【摘要】小學數(shù)學圍繞數(shù)量關系、空間形式及統(tǒng)計問題展開，旨在培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光看待現(xiàn)實世界、數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界的能力.小學階段學生抽象思維水平較低，在數(shù)學學習時難免會出現(xiàn)錯誤.對錯誤資源利用，可幫助學生反思學習問題，進而掌握數(shù)學知識本質.文章采用文獻研究法與案例分析法，說明錯誤資源的定義及分類，指出小學數(shù)學教學中錯誤資源利用的理論依據(jù)，最后探討了錯誤資源的利用策略，旨在為小學數(shù)學錯誤資源利用的有效推進提供教學參考.

【關鍵詞】小學數(shù)學；錯誤資源；利用策略

2023年5月，教育部辦公廳發(fā)布《基礎教育課程教學改革深化行動方案》（以下簡稱《改革方案》），提出：“2023年啟動，有組織地持續(xù)推進基礎教育課程教學深化改革.至2027年，形成配套性的常態(tài)長效實施工作機制……教師教學行為和學生學習方式發(fā)生深刻變化，教與學方式改革創(chuàng)新的氛圍日益濃厚，基礎教育課程教學改革形成新氣象.”教師應順應《改革方案》要求，正確認識小學數(shù)學教學中錯誤資源的教學價值，在課程教學中合理利用錯誤資源指導學生反思自身的理論學習、數(shù)學思想與方法應用存在的問題，使學生在正視錯誤、捕捉錯誤、利用錯誤的過程中提高認知水平，發(fā)展數(shù)學思維能力.

一、錯誤資源概述

（一）錯誤資源的定義

錯誤資源屬于生成性資源.學生在學習過程中所生成的想法、所提出的觀點、解決問題時產生的錯誤回答，均屬于生成性資源.教師可以根據(jù)學生的學習錯誤進行逆向分析，明確學生理論知識、實踐技能的學習問題.如，小學數(shù)學教學中，基于學生的計算錯誤，可對學生算理、算法的掌握情況，計算技巧的應用情況進行反思，確定學生算理、算法的學習難點及應用問題，進而識別學生的發(fā)展不足.值得一提的是，并非所有的學習錯誤都是資源.學生在新知探索、問題討論過程中，受自身知識儲備、思維水平等因素影響，對學科教學內容產生的錯誤，且這類錯誤有益于學生進一步完善自身知識體系，提高思維水平，可作為學科教學中的錯誤資源.而學生不遵守課堂紀律等錯誤行為不利于學生成長，不可作為錯誤資源.

（二）錯誤資源的分類

學生的知識背景、思維方式、情感體驗與成人并不相同，其在學習中產生錯誤難以避免.根據(jù)小學數(shù)學教學中學生的錯誤成因及表現(xiàn)，可對錯誤資源作如下分類：

一是合理性錯誤.顧名思義，合理性錯誤是指合乎學生發(fā)展特征的錯誤.根據(jù)教學實踐，學生的學習水平是不斷提高的.當學生由舊的發(fā)展水平向新的發(fā)展水平過渡時，其可能受過去學習習慣影響，造成學習錯誤.如，基于生活、學習經驗對新問題進行武斷的判斷，造成錯誤；應用簡單的思維模式分析問題，導致問題解決不全面，造成錯誤等.

二是經驗性錯誤.經驗性錯誤指因過度依賴學習、生活經驗，不靈活變通思維方式而造成的學習錯誤.例如，學生直接將日常生活中的經驗套用到數(shù)學問題解決過程當中，忽視生活實際與數(shù)學問題的差異，造成學習錯誤.又如，學生因缺乏問題發(fā)現(xiàn)與解決的學習經驗，只能基于所掌握的理論知識分析問題，導致問題分析不全面，造成學習錯誤.

三是概念性錯誤.因缺乏概念儲備、對概念理解存在偏差，導致問題分析、解決過程中出現(xiàn)的錯誤，被稱為概念性錯誤.

