安淑華 吳仲和

一提起美國(guó)教育，大家似乎早已有現(xiàn)成的印象。各種各樣的觀覽、短期聽課，甚至長(zhǎng)期居于美國(guó)的華人家長(zhǎng)，都有過不同角度的文字記敘，見諸報(bào)刊。近年來，中國(guó)課程改革的各種爭(zhēng)論中，也有不少批評(píng)盲目引入國(guó)外（主要指美國(guó)）理論的聲音，尤其是在數(shù)學(xué)教育方面，言辭頗為尖銳。

實(shí)際上，任何一個(gè)國(guó)家的改革方向總是基于它深厚的傳統(tǒng)尤其是文化傳統(tǒng)，因此很難以兩個(gè)國(guó)家改革方向相反來簡(jiǎn)單地判定是否應(yīng)當(dāng)抱著某些根深蒂固的積習(xí)不放。從某種角度來說，我們對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)課堂的了解是十分膚淺的，也是很不專業(yè)和全面的。能不能去“拿”和“拿”什么，都應(yīng)當(dāng)建立在對(duì)自身的客觀審視和對(duì)對(duì)方的深入研究的基礎(chǔ)之上，從而形成對(duì)道路選擇的清晰判斷。

出于這樣的目的，我們組織了一組美國(guó)數(shù)學(xué)課堂實(shí)錄和專業(yè)分析文章，陸續(xù)刊出。課例的選擇全部基于國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)課程改革的需要和教師關(guān)注的熱點(diǎn)，希望能對(duì)“建設(shè)性”（而不只是一味地批評(píng)）地改進(jìn)中國(guó)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有所啟示。

對(duì)于怎樣評(píng)價(jià)一堂數(shù)學(xué)課的討論，常常主要圍繞以教師為中心的教學(xué)還是以學(xué)生為中心的教學(xué)的評(píng)價(jià)。此外，人們還經(jīng)常討論應(yīng)當(dāng)遵循怎樣的模式來教學(xué)以及為什么這種模式能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力（Mathe-maticsProficiency）。這些討論的最終目的是期望在我們?nèi)找娑嘣纳鐣?huì)中，教師能夠幫助每一個(gè)學(xué)生學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，從而成為一個(gè)具有創(chuàng)造性和對(duì)社會(huì)有用的人。數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是讓每一個(gè)學(xué)生參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，以取得最大的學(xué)習(xí)效果并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。如何才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力？除了學(xué)生自身的因素外，教師的教學(xué)起著很大的作用。

數(shù)學(xué)教學(xué)以誰為中心

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)是以教師為中心的直接教學(xué)法。研究表明，以教師為中心的數(shù)學(xué)教學(xué)比較適用于低年級(jí)的課堂（幼兒園到二年級(jí)）。這種教學(xué)法能夠改善學(xué)生的模仿技能（比如計(jì)算技能），其局限性在于學(xué)生較少有機(jī)會(huì)去探究和建構(gòu)數(shù)學(xué)概念（Slavin，2006）。

以學(xué)生為中心的教學(xué)是以兒童認(rèn)知和建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的（Johnson，J.，Dupuis，V.，Musial，

D.，Hall，G.，&Gollnick，D.，2005）。其數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理念是：（1）學(xué)生應(yīng)有機(jī)會(huì)建構(gòu)他們自己的數(shù)學(xué)思想，從建構(gòu)數(shù)學(xué)的過程中懂得數(shù)學(xué)；（2）教師應(yīng)該懂得每個(gè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解是不一樣的；（3）教師應(yīng)該用學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的反饋來調(diào)整教學(xué)；（4）有效教學(xué)的意義在于學(xué)生有機(jī)會(huì)探索知識(shí)而不是一味地模仿老師?；谶@些基本教學(xué)理念而產(chǎn)生的教學(xué)策略對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)老師來說是十分重要的。這些教學(xué)策略包括：

（1）創(chuàng)造一個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境并學(xué)會(huì)傾聽學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。

