本期話題：你會(huì)讀你自己的課堂嗎？（續(xù) ）

留心讀自己的課堂，這是一種重要的反思意識(shí)?？此破接沟娜粘Ｕn堂將因此變成富礦。

然而怎樣才能挖出金子，這始終是一個(gè)問題。

從閱讀學(xué)生開始，是一個(gè)關(guān)鍵而現(xiàn)實(shí)的起點(diǎn)。教育心理學(xué)為我們描畫的是共性、抽象的“兒童”、“少年”，而真正個(gè)性、具體的學(xué)生仍然需要靠我們自己來理解。課堂就提供了這樣生動(dòng)的例子。王長(zhǎng)沛老師從一個(gè)片段中讀出了有趣的思維成長(zhǎng)過程，也讀出了數(shù)學(xué)重要概念的教學(xué)內(nèi)涵。

在復(fù)雜的課堂事件中捋出條理，還有賴于必要的理論視角。這是提升實(shí)踐意義的專業(yè)基礎(chǔ)。王永老師嘗試從“數(shù)學(xué)化”理論的角度對(duì)一堂課上學(xué)生不斷出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，獲得教師應(yīng)該具有的數(shù)學(xué)教育哲學(xué)。

從實(shí)踐中生長(zhǎng)理論，從理論中汲取撥開復(fù)雜現(xiàn)實(shí)面紗的力量，這是教師閱讀課堂這本大書的兩條路徑，也是教師專業(yè)成長(zhǎng)的必經(jīng)通道。

讓我們一起穿過雷同的教育程式，來翻讀背后的這部書吧！

《a能表示什么》※這堂課有許多有趣的情節(jié)，關(guān)于“擺a個(gè)正方形需要多少根火柴棍”所引起的探索與討論便是其中之一。對(duì)它的分析有助于了解：（1）學(xué)生建立對(duì)字母的理解要經(jīng)歷一個(gè)什么樣的過程？（2）許老師所設(shè)置的教學(xué)活動(dòng)是怎樣影響學(xué)生的？讓我們來回顧發(fā)生在這堂課上的一段故事吧！

在許老師提出這個(gè)問題后，學(xué)生楊繼川給出了一個(gè)頗為復(fù)雜的表達(dá)式：4a-（a-1），所用的方法是將a與具體算式4×150-149中的“150”、“149”進(jìn)行對(duì)照、替換。而下面的回答同樣引人注意：

（針對(duì)許老師的問題“擺a個(gè)正方形需要多少根火柴？”）

李巖龍：xa+1。a表示正方形的個(gè)數(shù)，x表示搭正方形所需的根數(shù)。

王佳姍：4a-x。

王偉亮針對(duì)李巖龍所給出的表達(dá)式做了這樣的評(píng)論：

王偉亮：我不同意李巖龍的方法，我認(rèn)為是3a+1。從前面可以知道，把第一個(gè)正方形去掉一根火柴棒，擺一個(gè)正方形用了3根，所以是3a+1。

這以后，另一個(gè)學(xué)生的解釋也同樣令人思考：

張歡：我認(rèn)為他們說的不對(duì)，x是未知數(shù)，它沒有固定性，它是多少都可以。

這些對(duì)話傳達(dá)了哪些信息？對(duì)學(xué)生的這些認(rèn)識(shí)活動(dòng)，我們?nèi)绾谓忉專窟@些認(rèn)識(shí)活動(dòng)對(duì)學(xué)生有什么價(jià)值？

有些數(shù)學(xué)教師對(duì)上面的現(xiàn)象不以為然，甚至把它看作是這堂課不成功的證據(jù)。他們建議：通過教學(xué)過程的周密設(shè)計(jì)與控制，許老師課上學(xué)生的那些“誤解”是完全可以避免的。教師的講授應(yīng)當(dāng)預(yù)先就把“漏洞堵住”，避免產(chǎn)生上面的錯(cuò)誤。他們（包括一些小學(xué)教師）把字母表示數(shù)看作是一個(gè)“非常簡(jiǎn)單的知識(shí)”，告訴學(xué)生就行了。