二、小學數(shù)學教學中錯誤資源的利用理論依據(jù)

（一）最近發(fā)展區(qū)理論

最近發(fā)展區(qū)理論主要研究了學生學習水平的變化規(guī)律，即：學生的學習水平并非一成不變，實際上，通過系統(tǒng)教學，可使學生從當下的發(fā)展水平過渡到更高的發(fā)展水平.其中，兩個發(fā)展水平之間的差距，被稱為最近發(fā)展區(qū).最近發(fā)展區(qū)理論的提出者認為，最近發(fā)展區(qū)可被理解為學生的潛在發(fā)展水平，根據(jù)學生的最近發(fā)展區(qū)組織教學內容，可挖掘學生潛能，實現(xiàn)進階式教學.同時，最近發(fā)展區(qū)并非一成不變，當學生達到新的發(fā)展水平后，其最近發(fā)展區(qū)也相應地發(fā)生變化.根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，學生在小學數(shù)學學習中出現(xiàn)錯誤，說明其正處于最近發(fā)展區(qū)中，學習了新的概念、算理及公式等知識，但卻未掌握相關內容的應用方法.教師可以根據(jù)學生的錯誤剖析其學習弱點、難點，之后采取錯誤精講、錯題重做等多種策略指導學生應用新的知識解決問題，使學生的現(xiàn)有水平得到發(fā)展.

（二）元認知理論

個體在認知活動中，對活動過程存在整體認知，且有意識計劃、監(jiān)控、調節(jié)認知活動過程.基于此，元認知理論認為，學習主體可以通過閱讀、體驗、討論等活動積累學科知識，并形成對具體現(xiàn)象的客觀認識；學習主體能夠基于學習過程中觀察到的客觀現(xiàn)象、總結出的具體規(guī)律形成深刻體驗；學習主體能夠基于學習過程中獲得的反饋信息，有意識地調節(jié)自身的學習行為，實現(xiàn)學習目標.根據(jù)元認知理論，錯誤資源可作為反饋信息，在深化學生學習體驗的同時，幫助學生反思自身對學科概念、解題技巧的掌握情況，進而調節(jié)自身的學習行為方式.在小學數(shù)學教學中，教師可指導學生自主計劃小學數(shù)學教學中錯誤資源的利用策略，自主監(jiān)控自身在回答理論問題、解決運算及應用問題方面的不足，自主反思數(shù)學理論及思想方法改正問題等，使學生在發(fā)現(xiàn)、分析、改正錯誤并總結經驗的過程中提高數(shù)學認知水平.

（三）錯誤分析理論

錯誤分析理論指出，錯誤分析可大致分為收集資料、識別錯誤、錯誤分類、錯因分析、錯誤反饋五個流程.錯誤分析理論強調錯誤資源對教學的積極作用，指出合理應用錯誤可以夯實學生的學習基礎，提高學生的判斷、分析、糾正等能力.根據(jù)錯誤分析理論，小學數(shù)學教師應當從本質上改變對學生錯誤的看法，認識到錯誤的利用價值.同時，教師還可以根據(jù)錯誤分析理論確定小學數(shù)學教學中錯誤資源的利用策略，按照發(fā)現(xiàn)錯誤、分析錯因、歸類練習的順序組織錯誤資源利用教學活動，使學生認識到自身發(fā)展的不足，學會用合理的方式處理錯誤.

三、小學數(shù)學教學中錯誤資源的利用策略

（一）正視錯誤，坦然悅納，激發(fā)探究意識

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）明確，教師應革新教學理念，尊重學生的學習主體地位，發(fā)揮自身的組織管理作用，引導學生在學習、反思的過程中提升自我.實現(xiàn)小學數(shù)學教學中錯誤資源的有效利用，需要師生雙方正確認識錯誤資源，樹立“有則改之，無則加勉”的觀念.實際教學中，教師應當將錯誤資源視作一種有效資源，樹立“化錯”觀念，積極從錯誤資源中尋找教育價值.同時，教師還應將自身的“化錯”觀念傳遞給學生，幫助學生樹立“錯誤是自主提升的有效資源”觀念.在正視錯誤的基礎上，教師圍繞錯誤資源組織探究活動，指導學生學會利用錯誤資源反思自身的真實學習水平，明確自身的薄弱點等，為其主動探究改錯、避錯方法營造良好的教學氛圍.

