張景中

小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡單。

盡管簡單，里面卻蘊(yùn)含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想。

函數(shù)思想最重要

最重要的，首推函數(shù)的思想。

比如說加法，2和3加起來等于5，這個(gè)答案“5”是唯一確定的，寫成數(shù)學(xué)式子就是2+3=5；如果把左端的3變成4，右端的5就變成6，把左端的2變成7，右端的5就變成10。右端的數(shù)被左端的數(shù)所唯一確定。在數(shù)學(xué)里，數(shù)量之間的確定性關(guān)系叫做函數(shù)關(guān)系。加法實(shí)際上是一個(gè)函數(shù)，由兩個(gè)數(shù)確定一個(gè)數(shù)，是個(gè)二元函數(shù)。如果把式子里的第一個(gè)數(shù)“2”固定了，右端的和就被另一個(gè)數(shù)確定，就成了一元函數(shù)。

在中學(xué)里學(xué)習(xí)函數(shù)概念，只講一元函數(shù)，以為多元函數(shù)復(fù)雜，不肯講。其實(shí)，小學(xué)生先熟悉的是多元函數(shù)，因?yàn)閷W(xué)過的大量的數(shù)量關(guān)系是多元函數(shù)的例子。矩形面積等于長乘寬，是二元函數(shù)；梯形面積等于上底加下底的和再乘高除以2，是三元函數(shù)。所以多元函數(shù)的概念更容易理解。講函數(shù)概念，不妨一開始就講多元函數(shù)；具體研究，再從一元函數(shù)開始，這樣比只講一元函數(shù)更容易理解。

當(dāng)然，不用給小學(xué)生講函數(shù)概念。但老師有了函數(shù)思想，在教學(xué)過程中注意滲透變量和函數(shù)的思想，潛移默化，對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的發(fā)展就有好處。

比如學(xué)乘法，九九表總是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起來了。這樣用理解幫助記憶，用加法幫助乘法，實(shí)質(zhì)上包含了變量和函數(shù)的思想：3變成4，對應(yīng)的21就變成了28。這里不是把3和4看成孤立的兩個(gè)數(shù)，而是看成一個(gè)變量先后取到的兩個(gè)值。想法雖然簡單，小學(xué)生往往想不到，要靠老師指點(diǎn)。挖掘九九表里的規(guī)律，把枯燥的死記硬背變成有趣的思考，不僅是教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法，也是在滲透變量和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想。

做除法要試商。80除以13，商是多少？試商5余15，不夠；試商6余2，可以了。這里可以把余數(shù)看成是試商數(shù)的函數(shù)。試商的過程，就是調(diào)整函數(shù)的自變量，使函數(shù)值滿足一定條件的過程。

小學(xué)數(shù)學(xué)里有很多應(yīng)用題，解題的思想方法常常是因題而異。可不可以引導(dǎo)學(xué)生探索一下，用一個(gè)思想來解各種各樣的題目呢？試商的思想，其實(shí)有普遍意義，可以用來求解許多不同類型的問題，包括應(yīng)用問題，只要問題中的條件數(shù)據(jù)和解答之間有確定性的關(guān)系。

例如，修一條長32千米的公路，已經(jīng)修了24千米，已修的路程是剩下的幾倍？我們用類似試商的辦法來試解。如果是1倍，剩下的是24千米，總長48千米，比題設(shè)數(shù)據(jù)大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，總長36千米，仍比題設(shè)數(shù)據(jù)大；3倍呢，剩下8千米，總長32千米，正好符合要求。

我想很多老師不會(huì)這樣引導(dǎo)學(xué)生思考，認(rèn)為這是個(gè)笨辦法。其實(shí)，這個(gè)辦法具有一般性，把試解的倍數(shù)看成自變量，把根據(jù)試解算出的總長看成試解倍數(shù)的函數(shù)，找尋使函數(shù)值符合題目要求的自變量，這個(gè)思路能解決很多問題，是“大智若愚”。