但是從另一個(gè)角度看，許老師與學(xué)生們的這些對(duì)話卻很有意義。它們?cè)谝欢ǔ潭壬戏从沉瞬糠謱W(xué)生（10～15歲）建立概念的過程（或典型的認(rèn)識(shí)方式），也反映了他們?cè)跀?shù)學(xué)抽象思維上所達(dá)到的水平。

對(duì)楊繼川而言，他知道“字母表示數(shù)”，但似乎還不能把握a的意義，不能把字母本身看作是獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象。因此，他要借助某個(gè)具體的算式，依賴某種“抓手”，通過“一個(gè)一個(gè)”地用a取代數(shù)150才能寫出算式。而持這種認(rèn)識(shí)的學(xué)生不在少數(shù)。

李巖龍?jiān)趪L試用a表示正方形個(gè)數(shù)的同時(shí)，卻不能把字母與所表示的對(duì)象的具體意義相匹配，于是就“順便”用x來取代3（在擺第一根后，每擺一個(gè)正方形只需3根）。

張歡雖然認(rèn)識(shí)到x可以取不同數(shù)值，卻認(rèn)為它不能取某個(gè)特定的數(shù)值。

王偉亮的表達(dá)與解釋都是很清晰的。從這堂課以及以后的測(cè)試看，他能把字母a看作“能取許多數(shù)值的”獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象。

由此可見，學(xué)生可能會(huì)在不同水平上，以不完全相同的方式理解這個(gè)概念。他們形成對(duì)符號(hào)（這里是字母）的認(rèn)識(shí)是和形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象（即字母表示的意義）的過程緊密聯(lián)系在一起的。注意，這里指的是“一般的數(shù)”，而不是某個(gè)具體的數(shù)！他們往往“顧此失彼”。

特別有趣的是楊繼川，他不僅給出了正確的表達(dá)式4a-（a-1），還做了清晰的說明。但沒過幾分鐘，他又突發(fā)奇想，給出這樣的表達(dá)式：（擺a個(gè)正方形需要）4+aa（根火柴棒）。這令全班同學(xué)大跌眼鏡！反復(fù)查看楊繼川在課堂上的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，可能的一種解釋是：他對(duì)“字母表示數(shù)”并未形成穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)。僅僅停留在把字母看作是“表示某個(gè)具體的數(shù)”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，雖然這種“理解”也能成功地解決某類問題，但由于不能把握a的意義，不能把字母本身看作是獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象，這些學(xué)生只好在形式上用a取代具體數(shù)（如150）。楊繼川所做的不正是“無意義的符號(hào)游戲”嗎？由于忽略了算式本身的意義，自然也就難免顧此失彼?？梢?，只停留在把字母看作是“某個(gè)具體的數(shù)”的水平，還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的！

這段認(rèn)識(shí)活動(dòng)的啟示是：要學(xué)生把字母a理解為一種獨(dú)立的、表示數(shù)的變量，遠(yuǎn)非我們想象的那樣簡(jiǎn)單?！白帜副硎緮?shù)”是一個(gè)非常豐富而又“難產(chǎn)”的概念。這是一個(gè)由具體到抽象的過程，也是把“一般的數(shù)”看作是數(shù)學(xué)對(duì)象的過程。這是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。

數(shù)學(xué)思想史也支持上面的看法。數(shù)學(xué)家丟蕃圖（公元四世紀(jì)）被認(rèn)為是使用代數(shù)符號(hào)的第一人，但他只是在“速記縮寫”的水平（如代表未知數(shù)）使用字母。由這個(gè)水平發(fā)展到用字母表示一般的數(shù)，人類整整用了1200年。這是多么漫長(zhǎng)的過程啊！創(chuàng)造認(rèn)識(shí)對(duì)象，也包括創(chuàng)造這個(gè)對(duì)象的數(shù)學(xué)表示——符號(hào)。這兩者是并行發(fā)生與發(fā)展的。后來，字母不僅用來表示數(shù)、表示變數(shù)，還用來表示抽象的變?cè)７?hào)的形成，常常會(huì)經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的演變過程。