以蘇教版二年級數(shù)學下冊“兩、三位數(shù)的加法和減法”一課教學為例，有習題如下：“小明有56枚郵票，小寧比小明少27枚，小寧有多少枚郵票？”有的學生解答問題時，不假思索地列出算式“56-27=39”，得到錯誤答案“小寧有39枚郵票”；另外一部分學生則在列式后檢驗，得到正確答案“小寧有29枚郵票”.這時，教師不應嚴厲批評犯錯學生，反而應組織持有不同答案的學生分別闡述自己的問題解決原理，讓錯誤的學生發(fā)現(xiàn)自身的問題，并鼓勵其用“退位減”的計算原理改正問題.在此基礎上，教師可與學生討論：在犯錯、改錯的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？引導學生發(fā)現(xiàn)錯誤資源對于完善自身知識與技能體系的積極作用，使其正視錯誤、悅納錯誤，學會利用錯誤彌補自身的算理、算法的學習、應用不足，為學生獨立反思、自主提升營造良好的學習環(huán)境.

（二）捕捉錯誤，對癥下藥，解決學習問題

學生存在個體差異.受知識結構、數(shù)學思維、學習習慣等多方面因素影響，不同學生在小學數(shù)學教學中所犯錯誤不同，犯錯時機也不相同.根據(jù)錯誤分析理論，學生所犯錯誤反映了其在知識掌握與應用等方面的不足.教師應當關注學生在課前預習、課中學習、課后復習上的學習表現(xiàn)，及時捕捉其學習錯誤，并采取對比、分析策略，對不同類型錯誤進行歸納，分析不同類型錯誤成因，由此判斷學生當下的學習水平.之后，教師再針對不同類型問題采取確切措施，一方面指導學生認識到自身的長處和弱點，另一方面針對不同學生采取針對性的教學策略，保留其學習長處，解決其學習弱點.

以蘇教版三年級數(shù)學上冊“長方形和正方形”一課教學為例.教師可關注學生課后練習學習表現(xiàn)，根據(jù)其答題情況進行錯誤資源的利用，如：“籃球場長28米，寬15米，籃球場的周長是多少米？”捕捉學生課后練習錯誤，并根據(jù)錯因歸納錯題類型，如：①因審題不認真造成的錯誤：（26+15）×2=82（米）；②因長方形周長計算公式掌握不牢固造成的錯誤：28+15=43（米）或28+15×2=58（米）；③因計算失誤造成的錯誤：（28+15）×2=84（米）.針對“審題不認真”這一問題，教師可要求學生認真審題，用各種符號標記問題中的已知量、未知量，以免出現(xiàn)代錯數(shù)值、求錯未知量的問題.針對“公式掌握不牢固”這一問題，教師可要求學生重溫長方形周長公式的探究過程，夯實其知識基礎.針對“計算失誤”這一問題，教師可進行針對性訓練，要求學生重復計算相關問題，提高學生的計算能力.這樣，在捕捉學生錯誤、針對錯誤原因采取針對性教學方法的過程中，解決學生的學習問題，從根本上降低學生的犯錯率.

（三）利用錯誤，組織活動，發(fā)展數(shù)學思維

《新課標》強調，教師應當組織學生參與現(xiàn)實問題解決活動，幫助學生建立數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，指導學生在分析、解決、反思問題的過程中感悟數(shù)學學科的本質規(guī)律.要實現(xiàn)這一點，教師需提高學生的思維水平，使其學會用抽象思維、遷移思維、應用思維分析、解決問題.錯誤資源利用過程中，教師可以應用演示文稿展示典型錯誤及錯題考點，指導學生在明確錯因的基礎上進行錯題重做、新題探究，使學生在解決舊問題、探索新問題的過程中發(fā)展數(shù)學思維.下面，結合蘇教版四年級數(shù)學上冊“整數(shù)四則混合運算”教學案例，探討利用錯誤資源發(fā)展學生數(shù)學思維的策略.

1.錯題重做，促進理解吸收

小學數(shù)學教學中利用錯誤資源時，教師要避免使用注入式、填鴨式教學，要為學生提供更多自主思考、獨立分析的學習機會，使其擁有思考、選擇和嘗試的機會.為此，教師不僅要指出學生的學習錯誤、說明其學習錯因，還要圍繞錯題組織重做活動，指導學生在主動參與的過程中重溫錯題，在應用正確數(shù)學思想、方法及知識解決錯題的過程中理解題目考點，真正掌握錯題的正確解答方式，從而提高學生的理解水平.