這樣思考試算，最終也會(huì)發(fā)現(xiàn)具體的規(guī)律，列出通常的算式。

找尋使函數(shù)值符合一定要求的自變量，也就是解方程。方程本質(zhì)上是函數(shù)的逆運(yùn)算。加法看成函數(shù)，減法是解對應(yīng)的方程；乘法看成函數(shù)，除法就是解對應(yīng)的方程。

函數(shù)思想和方程的方法，是一個(gè)事物的兩面，都是大智慧，貫穿數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。

“數(shù)形結(jié)合”在小學(xué)是可能的

數(shù)學(xué)要研究的東西，基本上是數(shù)量關(guān)系和空間形式。當(dāng)然，發(fā)展到今天，還要研究類似于數(shù)量關(guān)系的關(guān)系以及類似于空間形式的形式，甚至于一般關(guān)系的形式和一般形式的關(guān)系，等等?，F(xiàn)在的課程標(biāo)準(zhǔn)把中小學(xué)數(shù)學(xué)分成了數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率等幾個(gè)模塊。如何讓這幾塊內(nèi)容相互滲透、相互聯(lián)系，是值得研究的問題。

提到數(shù)形結(jié)合，往往覺得是解析幾何的事情。其實(shí)，數(shù)和形的聯(lián)系，幾乎處處都有。

在數(shù)學(xué)當(dāng)中，幾何具有非常重要的地位。幾乎所有重要的數(shù)學(xué)概念，最初都是從幾何中來的。所以有人說，幾何是數(shù)學(xué)思想的搖籃。幾何不僅是直觀的圖形，而且還需要推理，推理就要使用語言，所以幾何的語言很重要。我們在教學(xué)或者編寫教材的時(shí)候，往往是學(xué)數(shù)的時(shí)候就講數(shù)，到了學(xué)幾何的時(shí)候就講幾何，缺少把兩者聯(lián)系起來的意識(shí)。

例如，有一套教材開始就讓學(xué)生玩積木，也就是認(rèn)識(shí)立體圖形。立體圖形比平面圖形更貼近生活，比數(shù)更貼近生活，是更基本的東西，這是教材的優(yōu)點(diǎn)。但是，如果在玩積木時(shí)不僅讓學(xué)生注意一塊積木是方的、圓的、尖的，還讓他們數(shù)一數(shù)某塊積木有幾個(gè)尖（頂點(diǎn)）、幾個(gè)棱、幾個(gè)面，就在學(xué)生頭腦中播下形與數(shù)有聯(lián)系的種子。

在認(rèn)識(shí)數(shù)的時(shí)候，要舉很多的例子，如一個(gè)蘋果、一只小白兔等。我就想，在舉例的時(shí)候能不能照顧到幾何？比如學(xué)生在學(xué)習(xí)“1”的時(shí)候，就要學(xué)生用“1”來造句，書上可不可以有一些關(guān)于幾何的句子？如“1個(gè)圓有1個(gè)圓心”、“1條線段有1個(gè)中點(diǎn)”、“1個(gè)正方形有1個(gè)中心”等。有的老師會(huì)說，這樣不行，學(xué)生不能理解。我想，可以畫圖幫助學(xué)生理解，學(xué)生雖然不知道這些概念準(zhǔn)確的含義，但看看圖就有一個(gè)直觀的、初始的印象。孩子學(xué)語言一開始不是通過理解，而是通過模仿開始的，如果在學(xué)數(shù)的時(shí)候，能舉一些幾何上的例子，這對他將來學(xué)習(xí)幾何肯定會(huì)有幫助。同樣，在學(xué)習(xí)“2”的時(shí)候，我們可以教學(xué)生說：“一條線段有兩個(gè)端點(diǎn)。”不需要讓學(xué)生知道什么是線段，只要畫一條線段，指出兩頭是端點(diǎn)。到后來學(xué)幾何知識(shí)時(shí)，回頭一想，他會(huì)非常親切，因?yàn)樗缫呀?jīng)會(huì)說了。在學(xué)“3”的時(shí)候，可以畫一個(gè)三角形，讓學(xué)生說“三角形有3條邊、3個(gè)頂點(diǎn)”；學(xué)“4”的時(shí)候，可以畫一個(gè)正方形，讓學(xué)生說“正方形有4條邊、4個(gè)頂點(diǎn)”；學(xué)“5”的時(shí)候，可以畫個(gè)五角星；認(rèn)識(shí)“10”的時(shí)候，除了10個(gè)指頭，不妨畫一個(gè)完全五邊形讓學(xué)生數(shù)一數(shù)有幾條線段（圖1）；學(xué)到100以內(nèi)的數(shù)，就可以告訴學(xué)生正方形的角是90度，等等。小孩子記憶力好，早點(diǎn)記一些東西，以后再慢慢理解。