（2）提出有討論價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。

（3）幫助不同水平的學(xué)生建立不同的模型來理解數(shù)學(xué)。

（4）鼓勵(lì)學(xué)生展示自己的數(shù)學(xué)思想并證明自己的數(shù)學(xué)結(jié)論。

在美國(guó)，由于教育發(fā)展水平的一個(gè)重要標(biāo)志在于普及大眾教育，因此以學(xué)生為中心的數(shù)學(xué)教學(xué)在美國(guó)教育中處于主要地位，其目的是縮小教育的差距。大量研究表明，為使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有探究的欲望和創(chuàng)造的動(dòng)力，教師應(yīng)以學(xué)生為中心，用不同的教學(xué)方法來幫助每一個(gè)學(xué)生，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，使學(xué)生真正懂?dāng)?shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，從而提高數(shù)學(xué)能力。那么，應(yīng)當(dāng)采用什么樣的教學(xué)模式呢？

美國(guó)盛行哪種教學(xué)模式

較早的教學(xué)模式可追溯到德國(guó)的教育家赫爾巴特（Herbart，1776～1814），他主張教學(xué)要有5個(gè)環(huán)節(jié)：

（1）準(zhǔn)備：讓學(xué)生做好準(zhǔn)備學(xué)習(xí)新的知識(shí)。

（2）展示：教師向?qū)W生表述新的知識(shí)。

（3）聯(lián)系：使新知識(shí)與舊知識(shí)融為一體。

（4）歸納：將新知識(shí)由特例歸納為一般概念。

（5）應(yīng)用：將新知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際。

這5個(gè)環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)要素，但是，近年來，世界范圍內(nèi)教學(xué)模式的討論圍繞著提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力來進(jìn)行。美國(guó)國(guó)家研究協(xié)會(huì)（該協(xié)會(huì)是美國(guó)國(guó)家科學(xué)院和國(guó)家工程研究院的主要研究咨詢機(jī)構(gòu)）和美國(guó)著名智庫(kù)蘭德公司主張學(xué)生的數(shù)學(xué)能力應(yīng)包含以下5個(gè)方面：（1）懂得數(shù)學(xué)概念；（2）計(jì)算熟練；（3）能將所學(xué)加以應(yīng)用；（4）邏輯推理和證明能力；（5）對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值有一定的認(rèn)識(shí)（NRC，2001；NAND，2003）。

筆者在教學(xué)及研究中發(fā)現(xiàn)，為了量化學(xué)生的數(shù)學(xué)能力以及便于檢測(cè)他們的學(xué)習(xí)效果，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力可以由3個(gè)核心方面組成（由此形成MSA教學(xué)模式，其中，“M”指模型；“S”指解題策略；“A”指應(yīng)用）：（1）懂得數(shù)學(xué)概念；（2）計(jì)算熟練；（3）能將所學(xué)加以應(yīng)用。其邏輯推理和證明能力貫穿于懂得數(shù)學(xué)概念、計(jì)算熟練和應(yīng)用之中；對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)是隨著對(duì)數(shù)學(xué)思想的真正理解而提高的（Wu，2006；Wu&An，2006）。這3個(gè)核心方面組成了學(xué)生能力的檢測(cè)模型（如圖1）。

由以上圖形可以看出，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解是多方面的。這種多方面的理解能夠幫助學(xué)生把數(shù)學(xué)與實(shí)際結(jié)合起來，并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)不同的、從可視到抽象的表達(dá)方法來幫助學(xué)生懂得數(shù)學(xué)概念。

計(jì)算熟練是指掌握不同層次的計(jì)算方法和技能（Strategy），運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)概念達(dá)到熟練計(jì)算的目的。計(jì)算熟練包括三個(gè)方面：（1）基礎(chǔ)算法；（2）基本計(jì)算技巧，這是一般學(xué)生所必須掌握的；（3）特殊計(jì)算技能，這是在（1）和（2）的基礎(chǔ)上教師幫助學(xué)生掌握的一些特殊計(jì)算技能，或?yàn)榛A(chǔ)較好的學(xué)生設(shè)計(jì)的。

應(yīng)用（Application）是指將所學(xué)的知識(shí)與實(shí)際相聯(lián)系以解決實(shí)際問題。如何有效地讓學(xué)生能夠應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)？教師應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)把知識(shí)與生活的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來。例如，應(yīng)用題是一種較快的應(yīng)用，然而不是每個(gè)學(xué)生都能解應(yīng)用題。教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行分類，培養(yǎng)學(xué)生分析應(yīng)用題的能力，選擇合適的解題技巧和解決策略，使學(xué)生能舉一反三。

