摘" 要：不等關系是一種事物間的數(shù)量關系，在現(xiàn)實世界中極其重要. 在發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)理念的指導下，不等關系的學習發(fā)生了重要變化. 通過理論剖析，得到形成不等關系的整體認知的一般流程，其實質是RMI原則的應用. 借助實證研究，在所給的整體認知流程的基礎上，可以揭示出不等關系學習、核心素養(yǎng)發(fā)展及數(shù)學心理過程的有機聯(lián)系，結合認知過程可以從正向、負向反饋兩個方面表達不等關系解題的影響過程，最終形成不等關系的認知轉化機制.

關鍵詞：核心素養(yǎng)；不等關系；認知轉化機制；RMI原則

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）02-0014-05

引用格式：傅海倫，陳傳林. 基于RMI原則的不等關系認知轉化機制及實證分析［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2025（2）：14-18.

一、提出問題

不等關系是現(xiàn)實世界中事物數(shù)量關系的一種，與相等關系相對應，在現(xiàn)實世界中有著極其重要的地位. 在數(shù)學中，不等式是不等關系的形式化表達，由代數(shù)式和不等號有機組合而成，體現(xiàn)出量的不對等關系. 學生對于不等關系的感知與生活經(jīng)驗相關，通常是源于個人在生活中對物體的量的直觀感受. 當生活情境中的數(shù)量元素及其相互矛盾被抽象出來，數(shù)學便成為該情境區(qū)別于其他情境的重要特征，在這一過程中，解題環(huán)境從生活走向數(shù)學. 而從數(shù)學內部得到的問題的解，需要回歸生活情境，才可以體現(xiàn)其本質. 由生活問題轉化為數(shù)學問題，再回歸到生活問題，這正是徐利治教授提出的RMI（關系—映射—反演）原則的應用.

解題思維固然重要，但發(fā)現(xiàn)問題尋求思路方法更關鍵. 中學階段的不等關系要更多地與不等式和代數(shù)思想緊密結合，教師要更好地運用認知轉化策略，從代數(shù)角度幫助學生理解不等關系. 那么，在發(fā)展核心素養(yǎng)的教育背景下，不等關系的認知轉化應該遵循何種機制？各個構成要素如何對學習產生影響呢？本研究將結合RMI原則的一般原理，依據(jù)代數(shù)學習的一般特點，建構合理的不等關系認知轉化機制，進而幫助教師更好地進行不等關系的教學.

二、理論分析

1. RMI原則

RMI原則最初由我國數(shù)學家徐利治教授提出，其全稱為關系（Relationship）映射（Mapping）反演（Inversion）原則，旨在通過選擇合適的映射，將未知的目標問題（原像系統(tǒng)R）與已知的數(shù)學問題（映像系統(tǒng)R*）建立一一映射M，借助對映像系統(tǒng)的求解x*，再反演得到原像系統(tǒng)的解x，具體過程如圖1所示.

RMI原則是一種高層次的數(shù)學方法，是分析處理數(shù)學問題的一種普遍方法，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)、解題、論證和應用中有著多方面的作用，體現(xiàn)出數(shù)學知識和思想方法的整體性和一致性. 通常情況下，直接求解原像系統(tǒng)中的問題有著一定的難度，將其轉化為映像系統(tǒng)后，與解題相關的內容被凸顯出來. 在數(shù)學問題中，情境主要包括三個方面：現(xiàn)實情境、科學情境和數(shù)學情境. 現(xiàn)實情境和科學情境，與科學技術進步和社會生活、生產息息相關，其中的數(shù)量關系是需要研究的范疇；數(shù)學情境是從生活中抽象出來的，以數(shù)學中的定義、法則、關系、規(guī)律等作為構成要素. 基于RMI原則的觀點，若要解決生活情境中的問題，就需要抽象出數(shù)量關系，用數(shù)學的方法求解，進而回歸現(xiàn)實生活，作出合理化的解釋.

2. 不等關系的認知轉化機制

不等關系是初中數(shù)學不等式內容的基礎部分，該內容的學習既要從數(shù)學核心素養(yǎng)的高度來理解，又要適應學生的學習特點、學習過程和思維規(guī)律，促進其在抽象能力、運算能力、推理能力、模型觀念等方面的發(fā)展. 不等關系是在生活實踐的基礎上經(jīng)過數(shù)學自身抽象而來的，對不等關系的整體感知離不開生活實踐與數(shù)學本身. 不等關系通常在義務教育的第一學段被引入數(shù)學課堂，具有鮮明的生活化和情境性. 教師應該多列舉常見的生活實例，借助“多少”“輕重”“大小”“薄厚”“高矮”等形象化詞匯，幫助學生切實感悟具體的不等關系，通過量感的發(fā)展促進學生對數(shù)量關系的本質理解. 蘊含不等關系的生活情境，在對象上體現(xiàn)出性質的不一致，在直觀上體現(xiàn)出量的不對等，即該情境中存在的差異性可以用數(shù)學符號刻畫.