在中國古代的私塾里，學(xué)生入學(xué)后往往先讓他們背幾個(gè)月，甚至一年，然后才開講。當(dāng)然這種教育方式不能作為模式，但是也并非沒有可取之處。學(xué)生已經(jīng)會(huì)背了，再講的時(shí)候，他印象就非常深刻了。我們講建構(gòu)主義，先要有信息進(jìn)去才能建構(gòu)，一個(gè)人閉目塞聽，不和外界接觸，是很難建構(gòu)出東西來的。

總之，幾何語言的早期滲透可不可能，值得研究。

形與數(shù)的結(jié)合，還提供了更多的數(shù)學(xué)之美的欣賞機(jī)會(huì)。關(guān)于數(shù)學(xué)的美，美國數(shù)學(xué)教育家克萊因有過這樣的描述：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！痹鯓硬拍茏寣W(xué)生逐步體會(huì)到數(shù)學(xué)的美呢？在小學(xué)階段，可以先從幾何圖形上感知數(shù)學(xué)之美。現(xiàn)代信息技術(shù)提供了前所未有的可能。舉個(gè)例子，這里有一些美麗的圖案（圖2）：

你能想到，這些圖案竟是同一種曲線的不同形態(tài)嗎？

這條曲線其實(shí)很簡單，如圖3，用“超級(jí)畫板”※軟件畫一個(gè)圓，圓上取3點(diǎn)A、B、C，在弦AB上取點(diǎn)G，再在線段CG上取點(diǎn)H，利用軟件的軌跡作圖功能，作出3點(diǎn)A、B、C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)H的軌跡，并把3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的比值分別設(shè)置為k、m、n的整數(shù)部分，做出這3個(gè)參數(shù)的變量尺。只要調(diào)整3個(gè)參數(shù)和點(diǎn)G、H的位置，就能創(chuàng)造出成百上千種不同的圖案。這樣幾分鐘就能做出來的課件，讓孩子們玩上幾個(gè)星期都不會(huì)失去興趣。在潛移默化之中，數(shù)學(xué)之美會(huì)滲入幼小的心靈。

一位教師讓她9歲半的孩子玩這類超級(jí)畫板課件，孩子很快被超級(jí)畫板所吸引。玩到第3天，就不想上網(wǎng)打游戲了。不到一個(gè)星期，就對超級(jí)畫板上了癮，很快學(xué)會(huì)了從屏幕上截取圖片，把自己的作品保存起來。圖4就是這個(gè)三年級(jí)學(xué)生的作品。他還根據(jù)自己的想象力給每個(gè)圖案起了名字。

數(shù)形結(jié)合的思想，不僅是上面這些簡單的例子，下面還會(huì)談到。

寓理于算的思想容易被忽視

小學(xué)里主要學(xué)計(jì)算，不講推理。但是，計(jì)算和推理是相通的。

中國古代數(shù)學(xué)主要是找尋解決各類問題的計(jì)算方法，不像古希臘講究推理論證。但是，計(jì)算要有方法，這方法里就體現(xiàn)了推理，即寓理于算的思想。