數(shù)學(xué)的“有機(jī)平衡”是指教學(xué)要力求使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、計(jì)算熟練和具有應(yīng)用能力。如果學(xué)生具備這3點(diǎn)，他們將建立對(duì)數(shù)學(xué)的信心，從而相信自己的能力并開始喜愛數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何使這3個(gè)方面達(dá)到有機(jī)平衡（例如教學(xué)時(shí)間和教學(xué)內(nèi)容的分配）是教學(xué)的關(guān)鍵。好的數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)這3個(gè)方面的平衡。單方面地強(qiáng)調(diào)任何一個(gè)方面都不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。MSA教學(xué)法不但與加州新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2005）的原理相一致，而且，在全美其他地區(qū)也是大力提倡的，因?yàn)樗侵奶m德公司的研究報(bào)告和美國(guó)國(guó)家研究協(xié)會(huì)對(duì)全美數(shù)學(xué)教育的研究所得出的結(jié)論。

另外，MSA3個(gè)核心的每一方面都有金字塔式的學(xué)習(xí)規(guī)律。例如我們可以用下列的金字塔把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)分成基本類和特殊類。

以上3個(gè)圖中，每層之間都有密切的有序聯(lián)系，每層建立在下層之上。最底層是每個(gè)學(xué)生必須掌握的基本知識(shí)。如果在教學(xué)中有跳躍或斷層，教學(xué)會(huì)達(dá)不到預(yù)期的目的（An，2004）。例如，在教新的數(shù)學(xué)概念和技能時(shí)，如果直接用數(shù)學(xué)語言及數(shù)學(xué)式來表達(dá)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生通常會(huì)產(chǎn)生只會(huì)做題卻不懂?dāng)?shù)學(xué)的現(xiàn)象。只會(huì)做題并不表明有數(shù)學(xué)能力。好的數(shù)學(xué)能力具備以上3點(diǎn)。它產(chǎn)生于每天的課堂教學(xué)中。

教師擁有怎樣的備課大綱

為幫助學(xué)生獲得應(yīng)有的數(shù)學(xué)能力，全美50州都制定了相應(yīng)的教師備課大綱來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)。這些教學(xué)備課大綱一般包含以下8個(gè)方面：

（1）課程目標(biāo)：新課要有明確的教學(xué)目標(biāo)，即上完新課后學(xué)生能學(xué)到什么知識(shí)。

（2）課程標(biāo)準(zhǔn)：所有的新課都要和特定的課程標(biāo)準(zhǔn)有聯(lián)系。

（3）開始新課：新課的開始要有聯(lián)系性，即把學(xué)生的已知與新課的內(nèi)容聯(lián)系起來，把新課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系起來。復(fù)習(xí)已知的并與新課內(nèi)容有聯(lián)系的知識(shí)，以此為新課做好準(zhǔn)備。

（4）新課教學(xué)：用不同的表達(dá)方法（抽象的和直觀的）及多種例子講解新課（概念和技能）和范例，并用不同的教學(xué)法如分類法、比較法、問題法等以幫助不同學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)的不同理解。

（5）評(píng)估學(xué)生的掌握程度：講課中用不同的方法了解學(xué)生掌握新知識(shí)的程度，并調(diào)整講課的內(nèi)容及速度。

（6）課堂練習(xí)：包括兩種：老師指導(dǎo)下的練習(xí)和學(xué)生的獨(dú)立練習(xí)。前者強(qiáng)調(diào)老師的指導(dǎo)性；后者指學(xué)生及時(shí)應(yīng)用所學(xué)的新知識(shí)獨(dú)立完成練習(xí)。

（7）分級(jí)指導(dǎo)：對(duì)不同數(shù)學(xué)能力和背景的學(xué)生（如第二語言學(xué)生、天才學(xué)生或特殊學(xué)生）的不同指導(dǎo)。

