吳仲和

教學(xué)背景

1.喬愛(ài)絲老師是具有34年教齡、白裔的美國(guó)加州小學(xué)老師。今年是喬愛(ài)絲老師攻讀教育碩士的最后一年。她對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的信念是老師應(yīng)提供足夠的機(jī)會(huì)和耐心來(lái)讓學(xué)生們建構(gòu)他們的數(shù)學(xué)思想。她認(rèn)為老師要設(shè)法給學(xué)生提供對(duì)數(shù)學(xué)想象的空間，并且相信孩子們的智慧。

2.學(xué)生情況：全班共有20個(gè)學(xué)生，11男9女。其中，6個(gè)白種人，11個(gè)拉丁裔人，1個(gè)非洲裔人，2個(gè)亞裔人。3個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)高于平均水平，2個(gè)學(xué)生成績(jī)低于平均水平。

3.授課內(nèi)容：乘法。授課時(shí)間：60分鐘。

課例

這是一堂周一的課，喬愛(ài)絲老師使用“小數(shù)學(xué)教授”的方法讓學(xué)生以小組為單位，即4人一組共5組，以合作學(xué)習(xí)方式為主，給孩子充分探索、討論和展示數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，并提高其聯(lián)系實(shí)際和解決問(wèn)題的能力。喬愛(ài)絲老師用小旗桿和地理的名稱來(lái)命名這5個(gè)小組：平原組、南極組、河流組、北極組、草地組。

“小數(shù)學(xué)教授”方法的步驟是：（1）課的前15分鐘，全班學(xué)生以小組為單位，在老師的指導(dǎo)和各小組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下（小組長(zhǎng)的角色是輪流擔(dān)任的），討論并建構(gòu)一個(gè)老師給定的數(shù)學(xué)概念及與生活相關(guān)的應(yīng)用題，將應(yīng)用題寫(xiě)在一張課前設(shè)計(jì)好的11×8.5英寸的標(biāo)準(zhǔn)紙的中間（見(jiàn)圖1），等問(wèn)題設(shè)計(jì)好并由老師確認(rèn)后，小組里的4個(gè)人分別承擔(dān)完成4個(gè)不同數(shù)學(xué)任務(wù)的角色教授（分別為寫(xiě)關(guān)鍵數(shù)字、關(guān)鍵詞、畫(huà)圖形表達(dá)和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)表達(dá)的教授），這些角色是輪流進(jìn)行的；每一次新的活動(dòng)都由不同的人來(lái)?yè)?dān)任這些角色。（2）每個(gè)小組按順序，由這些小數(shù)學(xué)教授用透明的投影紙?jiān)诮淌仪懊嫦蛉嗾故舅麄兊臄?shù)學(xué)題，然后指導(dǎo)全班同學(xué)來(lái)探索、解決這個(gè)問(wèn)題。（3）每一小組小數(shù)學(xué)教授完成任務(wù)后，全班其他學(xué)生要給臺(tái)上講授的小組進(jìn)行評(píng)分考核。如果一堂課不能完成所有小組的講解，下節(jié)課可以繼續(xù)進(jìn)行。

喬愛(ài)絲老師首先向?qū)W生布置今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容：她要求學(xué)生以小組為單位，討論并實(shí)際設(shè)計(jì)一個(gè)乘法的應(yīng)用題（按照課程標(biāo)準(zhǔn)，二年級(jí)的學(xué)生應(yīng)能用連加和排列的方法來(lái)對(duì)乘法建模、解題并解決實(shí)際問(wèn)題）。喬愛(ài)絲老師提示學(xué)生們這樣的乘法應(yīng)用可以是時(shí)間問(wèn)題，也可以是測(cè)量問(wèn)題。這時(shí)，喬愛(ài)絲老師問(wèn)他們，還有什么例子可以用作乘法的應(yīng)用題。學(xué)生們?cè)诟`竊私語(yǔ)地進(jìn)行小組討論，有的說(shuō)可以用教室里的東西，有的說(shuō)可以用體育比賽，還有的說(shuō)可以用馬戲團(tuán)表演的例子。