從生活情境中抽象出主要的數(shù)量關系，并用合適的數(shù)學符號加以表示，將生活經(jīng)驗轉化為數(shù)學知識，這是形成不等關系整體認知的第一步，與RMI原則中的“建立關系R?x，建立映射R?R*”相對應. 這一工作需要經(jīng)歷解題環(huán)境從生活情境到數(shù)學情境的轉變，受問題組織形式的影響，其能否有效完成是能否順利解決問題的重要保障. 例如，同樣周長的圓與正方形在面積上的不等關系，在生活中表現(xiàn)為平面圖形的二維廣度不一致，有限的語言詞匯難以精確刻畫這種不等關系，而且缺少說服力，而若用同一標準去丈量這兩個圖形的面積，借用人們熟知的有序性數(shù)學工具——實數(shù)，則完全可以實現(xiàn)不等關系的精準刻畫，即在生活情境中將對象的數(shù)量特征與實數(shù)序列中特定的數(shù)對之間建立一一映射，將原數(shù)量特征的不等關系映射為實數(shù)間的大小關系.

不等關系從生活進入學生的認知，是有著一系列數(shù)學思維參與的. 這樣的數(shù)學認知活動就是數(shù)學思維活動. 當數(shù)量特征被抽離出生活情境時，不等關系便可以作為形式化的研究對象——不等式，得到數(shù)學本質上的內部處理. 在這一過程中，代數(shù)的核心思想占據(jù)主導地位，即“數(shù)字實質上是具有運算性的符號，數(shù)字的使用是為了促進數(shù)學的規(guī)范化表達”. 數(shù)學符號原本是無意義的，由于受到情境的影響，原有的運算法則和不等號便得到推廣，以使得意義化的符號能夠滿足解題的需求. 實數(shù)的大小關系是被客觀確定的，任何兩個數(shù)字的大小關系具有確定性，而代數(shù)式之間的大小關系往往有著不確定性，需要依據(jù)情境的意義來確定. 在不同情境中，即使是形式完全相同的代數(shù)式，也可以用不同的不等號來連接，體現(xiàn)出數(shù)學符號的靈活性與普適性.

若要建立關系R*?x*，則要有不等關系運算法則的支持，形式上表示為不等式的基本性質. 多數(shù)情況下，具體數(shù)對的大小關系是明確的，而且賦予運算后得到的每一對新數(shù)對也有明確的大小關系. 若忽略不同情境中所用數(shù)字的差異性，而關注“數(shù)量特征可以用符號來表示”這一本質特性，便可以將多個相似而分散的具體問題統(tǒng)整為以相似特征為標準的一般問題，這是形成不等關系整體認知的第二步——不等關系的符號表達和意義化.

經(jīng)由上述兩步，問題基本得以解決，而由于解題逐漸遠離原本的生活情境，在完全數(shù)學化的情境中展開，因此最后必須要從數(shù)學情境再回歸到生活情境，形成對源于生活的不等關系的整體認知，這本質上是RMI原則的應用，如圖2所示.

三、研究方法

基于RMI原則的不等關系的整體認知，通過實證研究，分析不等關系的認知機制的影響因素，總結出不等關系學習、核心素養(yǎng)發(fā)展及數(shù)學心理過程的有機聯(lián)系，可以進一步分析學生解題策略及思維的變化，從而為改進不等關系的教學提供新的思路和方法.

1. 研究對象

本研究選取山東省棗莊市某初中八年級的兩個班級作為被試，共90名學生，其中A1班有44人，A2班有46人，且兩個班的學習方式相似.

2. 研究工具

本研究在學生學習了不等關系相關內容的基礎上，依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的要求，結合RMI原則的理論框架（如圖1），設計了由5道題構成的測試卷，命名為“不等關系測試題”，如表1所示. 其中，題目1和題目5均是融合了不等關系知識的生活問題，題目2、題目3和題目4均為應用不等關系來解決的數(shù)學問題. 每道題目具有良好的區(qū)分度和適應性，能夠體現(xiàn)學生解題策略及思維的變化.

3. 數(shù)據(jù)分析與處理

在收集測試卷后，對被試的每道題目采用加分制賦分，借助Excel及SPSS23.0等統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)處理，從整體水平、內容結構、影響因素、組間差異四個方面分析不等關系的認知機制的影響因素，計算平均分、標準差、方差和相關性等統(tǒng)計量，以及各題的相對得分和達標率等特征，方法包括方差分析、顯著性檢驗等.