數(shù)學(xué)活動(dòng)中的畫圖和推理，歸根結(jié)底都是計(jì)算。推理是抽象的計(jì)算，計(jì)算是具體的推理，圖形是推理和計(jì)算直觀的模型。我們可以舉些例子，讓學(xué)生慢慢體會(huì)到所謂推理，本來是計(jì)算；到了熟能生巧的程度，計(jì)算過程可以省略了，還可以得到同樣的結(jié)果，就成了推理了。有的人認(rèn)為幾何推理很難，學(xué)幾何一定要先學(xué)實(shí)驗(yàn)幾何。其實(shí)，實(shí)驗(yàn)和推理不一定要截然分開。早期學(xué)實(shí)驗(yàn)幾何階段可以推理，后期學(xué)會(huì)推理時(shí)也需要實(shí)驗(yàn)。所謂實(shí)驗(yàn)，無非是觀察和計(jì)算。“對頂角相等”這樣簡單的幾何命題，實(shí)際上就是通過一個(gè)算式證出來的，這里的推理證明就是計(jì)算。

要把計(jì)算提升為推理，就要用一般的文字代替特殊的數(shù)字，再用字母代替文字。不要怕讓學(xué)生早點(diǎn)接觸字母運(yùn)算。講到“長方形的面積=長×寬”的時(shí)候，不妨告訴學(xué)生，這個(gè)公式可以用字母表示成M=C×K。這里用了面積、長、寬的漢語拼音，學(xué)生很容易理解。再說明用別的字母也可以。

為什么說這樣能把計(jì)算提升為推理呢？看一個(gè)簡單的例子。設(shè)一個(gè)三角形a邊上的高為h，而b邊上的高為g，根據(jù)三角形面積公式，就知道a×h=b×g；如果a=b，則h=g。這就推出了一條規(guī)律：如果三角形的兩條邊相等，則此兩邊上的高也相等。也就是證明了一條定理。這種證明方法比利用全等三角形簡單明了。

小學(xué)生學(xué)的是很初等的數(shù)學(xué)，但編教材和教學(xué)研究要有高觀點(diǎn)。英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞說過，“數(shù)學(xué)的目的，就是用簡單而基本的詞匯去盡可能地多解釋世界”，“如果我們積累起來的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一”，“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代，連孩子們都容易理解”。這幾句話，我覺得非常親切，因?yàn)槎嗄陙砦乙恢痹谙肽懿荒馨褦?shù)學(xué)變簡單一點(diǎn)，把難的變成容易的，把高等的變成初等的。我想，高等的與初等的數(shù)學(xué)之間，沒有必然的鴻溝，主要看人們?nèi)绾卫斫狻０炎兞颗c函數(shù)的思想、形數(shù)結(jié)合的思想和寓理于算的思想結(jié)合起來，往往能夠化難為易，化繁為簡。

人們以前認(rèn)為三角函數(shù)是非常難學(xué)的，是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。它既不是加減乘除，又不是開方，它是超越函數(shù)。在數(shù)學(xué)史上，函數(shù)這個(gè)詞是和三角緊密聯(lián)系在一起的。一次函數(shù)、二次函數(shù)都是算術(shù)運(yùn)算的結(jié)果，就算沒有函數(shù)的概念，學(xué)生也是比較容易理解的。三角函數(shù)則不然，一定要有“對應(yīng)”的概念，函數(shù)的概念才說得清楚。有關(guān)三角的推導(dǎo)也是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。1974年，我在新疆教過中學(xué)，那時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)三角比較困難，就開始研究如何把三角變?nèi)菀?。在我寫的一本書里（《平面三角解題新思路》，1997，中國少年兒童出版社）講了這方面的具體想法。最近發(fā)現(xiàn)，三角不但可以變得很初等、很容易，而且可以成為初中數(shù)學(xué)的一條主線，把幾何和代數(shù)聯(lián)系在一起。我把這種思想寫成一篇文章（《下放三角全局皆活》，《數(shù)學(xué)通報(bào)》，2007年1-2期）。張奠宙先生說，按我的這種思路，三角里的正弦函數(shù)，可以在小學(xué)里引進(jìn)。如何引進(jìn)呢？他把我提出的正弦函數(shù)的新的定義方法，作了生動(dòng)、通俗而精彩的表述。下面這段文字引自他的文章：