當(dāng)學(xué)生們對(duì)乘法的應(yīng)用有所體會(huì)后，喬愛(ài)絲老師進(jìn)一步問(wèn)學(xué)生，乘法可以用什么來(lái)表達(dá)？學(xué)生1說(shuō)乘法可以用除法的逆運(yùn)算來(lái)表達(dá)，學(xué)生2說(shuō)乘法可以用排列（Array）的方法表達(dá)，學(xué)生3說(shuō)乘法可以用連續(xù)的加法來(lái)表達(dá)。喬愛(ài)絲老師顯然知道對(duì)二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，乘法可以用除法的逆運(yùn)算來(lái)表達(dá)的方法有一定的挑戰(zhàn)性，因而再一次提出她的問(wèn)題：怎么樣才能利用乘法與除法的關(guān)系呢？思索后，一個(gè)學(xué)生回答：可以用除法來(lái)檢驗(yàn)乘法的對(duì)錯(cuò)。喬愛(ài)絲老師肯定了他的想法并再一次強(qiáng)調(diào)乘法與除法是可以相互檢驗(yàn)的。在確定了學(xué)生們對(duì)乘法的概念有明確的了解后，喬愛(ài)絲老師讓學(xué)生用15分鐘的時(shí)間來(lái)討論并實(shí)際設(shè)計(jì)一個(gè)乘法的應(yīng)用題。

在學(xué)生討論期間，喬愛(ài)絲老師走向每個(gè)小組與學(xué)生們共同討論并回答學(xué)生們提出的問(wèn)題。

在平原組，學(xué)生們對(duì)學(xué)校的課間休息時(shí)間很感興趣。

喬愛(ài)絲老師：你們一天在學(xué)校有幾個(gè)課間休息。

平原組：3個(gè)。

喬愛(ài)絲老師：你們能不能用課間休息次數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)乘法的應(yīng)用題呢？記住你們必須要用乘法。

平原組：……（平原組的學(xué)生似乎有點(diǎn)困惑）

喬愛(ài)絲老師：你們的課間休息時(shí)間有多長(zhǎng)？（喬愛(ài)絲老師開(kāi)始啟發(fā)學(xué)生）

平原組學(xué)生1：10點(diǎn)半到10點(diǎn)45，15分鐘。

喬愛(ài)絲老師：你們一天一共有多少分鐘的課間休息時(shí)間？你們可以從這里開(kāi)始考慮。

喬愛(ài)絲老師這時(shí)走到了南極小組并參與他們的討論。

南極組學(xué)生1：我們想用每個(gè)小組的小旗桿來(lái)創(chuàng)造乘法應(yīng)用題。

喬愛(ài)絲老師：那非常好。那你們?cè)趺醋瞿兀?/p>

南極組學(xué)生：……（南極組的學(xué)生似乎有點(diǎn)困惑）

喬愛(ài)絲老師：教室里有幾個(gè)小旗桿呢？（喬愛(ài)絲老師開(kāi)始啟發(fā)學(xué)生）

南極組學(xué)生2：5個(gè)。

喬愛(ài)絲老師：那么你們?cè)鯓勇?lián)系乘法呢？

南極組學(xué)生：……（南極組的學(xué)生仍然困惑）

喬愛(ài)絲老師：如果一個(gè)小旗桿長(zhǎng)2英尺，那么總共會(huì)有多少英尺呢？（喬愛(ài)絲老師留給學(xué)生足夠的空間去探索）

南極組學(xué)生們受到啟發(fā)，開(kāi)始建構(gòu)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

喬愛(ài)絲老師走到了河流小組并參與他們的討論。在河流小組里，有一個(gè)叫丹尼爾的學(xué)生是屬于智力較高的學(xué)生，但他的問(wèn)題是不能與其他人合作。

河流小組學(xué)生1：丹尼爾不愿意與我們一起工作，喬愛(ài)絲老師。

喬愛(ài)絲老師：丹尼爾，讓我再重復(fù)一次今天課的內(nèi)容和規(guī)定。與他人一起合作稱之為“大家意見(jiàn)一致（Consensus）”或者叫做“小組合作學(xué)習(xí)（CooperativeLearning）”。如果你不愿意與他人合作，那你就無(wú)法參加今天的課，因?yàn)樽谶@里與別人爭(zhēng)論而浪費(fèi)十幾分鐘的時(shí)間是毫無(wú)意義的。我讓你自己做出選擇：是愿意在這里與他人一起學(xué)習(xí)，還是你一個(gè)人去做其他的事？我現(xiàn)在去其他小組察看，等我回來(lái)時(shí)，我希望你已經(jīng)有了你的選擇。

