新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布以來，教師在紛紛實(shí)踐“核心素養(yǎng)落地課堂”的課程理念，建構(gòu)開放的、生成的、充滿靈動(dòng)的教學(xué)課堂，使得數(shù)學(xué)課堂常常會(huì)邂逅一些美麗的“意外”，即課堂上不可多得的生成資源。人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)長方體和正方體這一單元的教學(xué)中，求不規(guī)則物體的體積應(yīng)用廣泛，內(nèi)容抽象，不易理解，學(xué)生面對(duì)各種變式題頻頻出錯(cuò)，成為一個(gè)揮之不去的“痛點(diǎn)”。教學(xué)中，我借助學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生全程參與活動(dòng)，并充分利用生成資源進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“方法一致性與內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”的新理念，那么，求不規(guī)則物體的體積及相關(guān)的變式題是否具有內(nèi)在方法上的一致性？如何實(shí)現(xiàn)解題方法的結(jié)構(gòu)化？

一、回溯——思路在何處

本節(jié)內(nèi)容在北師大版教材中的課題名稱是“有趣的測(cè)量”，即測(cè)量石塊的體積，把石塊完全浸沒到一個(gè)有水的長方體容器中，呈現(xiàn)水面上升水未溢出和水面上升水已溢出兩種情況。人教版教材采用“排水法”測(cè)量土豆的體積（水未溢出），以思考的形式展開教學(xué)，教法上更“放”了一些。

例：如下圖，珊瑚石的體積是多少立方厘米？

【片段賞析】

師：同學(xué)們，從上圖中，你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

生：一個(gè)長方體玻璃容器，底面是一個(gè)邊長為8厘米的正方形，一塊珊瑚石完全浸沒水中之后，水面高度由6厘米上升到7厘米。問題是求珊瑚石的體積。

師：珊瑚石，不易變形，怎樣求出它的體積呢？

生1：上圖所示就是一道實(shí)驗(yàn)測(cè)量題，容器中裝有水的體積是8×8×6=384（立方厘米），放入的珊瑚石完全浸沒水中之后，水面升高且水未溢出，相當(dāng)于體積增多了，這時(shí)水和石頭所占的體積是8×8×7=448（立方厘米），用水和石頭的總體積減去原來水的體積，就是珊瑚石的體積。即：V石=V總（水+石）-V水。

師：請(qǐng)思考——珊瑚石放入水中之后，水面上升了，為什么？（學(xué)生靜默，思考）

生2：因?yàn)樯汉魇耆]于水中之后，占據(jù)了水的空間，把水?dāng)D壓上升了，水面和原來相比上升了1厘米，相當(dāng)于在原來的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)長8厘米、寬8厘米、高1厘米的隱形長方體，這個(gè)隱形長方體的體積其實(shí)就是珊瑚石的體積。

學(xué)生不由自主地把掌聲送給了2號(hào)同學(xué)，第三個(gè)學(xué)生不甘示弱。

生3：那是因?yàn)槭^是固體，水是液體，石頭放入水中占據(jù)了水的空間，剛才的實(shí)驗(yàn)是水未溢出，如果水溢出了，石頭的體積就成了水面上升的體積加溢出來的水的體積。這種轉(zhuǎn)化的方法叫作排水法。

此時(shí)掌聲雷動(dòng)。

V石=V增加的水=底面積×h增，即：V石=長×寬×h增。

師：對(duì)比兩種做法，你更喜歡哪種，喜歡的理由又是什么呢？

學(xué)生思考。

生4：我更喜歡第二種，因?yàn)橛?jì)算簡便。

生5：我不怕計(jì)算麻煩，我喜歡第一種，因?yàn)槿菀桌斫?，一目了然?/p>

師：兩種做法都很好，給予肯定。數(shù)學(xué)在追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑫r(shí)，也追求簡捷，在實(shí)際應(yīng)用中第二種做法因?yàn)楹啽愀芮嗖A。

思路即是：在水未溢出的情況下，增加的體積=不變的長×不變的寬×高增加的長度。

今天，我們就沿著這條思路，接著探究這道數(shù)學(xué)題可以衍生出哪些題？又是怎樣解決的呢？

二、創(chuàng)生——基于內(nèi)在一致性

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“創(chuàng)生”活動(dòng)是一種重要的學(xué)習(xí)方式，本活動(dòng)以小組合作，先“扶”后“放”的形式展開，活動(dòng)中學(xué)生組內(nèi)自主交流，互相啟發(fā)，教師選擇具有代表性的“創(chuàng)生”資源，讓學(xué)生交流分享，充分展示自我。