建立對(duì)字母表示數(shù)的理解，不僅具有關(guān)乎數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全局的重要性，還是一個(gè)復(fù)雜而漫長(zhǎng)的過程。如果說個(gè)體的成長(zhǎng)往往會(huì)以某種形式重復(fù)人類發(fā)展的歷程，那么兒童對(duì)字母表示數(shù)的理解或多或少也要經(jīng)歷類似的跌跌撞撞的發(fā)展過程，才能在比較抽象的水平形成新的數(shù)學(xué)對(duì)象“一般的數(shù)”與它的符號(hào)表示！我們不妨把“字母表示數(shù)”看作是一種“戰(zhàn)略性”的概念。這是相對(duì)于“戰(zhàn)術(shù)性”的概念（例如那些可以借助概念的上下位結(jié)構(gòu)而確定的概念）而言的。正因?yàn)槿绱?，《?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》提出“符號(hào)感”這個(gè)術(shù)語，并把發(fā)展“符號(hào)感”作為貫穿于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。

在這節(jié)課中，許老師采用擺火柴棒的活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與表示一般規(guī)律的需要。然后由表示一般規(guī)律而產(chǎn)生用字母表達(dá)的需要，再讓學(xué)生用字母a表示正方形個(gè)數(shù)，嘗試構(gòu)造所需火柴棒個(gè)數(shù)的一般表達(dá)式。在教學(xué)活動(dòng)中，許老師鼓勵(lì)學(xué)生說出自己的做法與認(rèn)識(shí)。正是在學(xué)生與教師“討價(jià)還價(jià)”的交流中，折射出人類逐步“發(fā)明”用字母表示數(shù)所經(jīng)歷的某些過程，也折射出學(xué)生建立概念的艱難旅程，而這些恰恰是最有價(jià)值的活動(dòng)。

當(dāng)然，直接“告訴”學(xué)生并安排恰當(dāng)?shù)木毩?xí)，以幫助他們獲得關(guān)于“字母表示數(shù)”的初步認(rèn)識(shí)，這也是一種選擇。但要知道，“字母表示數(shù)”的教學(xué)，遠(yuǎn)不是“了解事實(shí)”就夠了。對(duì)類似這樣的概念，教師講得再清楚，甚至處處“設(shè)防”，也未見得能阻止學(xué)生按自己的方式理解概念。學(xué)生沒有機(jī)會(huì)發(fā)表自己的看法，不等于那些“模糊認(rèn)識(shí)”就不存在。理解上的“似是而非”，“時(shí)而清楚、時(shí)而模糊”，這是建構(gòu)數(shù)學(xué)理解的必由之路。他們正在經(jīng)歷的是最重要、最美妙的數(shù)學(xué)化過程。隨著代數(shù)知識(shí)的繼續(xù)學(xué)習(xí)，依靠經(jīng)驗(yàn)的積累與頓悟，大多數(shù)學(xué)生會(huì)逐步形成關(guān)于“字母表示數(shù)”的深刻理解。也會(huì)有部分學(xué)生對(duì)字母的理解仍然停留在較低水平。教師對(duì)此應(yīng)有清醒的認(rèn)識(shí)。

在數(shù)學(xué)課程中，“戰(zhàn)略性”概念還有很多，例如分?jǐn)?shù)、比與比例、平均數(shù)與函數(shù)等。對(duì)某些學(xué)生來講，這些往往是難于理解的“概念”，涉及新的、更高抽象層次的數(shù)學(xué)對(duì)象的建立，還常涉及到某種新的思想方法的掌握，需要克服某些認(rèn)識(shí)上的障礙。我國(guó)數(shù)學(xué)教育家劉景昆在總結(jié)畢生的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)時(shí)，說過這樣一句話：凡是難學(xué)的概念，往往是學(xué)生自己悟出來的，而不是我教會(huì)的！這的確是真知灼見！我想劉先生指的正是這些概念吧！但是，教師的指導(dǎo)卻十分重要?！拔颉笨偸墙⒃诮?jīng)驗(yàn)的積累基礎(chǔ)之上的。而“積累”是由教師幫助建立的。

從許老師的課以及關(guān)于這節(jié)課的討論中，筆者得到的一個(gè)啟示是：對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行觀察與分析，首先要對(duì)它所涉及到的數(shù)學(xué)本身進(jìn)行考察，因?yàn)檫@種考察決定著教學(xué)策略的選擇。