喬愛(ài)絲老師講出和別人合作的好處，讓丹尼爾做出自己的決定，而不是把他調(diào)到其他組或單一地批評(píng)。

喬愛(ài)絲老師走向北極小組并參與他們的討論。

喬愛(ài)絲老師：你們現(xiàn)在討論得如何？

北極小組：我們不知道怎么做。

喬愛(ài)絲老師：怎么回事呢？你們仔細(xì)看看你們周圍。這里有圖片，有小花盆，還有其他物品，它們是不是有倍數(shù)關(guān)系呢？你們先數(shù)數(shù)看。

北極小組學(xué)生1：我們教室里有21個(gè)小花盆。

喬愛(ài)絲老師：看一看我們教室里有幾個(gè)小組？看看是否有什么乘法的概念在里面。（喬愛(ài)絲老師提示）

北極小組學(xué)生2：如果用它除以5個(gè)小組，就會(huì)有余數(shù)。

喬愛(ài)絲老師：不要忘了老師也有1盆花。（老師幽默地說(shuō)）

北極小組似乎受到了啟發(fā)，開(kāi)始討論。

喬愛(ài)絲老師再次走到河流小組，察看丹尼爾的問(wèn)題。

喬愛(ài)絲老師：丹尼爾，你有沒(méi)有決定你是否要參加小組的活動(dòng)？

丹尼爾：我們已經(jīng)開(kāi)始了討論。

喬愛(ài)絲老師：哦，很好。

喬愛(ài)絲老師：你們有沒(méi)有什么好的主意？

河流小組學(xué)生1：丹尼爾說(shuō)，他們家的小狗可以做例子。

喬愛(ài)絲老師：丹尼爾，你說(shuō)說(shuō)看。

丹尼爾：我想用我們家的狗媽媽和小狗的重量作為例子。

喬愛(ài)絲老師：你們同意嗎？（喬愛(ài)絲老師征求小組其他同學(xué)的意見(jiàn)）

河流小組學(xué)生2：我還不十分清楚丹尼爾的方法。

喬愛(ài)絲老師：丹尼爾，你把你的想法與其他同學(xué)討論一下。

丹尼爾：好的。（丹尼爾顯然受到了鼓舞）

河流小組開(kāi)始了他們的討論。

喬愛(ài)絲老師這時(shí)走到了草地小組。

喬愛(ài)絲老師：你們的例子是什么？

草地組學(xué)生1：我們想用小嬰兒作為例子。

喬愛(ài)絲老師：怎么做？（這時(shí)喬愛(ài)絲老師顯然注意到了約翰，一個(gè)較后進(jìn)的學(xué)生）

喬愛(ài)絲老師：約翰，你對(duì)你們組的討論有貢獻(xiàn)嗎？

草地組其他學(xué)生：小嬰兒的例子就是約翰提出來(lái)的。

喬愛(ài)絲老師：哦，非常好。

草地組學(xué)生2：我們這樣想：醫(yī)院里護(hù)士的監(jiān)護(hù)房有5個(gè)小嬰兒（該生含含糊糊，無(wú)法表達(dá)清楚）。我們想用5的一半，但5是奇數(shù)，我們不能把它分成兩個(gè)整數(shù)（很顯然，學(xué)生2想到了乘法）。

喬愛(ài)絲老師：更重要的是小嬰兒能不能分成兩個(gè)半個(gè)？

草地組學(xué)生2：不能。

喬愛(ài)絲老師：所以，你也許應(yīng)該改變這個(gè)數(shù)字。

草地組學(xué)生3：16怎么樣？

喬愛(ài)絲老師：怎么把16與乘法聯(lián)系呢？

草地組學(xué)生：……（草地組的學(xué)生似乎有點(diǎn)困惑）

喬愛(ài)絲老師：通常一個(gè)醫(yī)院不會(huì)只有16個(gè)嬰兒。（喬愛(ài)絲老師開(kāi)始啟發(fā)學(xué)生）

草地組學(xué)生4：哦，但是……（這個(gè)學(xué)生似乎有所啟發(fā)）

喬愛(ài)絲老師：想想看這個(gè)醫(yī)院有幾個(gè)護(hù)士的監(jiān)護(hù)房？討論一下。

喬愛(ài)絲老師再次來(lái)到平原組，這時(shí)學(xué)生已經(jīng)有了初步的草稿：

平原組學(xué)生1：我們的第一次課間休息是10∶30開(kāi)始的，第二次課間休息是11∶55開(kāi)始的，從第一次課間休息到第二次課間休息的間隔時(shí)間是多少？