（8）結(jié)束新課：是以檢測(cè)不同數(shù)學(xué)能力的學(xué)生對(duì)新課理解的程度為目的的。新課的結(jié)束可以有多種形式：提問法、考評(píng)法（小測(cè)驗(yàn)）及學(xué)生的書面反饋等。學(xué)生和老師都可以參與討論。例如，有的老師會(huì)這樣問：如果校長(zhǎng)問你，你今天學(xué)到什么，你該如何回答？

需要指出的是，美國(guó)之所以有以上方面的教學(xué)結(jié)構(gòu)，是因?yàn)槊绹?guó)是個(gè)多元化的社會(huì)，數(shù)學(xué)教育面臨的挑戰(zhàn)除了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，還包括在教學(xué)中要考慮多元文化（表現(xiàn)在不同語言、不同種族、不同地區(qū)）的因素，不同智障（比如聾、?。┮约罢Z言障礙的學(xué)生（比如新移民的第二語言學(xué)生）。根據(jù)法律規(guī)定他們有權(quán)與一般學(xué)生在同一教室接受教育。據(jù)統(tǒng)計(jì)，全美大約有13%的在校（12年級(jí)以下）學(xué)生屬于不同智障的學(xué)生。新移民的孩子在語言上有障礙的，就更不計(jì)其數(shù)了。此外，美國(guó)教育強(qiáng)調(diào)平等性，不允許按照成績(jī)的好壞來區(qū)分學(xué)校和班級(jí)。因此，對(duì)如何上好一堂能夠滿足不同學(xué)生不同需求的課，無疑給數(shù)學(xué)教師增加了新的挑戰(zhàn)，因?yàn)樗蠼處熌軌蛟O(shè)計(jì)不同的方法來幫助這些有特別需求的孩子，而且不讓一個(gè)孩子掉隊(duì)。加德納（Gardner）的多元智能研究也使老師們相信學(xué)生的智力是多方面的，只要在課堂中給學(xué)生提供多種學(xué)習(xí)方法，他們的數(shù)學(xué)能力就會(huì)提高。這就是為什么我們通常總能見到美國(guó)數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生都在非常輕松地學(xué)習(xí)。老師們幫助學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在游戲中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在玩各種實(shí)物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在讀故事中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在探索研究項(xiàng)目（project）中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在中國(guó)教師看來，美國(guó)數(shù)學(xué)課太簡(jiǎn)單、松散。雖然美國(guó)的數(shù)學(xué)課比不上中國(guó)數(shù)學(xué)課的高節(jié)奏、高強(qiáng)度，但是美國(guó)數(shù)學(xué)課使學(xué)生感到數(shù)學(xué)有趣、數(shù)學(xué)和實(shí)際生活有聯(lián)系、人人都能學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)。

中國(guó)課堂里學(xué)生的差異可能小些，但是根據(jù)吳仲和2006年關(guān)于中國(guó)六年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究報(bào)告，中國(guó)學(xué)生基本上處于計(jì)算能力強(qiáng)、概念理解能力和應(yīng)用能力差的狀態(tài)（Wu，2006）。另外，中國(guó)的社會(huì)結(jié)構(gòu)也在變化，單純的城市教育結(jié)構(gòu)已不能適應(yīng)日益變化的新型城市結(jié)構(gòu)，比如，城市里日益增長(zhǎng)的流動(dòng)人群將構(gòu)成中國(guó)教育的多元化。這需要老師有堅(jiān)信每一個(gè)人都能成功的信念并且能夠設(shè)計(jì)不同的教學(xué)方法幫助不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生。顯然，這對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教師來說也是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。

如何評(píng)價(jià)一堂數(shù)學(xué)課

雖然有教學(xué)備課大綱作為指導(dǎo)，但究竟如何把教學(xué)備課大綱的內(nèi)容體現(xiàn)在教學(xué)中是一個(gè)值得探討的問題。好的備課大綱并不表明會(huì)產(chǎn)生一堂好的數(shù)學(xué)課；反之，一堂好的數(shù)學(xué)課一定需要在好的備課大綱基礎(chǔ)之上。這兩者之間的橋梁是大量觀察好的數(shù)學(xué)課并且懂得如何評(píng)價(jià)一堂好的數(shù)學(xué)課。通過不斷學(xué)習(xí)評(píng)課，老師們會(huì)在學(xué)習(xí)中成長(zhǎng)并提高教學(xué)技能。在此過程中，老師們會(huì)發(fā)現(xiàn)最好的教學(xué)方法以及應(yīng)當(dāng)改進(jìn)的方面。這種評(píng)課的學(xué)習(xí)也將幫助老師們自我反思從而發(fā)現(xiàn)自己教學(xué)中的長(zhǎng)處和不足。