以“整數(shù)四則混合運算”教學為例，許多學生在解決計算習題“399999+39999+3999+399+39+3”時出現(xiàn)錯誤.這一習題看似為連加運算，許多學生直接列豎式進行計算，不僅計算量巨大，且在進位加時易出現(xiàn)代錯數(shù)值的問題，導致習題出錯.針對這一錯題，教師可指出其考點，并給出正確的解題過程，如：這一習題以加減法與乘除法中的巧算為考點，重點考查學生對整數(shù)四則混合運算的靈活應用情況，其正確解題步驟舉例可為：①將原式化為整十萬、整萬數(shù)等數(shù)的四則混合運算形式：原式=400000+40000+4000+400+40+4-1×6；②應用整數(shù)四則混合運算算理，先算乘除，后算加減，得到444444-6；③進行結果運算，得到原式答案為444438.講明考點、給出正確答案之后，指導學生理解錯題內蘊藏的轉化思想，學會用簡算方法將復雜運算問題轉化為整數(shù)四則混合運算問題.之后，教師再組織錯題重做活動，要求學生運用該課所掌握知識解決問題，提高學生對課程教學內容及錯誤與資源的理解與吸收水平.

2.新題探究，加速遷移應用

小學階段學生正處于思維發(fā)展的關鍵時期.只有開闊其學習視野，引導其從不同角度出發(fā)看待問題，才能夠打破其定式思維，提高學生的學習水平.進行小學數(shù)學錯誤資源利用時，教師應當拓寬教學視野，圍繞錯題資源的核心內容收集、整理課外教學資源，并將其以變式習題的形式呈現(xiàn)出來.當學生重做錯題并取得正確答案后，教師可組織新題探究活動，要求學生在規(guī)定時間內解決錯題的變式習題，一方面檢驗學生對錯誤資源的掌握情況，另一方面鍛煉學生的遷移與應用思維.

以“整數(shù)四則混合運算”教學為例，學生完成錯題重做后，基本掌握了將連加問題轉化為混合運算問題的方法.為了進一步提高學生的應用能力，教師還可圍繞錯題考點設計拓展習題，如：計算20-19+18-17+…+4-3+2-1；計算100+99+98-97-96-95+94+93+92-91…+4+3+2-1.要求學生基于錯題重做獲得的知識與經驗解決新的問題，進一步鍛煉學生遷移與應用思維.

（四）整合資源，建立檔案，培養(yǎng)糾錯習慣

《新課標》倡導教師突破傳統(tǒng)數(shù)學教育觀念限制，豐富學習資源，為學生自主學習創(chuàng)造條件.錯誤資源作為一種寶貴的學習資源，具有彰顯學生問題、促進學生反思提高的教學作用.教師可以在錯誤資源利用中建立錯題檔案，指導學生在發(fā)現(xiàn)并歸類錯題、注明錯題原因及改正方法的過程中培養(yǎng)識錯、糾錯、思錯能力，使學生養(yǎng)成時時反思的學習習慣，為學生不斷提高認知水平與運算、分析能力奠定資源基礎.

以蘇教版五年級數(shù)學上冊“小數(shù)乘法和除法”一課教學為例，教師可組織學生設置“錯題資料卡”，在卡片上說明題目考點、錯題原因及改錯過程，使學生在創(chuàng)作、歸檔“錯題資料卡”的過程中養(yǎng)成“一錯一糾”的良好習慣.如：

錯題：[（11.2-1.2÷□）×4+51.2]×0.1=9.1，那么□=？

錯因：計算復雜，在化簡時代入錯誤數(shù)值，或計算時小數(shù)點標錯位置.

改錯過程：原式化為（11.2-1.2÷□）×4+51.2=91；移項后得（11.2-1.2÷□）×4=39.8；等式兩邊同時除以4得11.2-1.2÷□=9.95，等式兩邊同時加1.2÷□再移項，得到1.2÷□=1.25.最后進行計算，得到□=0.96.

結 語

錯誤資源是寶貴的教學資源，合理利用錯誤資源可以指導學生認識到自身在概念理解、問題分析、習題解答、思想方法應用等方面的學習問題，進而幫助學生反思提高.教師應當正確看待錯誤資源，并對其進行合理分類，為錯誤資源的利用提供便利條件.同時，教師應以最近發(fā)展區(qū)理論、元認知理論、錯誤分析理論等科學理論為依據(jù)，梳理錯誤資源的利用思路，確保教學的科學性.具體教學中，教師需要根據(jù)教學實踐，靈活采取教學策略，通過指導學生正視錯誤、組織學生捕捉錯誤，圍繞錯誤組織活動等方式增強學生數(shù)學學習感悟，使其在識錯、析錯、改錯、集錯等過程中提高認知水平，發(fā)展數(shù)學分析、遷移應用等能力.

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