，30)，目的地A鎮(zhèn)的坐標(biāo)在x軸上。這對學(xué)生理解圖象、捕捉信息的能力提出了更高的要求；在提供的四個選支項中，可能合理的選支不是唯一一個，這又與一般的圖象信息選擇題有別；要求說明合理圖象的實際意義，更能科學(xué)真實考察到學(xué)生對圖象是否理解，是否具有用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力. 圖象及相關(guān)問題的設(shè)計是本題設(shè)計的“神來之筆”，讓入耳目一新.

3 反饋與啟示

筆者對一部分考生解答此題的情況進(jìn)行了調(diào)查了解。約三分之一的考生認(rèn)為：這是一道活而不難、新穎有趣的好題，富有挑戰(zhàn)性，解答時沒有遇到大的障礙?？傮w情況是：第(1)小題，多數(shù)考生得了全分；而解答第(2)小題時暴露出的問題較多，主要是不知怎樣建模，表述不全不準(zhǔn)確是通病，此小題得分率不高；多數(shù)考生在解答第(3)小題時遇

到了困難，因函數(shù)圖象呈現(xiàn)的方式和設(shè)計的問題不是常見的，因而未能讀懂函數(shù)圖象，特別是不知對圖象①和圖象②進(jìn)行比較對照，因而判斷失誤。該小題得分率較低. 不少考生反映：讀過這道壓軸題的第一感覺是“似曾相識”，但深入下去又覺得“素未謀面”，無從著手，平?！翱嗑殹绷四敲炊嗟牧?xí)題，竟找不到一個已做過的題來模仿，感到“功夫負(fù)了苦心人”.

學(xué)生暴露出的問題也擊中了教學(xué)的軟肋：一旦熟悉了的表述方式或題目條件發(fā)生了改變，學(xué)生便會找不著實在的突破口. 這啟示我們：教師講課的重點應(yīng)該是知識的發(fā)生、發(fā)展過程，要著力改變“以知識傳授為主要目標(biāo)，忽視能力培養(yǎng)”的教學(xué)模式。在應(yīng)用題的教學(xué)和復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)注重將課本中典型的例題、習(xí)題進(jìn)行拓展和延伸，挖掘其蘊含的潛力. 對例題、習(xí)題應(yīng)通過變條件、變結(jié)論、變圖形、變表達(dá)方式等，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和發(fā)散思維能力. 要通過展示各種題型所表現(xiàn)出的不同思考策略和解題方法，來開拓學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生多角度、多層次、多途徑處理問題的能力. 通過對貼近實際、新穎有趣、活而不難、蘊涵豐富數(shù)學(xué)知識的問題的解決，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察思考問題，并且感悟解題思想的形成過程，領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法的魅力，從而真正提高分析問題和解決問題的能力.

プ髡嘸蚪椋和踉凱，中學(xué)高級教師，安徽省安慶市“骨干教師”，安慶市首屆中學(xué)數(shù)學(xué)“學(xué)科帶頭人”，安慶市首屆名師團(tuán)成員. 長期在教學(xué)第一線耕耘，主持過省、市初中數(shù)學(xué)課題的研究并獲獎，有數(shù)篇論文在國家級、省級刊物上發(fā)表.