四、研究結果

1. 整體水平

由于兩個班的授課教師相同，學生的數(shù)學基礎大致相當，將兩個班學生的測試成績進行差異性檢驗，得到顯著性值p = 0.325 gt; 0.05，則表明接受原假設，即可以認定兩個班學生的測試成績并不具有顯著性差異，從整體上來看兩者的學業(yè)水平大致相當.

2. 內容結構

題目在問題組織形式上的指向性較為明確，盡量避免試題自身對學生解題產生干擾. 表2為每道題目的平均分和相對得分（相對得分 =[題目平均分題目總分值]），以及每道測試題的達標率（以“得分 ≥ 平均分”為判斷標準，達標率 =[達標人數(shù)總人數(shù)×100%]），相對得分∈[0，1]，達標率∈[0，100%].

大部分學生都能按照要求合理解答題目1，且題目1的平均分與總分相差不大，而少數(shù)學生能夠對題目5給出思考，且平均分遠低于總分. 相對得分越大，平均分越接近總分；達標率越大，則符合答題標準的人數(shù)越多，越接近總人數(shù). 因此，“相對得分 + 達標率”是衡量題目難易程度的重要指標. 規(guī)定：A = 相對得分 + 達標率，則A值的結果與題目的難易程度呈負相關. 將各題目的A值按從大到小的順序排列，依次是：題目1 gt; 題目3 gt; 題目2 gt; 題目4 gt; 題目5.

從解題環(huán)境的復雜程度來看，可以將題目分為單一環(huán)境和綜合環(huán)境. 其中，題目2 ～ 題目4均屬于單一環(huán)境，其解題環(huán)境只包含“數(shù)學內部”；而題目1和題目5屬于綜合環(huán)境，由“生活情境”和“數(shù)學內部”相互交替而成. 題目1以填空題的形式呈現(xiàn)，需要學生經(jīng)歷“生活—數(shù)學”的單向過程；題目5以填空題和解答題相結合的形式呈現(xiàn)，需要學生經(jīng)歷“生活—數(shù)學—生活”的過程. 兩者的數(shù)學思維含量及對數(shù)學元素的需求不同. 題目1中的關鍵詞——最高溫度和最低溫度，與不等關系有著本質聯(lián)系，對于不等式的建立起著直接促進作用，而題目5的表述中缺乏與不等關系有直接關聯(lián)的詞匯，故其數(shù)學思維含量更高. 題目2 ～ 題目4均以解答題的形式呈現(xiàn)，但三者在表述方式上存在明顯差異：題目2注重不等式模型構建的過程；題目3以應用不等式的基本性質為主；題目4則以不等式的解集這一數(shù)學概念為解題的主要元素. 對于指向單一解題環(huán)境的題目來說，表述方式是影響題目難易程度的主要因素，概念的專業(yè)化程度越高，其中的數(shù)學思維含量越豐富，題目的難度就越大. 對于指向綜合解題環(huán)境的題目來說，解題環(huán)境之間的變遷次數(shù)越多，題目的難度越大.

3. 影響因素

對5道題的成績進行均值及標準差計算，結果如表3所示.

題目1的標準差最小，穩(wěn)定性最高；題目4的標準差最大，穩(wěn)定性最低. 此外，題目2、題目3和題目4的標準差明顯高于題目1和題目5的標準差. 由此可得，對于學生而言，題目與學習者認知之間的信息差異及題中數(shù)量關系的轉譯狀況，能夠對學生自身的解題工作起到?jīng)Q定性作用. 一方面，當所求解的題目與學生的實際認知存在較高的信息相似性時，題目的可操作性便可得以增強. 因而在學生的頭腦中，應用已有的數(shù)學經(jīng)驗可以將抽象的數(shù)學元素轉化為具體的生活元素，對解題起到積極的推動作用. 否則，學生難以建立有效的不等關系模型，從而無法實施進一步的解題工作. 另一方面，若學生能夠結合題目信息對數(shù)學元素及其所含邏輯關系做出條理化表征，便可以遵照規(guī)范化操作程序對元素之間的不等關系做出轉譯，進而可以真正激活自身的思維過程，使得解題工作沿著結論明晰的方向取得進展；反之，若學生對于元素間不等關系的轉譯存在偏差時，則會對不等關系做出錯誤編碼，必然會使解題工作受阻.