矩形用單位正方形去度量，結(jié)果得出長乘寬的面積公式。那么平行四邊形的面積怎么求？自然是用單位菱形，同樣可以得出平行四邊形的面積是“兩邊長的乘積，再乘上單位菱形面積的因子”，原理完全相同。一個(gè)明顯的事實(shí)是：單位正方形壓扁了，成為單位菱形，兩者的區(qū)別在于角A。A是直角，面積為1，A不是直角，面積就要打折扣。這個(gè)折扣是一個(gè)小數(shù)，和A有關(guān)，記作sinA（圖5）。

張奠宙先生還說：“如果能從小學(xué)就學(xué)sinA，當(dāng)然是一次解放?！?/p>

我們看到，數(shù)學(xué)可以有不同的講法?？辞辶藛栴}的實(shí)質(zhì)，就能把難的變成容易的，把高等的變成初等的。就能把“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題”，變得“孩子們都容易理解”。

不考慮矩形面積公式，不用單位菱形，也能在小學(xué)里講正弦。怎么講？先問，一個(gè)等腰直角三角形，如果腰長為1，面積是多少呢？學(xué)生容易回答，是0.5。進(jìn)一步探索，如果這個(gè)等腰三角形的頂角不是90度，比如是60度，它的面積是多少呢？學(xué)生從圖上會(huì)看到，90度變成60度，面積會(huì)變小，要打個(gè)折扣。多大的折扣呢？這可以從紙上測量出來一個(gè)近似值。老師進(jìn)一步告訴大家，這個(gè)折扣的更精確的數(shù)值，可以在計(jì)算器或計(jì)算機(jī)上查出來，它叫做sin（60°），約等于0.8667，這就引進(jìn)了正弦函數(shù)。知道了正弦函數(shù)，就能解決許多實(shí)際的幾何問題。如果問，這個(gè)0.8667怎么得來的，就引出進(jìn)一步的數(shù)學(xué)方法。這樣不僅教給學(xué)生知識(shí)，更重要的是教他如何提問題、如何思考、如何獲取新的知識(shí)。

這里，既有數(shù)形結(jié)合，又有寓理于算，還貫穿著變量和函數(shù)的思想。有些老師不是說缺少好的探索問題嗎？這就是非常有意義的探索問題，它給學(xué)生留下很大的思考空間，會(huì)使學(xué)生長遠(yuǎn)獲益。

陳省身先生說過，數(shù)學(xué)可以分為好的數(shù)學(xué)與不好的數(shù)學(xué)。好的數(shù)學(xué)指的是能發(fā)展的、能越來越深入、能被廣泛應(yīng)用、互相聯(lián)系的數(shù)學(xué)；不好的數(shù)學(xué)是一些比較孤立的內(nèi)容。他舉例說，方程就是好的數(shù)學(xué)。

函數(shù)的思想、形數(shù)結(jié)合的思想、寓理于算的思想，都屬于好的數(shù)學(xué)。這些思想是可以早期滲透的。早期滲透是引而不發(fā)，是通過具體問題來體現(xiàn)這些思想。比如引進(jìn)了sinA，用這個(gè)概念解決幾個(gè)看來很困難的問題（參看前引文章和書），學(xué)生會(huì)驚奇，為何能如此簡捷地解決問題？學(xué)下去，過三年五年，他就體會(huì)到，是數(shù)學(xué)思想的力量。

注釋：※該軟件可以從網(wǎng)站http：www.maths-edu.net

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