評(píng)價(jià)一堂數(shù)學(xué)課的關(guān)鍵是從積極的批評(píng)的角度來分析此課的各個(gè)方面，從而發(fā)現(xiàn)哪些有效地達(dá)到了課程目標(biāo)，還存在哪些不足。不論是以教師為中心的直接教學(xué)法還是以學(xué)生為中心的教學(xué)法都有一個(gè)共識(shí)：數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是讓每一個(gè)學(xué)生參與到學(xué)習(xí)中去，以取得最大的學(xué)習(xí)效果并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。達(dá)此目的的關(guān)鍵是盡可能為學(xué)生提供有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。為了比較方便地測(cè)評(píng)一堂好的數(shù)學(xué)課并使之量化，根據(jù)美國(guó)多種評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)課的方法，我們總結(jié)出下列12個(gè)重要方面：

（1）相關(guān)性：明確的教學(xué)目的包含在課程標(biāo)準(zhǔn)中。教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生水平相關(guān)。

（2）聯(lián)系性：聯(lián)系已知與新內(nèi)容，聯(lián)系新內(nèi)容和實(shí)際生活及其他學(xué)科。

（3）平衡性：幫助學(xué)生懂得數(shù)學(xué)概念，能熟練計(jì)算并將所學(xué)加以應(yīng)用，使三者之間達(dá)到平衡。

（4）有序性：有層次地引進(jìn)知識(shí)（由淺入深），邏輯推理由易到難。

（5）多元性：用不同的方法教授不同數(shù)學(xué)能力的孩子。

（6）評(píng)價(jià)性：用不同的方法了解學(xué)生掌握新知識(shí)的程度并依此調(diào)整講課的內(nèi)容。

（7）創(chuàng)新性：教學(xué)法、活動(dòng)、材料有新意，有吸引力，并鼓勵(lì)學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)。

（8）互動(dòng)性：促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中互動(dòng)、自主參與、選擇。

（9）反思性：引導(dǎo)學(xué)生自我指導(dǎo)、自我反思、自我評(píng)價(jià)。

（10）公平性：創(chuàng)設(shè)公平的、尊重不同智力學(xué)生的、寬容的學(xué)習(xí)氣氛。

（11）責(zé)任性：促進(jìn)學(xué)習(xí)中的集體的發(fā)展及增強(qiáng)個(gè)人的責(zé)任感。

（12）有效性：將大部分的時(shí)間用在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上。

因此，在這個(gè)數(shù)學(xué)案例分析系列里，我們將從小學(xué)一年級(jí)到初中八年級(jí)8個(gè)不同年級(jí)中選擇一些比較有意義的課例，展示美國(guó)老師是如何貫徹?cái)?shù)學(xué)教學(xué)大綱的基本要求及結(jié)構(gòu)的，他們?nèi)绾纹胶舛脭?shù)學(xué)概念、計(jì)算熟練和應(yīng)用三項(xiàng)內(nèi)容，以及如何用不同的教學(xué)方法來幫助不同數(shù)學(xué)能力的學(xué)生，等等，同時(shí)做出相應(yīng)的分析。這些美國(guó)老師的數(shù)學(xué)課例來源于我們2005～2006年教學(xué)能力的研究。

我們希望通過這些案例和國(guó)內(nèi)的同行交流。在系列案例中，我們將介紹：（1）老師的專業(yè)背景、他們對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的信念和班上學(xué)生的基本情況；（2）他們所上的一節(jié)數(shù)學(xué)課；（3）我們對(duì)此課的評(píng)價(jià)。希望此案例分析能夠起到互補(bǔ)的作用，以推動(dòng)中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展。

（參考書目略。作者分別系美國(guó)加州州立大學(xué)教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育副教授和美國(guó)加州國(guó)立大學(xué)教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育助理教授）