喬愛(ài)絲老師：你們是在做乘法么？

平原組學(xué)生2：……（學(xué)生2在思考）

喬愛(ài)絲老師：這是非常好的減法應(yīng)用題，但不是乘法。

喬愛(ài)絲老師：你們需要重新審視自己的問(wèn)題，你們雖然有很好的減法，但沒(méi)有使用乘法的概念。

平原組學(xué)生3：你是想讓我們重新開(kāi)始。

喬愛(ài)絲老師：我不認(rèn)為你們應(yīng)該重新開(kāi)始。讓我們將草稿的題目作些改動(dòng)吧。

平原組學(xué)生：……（平原組的學(xué)生似乎有點(diǎn)困惑）

喬愛(ài)絲老師：你們有幾次課間休息？（啟發(fā)學(xué)生）

平原組學(xué)生：3次。

喬愛(ài)絲老師：那么共有幾分鐘課間休息時(shí)間呢？

平原組學(xué)生1：共有45分鐘課間休息時(shí)間。（顯然他們受到了啟發(fā)）

在喬愛(ài)絲老師的啟發(fā)下，各個(gè)小組都有了基本的思路。他們認(rèn)真討論，喬愛(ài)絲老師不停地在不同的小組里巡回，回答學(xué)生的問(wèn)題，用問(wèn)問(wèn)題的方式指出學(xué)生的不足，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。等到她判定每一個(gè)小組都基本完成他們的任務(wù)時(shí)，她再次走向每一個(gè)小組去檢查他們學(xué)習(xí)的情況。

她走到草地小組檢查他們的進(jìn)展：“你們完成了么？請(qǐng)讀給我聽(tīng)?！辈莸匦〗M全組共同朗讀他們的問(wèn)題：

醫(yī)院里護(hù)士的監(jiān)護(hù)房有16個(gè)小嬰兒，如果這樣的護(hù)士的監(jiān)護(hù)房有10個(gè)，那么，醫(yī)院里總共有多少個(gè)小嬰兒？

喬愛(ài)絲老師看來(lái)對(duì)這個(gè)組的應(yīng)用題還比較滿意，除了幫助他們改正個(gè)別語(yǔ)法錯(cuò)誤外，對(duì)數(shù)學(xué)的語(yǔ)句未作改動(dòng)。

喬愛(ài)絲老師重新走到河流小組去檢查他們的進(jìn)展。在看了學(xué)生的草稿后，喬愛(ài)絲老師指出個(gè)別語(yǔ)法和用詞不當(dāng)，但表?yè)P(yáng)他們的問(wèn)題很有意義，因?yàn)樗麄兊膯?wèn)題不僅包含了乘法，而且還包含了加法。

喬愛(ài)絲老師走到南極小組，此時(shí)這個(gè)組不但寫(xiě)出了應(yīng)用題，而且這個(gè)應(yīng)用題還多了一些故事：

教室里有5個(gè)小旗桿，每個(gè)旗桿有2英尺高。有一個(gè)小旗桿被偷了，那么現(xiàn)在教室里的旗桿總共有多少尺高？

喬愛(ài)絲老師再次走到北極小組檢查一下他們的進(jìn)展。他們的應(yīng)用題是：

教室里有20個(gè)小花盆，這些小花盆由每個(gè)小組的學(xué)生制作。每個(gè)小組有4個(gè)學(xué)生，班里共有幾個(gè)小組？（顯然這是一道除法應(yīng)用題）

喬愛(ài)絲老師：你們其實(shí)在做除法，這沒(méi)有太大的問(wèn)題，因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算。

平原組的應(yīng)用題是：

我們學(xué)校共有3次課間休息的時(shí)間。每次課間休息的時(shí)間是15分鐘，我們一共有多少休息時(shí)間？（見(jiàn)圖2）

這一場(chǎng)計(jì)劃15分鐘的數(shù)學(xué)建構(gòu)實(shí)際進(jìn)行了25分鐘。當(dāng)所有小組都建構(gòu)完畢，喬愛(ài)絲老師依據(jù)輪流的規(guī)則讓平原組的小教授們先上講臺(tái)來(lái)闡述他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，并帶領(lǐng)全班一起來(lái)解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，此時(shí)4名平原組的小學(xué)生成了小數(shù)學(xué)教授，喬愛(ài)絲老師不時(shí)地稱呼他們?yōu)榻淌凇?/p>