活動(dòng)內(nèi)容：

一個(gè)長方體，長8厘米、寬6厘米、高4厘米，如果（ "）（ ）2厘米，則體積變化了多少立方厘米？

活動(dòng)要求：

1.四人小組合作，自主填空。

2.第一個(gè)（ ）填“長”或“寬”或“高”，第二個(gè)（ ）填“增加”或“減少”。

3.根據(jù)所填的空，畫圖分析，并計(jì)算出變化的體積。

4.學(xué)有余力的同學(xué)，從此題展開變式，自創(chuàng)自編，靈活拓展。

小組開始探究活動(dòng)，10分鐘后分享活動(dòng)成果：

成果1：

【評(píng)析】小組1仿照例題的結(jié)構(gòu)微調(diào)，把例題中高增加改編成了寬增加，解題思路是：增加的體積=寬增加的長度×不變的長×不變的高。

成果2：

【評(píng)析】小組2的同學(xué)很會(huì)變通，構(gòu)造了一個(gè)長、寬、高都是5米的特殊長方體（即正方體），“沿著長從3米處切開”，意為“長減少2厘米”。解題思路是：減少的體積=長減少的長度×不變的寬×不變的高。

成果3：

【評(píng)析】小組3對(duì)題目的改編大大出乎了老師的預(yù)料，這是他們小組一個(gè)特別機(jī)靈的孩子帶著組員想出來的做法，語言精練，富有情境。題目中長方體模型一共變了兩次，第一次是長增加了2厘米，第二次是在第一次增加后得到的新長方體的基礎(chǔ)上，又把寬增加了2厘米，在原題的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了思維的進(jìn)階。

本小題題目冗長，其實(shí)不難，結(jié)合圖形及每一步中的小標(biāo)題，兩種方法都容易理解，關(guān)鍵是第二次增加必須建立在第一次得到的新長方體基礎(chǔ)上增加，在這里必須為這個(gè)小組點(diǎn)贊！

【片段賞析】

師：謝謝同學(xué)們分享的成果，每次都讓我有了“驚喜”和“意外”，現(xiàn)在請(qǐng)認(rèn)真觀察展現(xiàn)的三個(gè)“成果”，找出什么變了？什么沒變？

同學(xué)們開始竊竊私語，小聲說開了。

生逐一說自己的發(fā)現(xiàn)，最后師生總結(jié)，如下表。

師：我們走在解題的“大路”上，思路越來越寬闊了，現(xiàn)在進(jìn)入“學(xué)以致用”。

三、再造——尋求思路結(jié)構(gòu)化

“用數(shù)學(xué)”是學(xué)好數(shù)學(xué)的主旋律，通過剛才同學(xué)們的分享、分析、總結(jié)，發(fā)現(xiàn)“增加或減少的體積=變量增加或減少的長度×不變量1×不變量2”，是求不規(guī)則物體的體積與相關(guān)變式題在解題思路上存在的一致性，那是否還有一種可能就是引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)生活，用數(shù)學(xué)的眼光去捕捉信息，用數(shù)學(xué)的思維去實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”，基于方法的一致性，形成內(nèi)容結(jié)構(gòu)化。于是，我布置了課后實(shí)踐作業(yè)，讓同學(xué)走進(jìn)生活，尋求此類問題在生活中的實(shí)際應(yīng)用，用數(shù)學(xué)語言整理成題。

同學(xué)們廣泛聯(lián)系生活，提交的作業(yè)真可謂是“百花齊放”，左邊及下面是摘選張宇墨同學(xué)的優(yōu)秀作業(yè)：

教學(xué)中，變與不變是對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，數(shù)學(xué)題萬變不離其“本質(zhì)”，數(shù)學(xué)教學(xué)就是在學(xué)生的已知與未知之間，在認(rèn)知、情感與元認(rèn)知之間，精心設(shè)計(jì)“變”的素材、“變”的情境、“變”的方式，并在各種變化中找出存在的內(nèi)在一致性與解題思路的結(jié)構(gòu)化。否則，做題就是一種低階的模仿，知識(shí)都是相互割裂和碎片化的。因此，數(shù)學(xué)課堂要立足于單元、學(xué)段、領(lǐng)域內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)，抓住“原生”與“再生”，反復(fù)比較，積極探索，洞悉各種題型背后的內(nèi)在邏輯與一致性。做到“變中知不變，變中思不變，變中識(shí)不變”，讓創(chuàng)生課堂成為我們的專業(yè)常態(tài)，在感悟數(shù)學(xué)萬變不離其“本質(zhì)”的同時(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【注：本文系保山市教育科研“十四五”規(guī)劃第二批立項(xiàng)課題“三名”工作室專項(xiàng)課題“核心素養(yǎng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)生課堂教學(xué)案例研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)為：145SM2307）研究成果】