4. 組間差異

對所有學生的測試總成績按升序排列，得到總成績的中位數(shù)為21.5，故將學生分為代數(shù)學習良好組（≥ 21.5）和代數(shù)學習薄弱組（lt; 21.5）. 檢驗變量為題目1 ～ 題目5，分組變量為測試總成績，通過對所得數(shù)據(jù)進行獨立樣本檢驗，進而判斷兩個學習小組的解題是否存在差異，結果如表4所示.

從表4來看，對于這些問題而言，兩個小組的解題存在顯著性差異，且當所要求解的問題指向數(shù)學內部時差異更為顯著. 這表明相比于解題環(huán)境的綜合程度，題目中不等關系的抽象程度更能夠對學習者的解題狀況產生影響. 雖然解題環(huán)境的變遷要求學習者能夠通過變換思維視角來闡釋同一問題中的不等關系，但是當題目中存在著抽象程度較高的不等關系時，學習者需要基于表征形式和內在邏輯多次實施關系轉譯，方可使解題工作得以正向推進.

由表5可知，代數(shù)學習良好組的相對得分在題目1 ～ 題目4上相差不大，達標率均在50%以上，最高達77%，表明該組的大多數(shù)學生能夠從本質上理解“生活—數(shù)學”及淺層數(shù)學，并在抽象出不等關系的基礎上構建模型并應用基本性質. 而代數(shù)學習薄弱組的相對得分則相反，大部分學生僅能夠正確經(jīng)歷“生活—數(shù)學”的過程，能夠建立模型并應用基本性質的學生不足其半數(shù). 從題目5的A值可知，在經(jīng)歷多次環(huán)境變遷后，兩個小組的解題效果均降低，由于代數(shù)良好組已經(jīng)能夠對“生活—數(shù)學”及淺層數(shù)學有較好的認識，其對求解題目5產生的積極影響是不可忽視的.

五、結論

不等關系的學習過程受到了知識本身的發(fā)生規(guī)律和學習者的一般數(shù)學思維特征等方面的影響. 本研究基于RMI原則，結合認知過程及數(shù)學核心素養(yǎng)，得到了如圖3所示的不等關系的認知轉化機制.

1. 兩組辯證關系

（1）核心素養(yǎng)與教學環(huán)節(jié)的關系.

核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn). 該機制將不等關系的學習劃分為四個步驟，每個步驟都對應著具體的數(shù)學核心素養(yǎng)行為表現(xiàn). 數(shù)感和量感是否良好，直接影響著不等關系能否從生活經(jīng)驗轉化為數(shù)學知識. 量感是對數(shù)學問題的直觀認識，數(shù)感是對數(shù)學元素的精準刻畫. 代數(shù)思想的引入和不等關系的形式化表達，以及數(shù)學元素的意義化，強調了數(shù)學語言的規(guī)范性和準確性，與抽象能力和符號意識密切相關. 在數(shù)學問題解決后，回歸到生活情境，使得解題工作完整且環(huán)環(huán)相扣，是對數(shù)學應用意識的發(fā)展.

（2）數(shù)學心理因素與解題效果的關系.

在不等關系的建立及求解中，數(shù)學心理因素包括題目的思維含量、解題環(huán)境的復雜性、問題的組織形式和表述方式、關系轉譯的準確性及有效程度等. 若不等關系被錯誤地轉譯，或者轉譯的效果不明顯時，這樣的意義賦予并未使解題得到本質變化，而僅僅使得信息量增加，使解題工作受到阻礙；反之，將促進解題工作的完成. 解題環(huán)境的復雜性通過問題的組織形式及表述方式來呈現(xiàn)，也對解題效果產生影響. 若題目中包含較多指向性強的元素，解題工作的完成容易受到促進；反之，則需要解題者調配思維去主動完成模型構建的過程，解題工作會受到抑制.

2. 對教學的啟示

在進行不等關系的教學設計時，教師要做好前期工作，明確核心素養(yǎng)的要求，將其作為選取教學素材的依據(jù)，設計恰當?shù)膶W習情境，注重生活經(jīng)驗的數(shù)量特征，避免用繁雜的語言表述問題，以教學活動能夠充分調動學生的數(shù)學思維為依據(jù)，將無形的數(shù)學思想方法轉化為具體可操作的解題流程. 在實施教學的過程中，教師要從學生的已有心理特征出發(fā)，做到詳略得當，精準引導，關注學生內隱知識和外顯行為的變化，觀察學生對不等關系的表達，注重學生能否用合理、有效的語言描述不等關系的解題過程，體現(xiàn)出學生能否真正從數(shù)學角度理解問題. 總之，教師在設計與實施教學時，要依照不等關系的認知轉化機制，結合RMI原則的基本要求，合理進行不等關系的教學，從而促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻：

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