在解決數(shù)列的相關應用問題中，同構思維也是處理數(shù)列問題中的一種基本解題意識與技巧方法，往往依托數(shù)列遞推關系式或數(shù)列通項公式的結構特征等從而發(fā)現(xiàn)式子結構中蘊藏的同型與共性，并提取對應式子中相同或相似的結構形式與特征模型等，發(fā)現(xiàn)式子間的內(nèi)在關聯(lián)與內(nèi)涵，進而合理加以同構化處理，利用同構后的模型所對應的基本性質(zhì)予以解題，是一種非常重要的方法．本文通過數(shù)例予以探究.

1．數(shù)列中的通項問題

數(shù)列通項問題中的同構思維，往往是依托數(shù)列通項的遞推關系式，進行合理的同構處理，并結合整體思維來轉(zhuǎn)化與應用，實現(xiàn)數(shù)列通項的分析與求解.

分析：借助數(shù)列中an與a n－1的線性遞推關系，一時無法直接看出相應的關系，而是利用數(shù)列自身的性質(zhì)借助待定系數(shù)法，合理同構新數(shù)列加以轉(zhuǎn)化，進而得以分析并確定對應數(shù)列的通項公式．

評注：涉及數(shù)列的通項公式的求解與應用問題時，經(jīng)常借助題設條件中數(shù)列的遞推關系式，合理通過同構數(shù)列，結合數(shù)列通項中的累加或累乘、待定系數(shù)法、不動點解特征方程法等來分析與處理，抓住對應的結構特征，巧妙同構處理，進而合理應用相應的技巧與策略來切入與應用．

2．數(shù)列中的參數(shù)問題

數(shù)列參數(shù)問題中的同構思維，往往是依托問題場景中含參數(shù)列關系式的同構與轉(zhuǎn)化，進而利用定義、公式或性質(zhì)來綜合與應用，實現(xiàn)參數(shù)值的確定與求解.

A．2023B．2024C．2025D．2026

分析：利用關系式成立條件中的數(shù)列關系式的結構特征入手，合理同構一個新數(shù)列{bn}，從數(shù)列的遞推關系式入手，結合數(shù)列的定義來合理判斷數(shù)列類型，進而得以確定新數(shù)列的通項公式，在此基礎上進一步加以分析與求解，得以確定相應參數(shù)的值．

解：結合題意，同構新數(shù)列{bn}：bn=a12+a22+…+an2－a1a2…an（n≥5），則有bn+1－bn=（a12+a22+…+an+12－a1a2…an+1）－（a12+a22+…+an2－a1a2…an）=an+12－（an+1+1）（an+1－1）=1，可知該數(shù)列是一個首項為b5=a12+a22+…+a52－a1a2…a5=4，公差為d=1的等差數(shù)列，可得bn=4+（n－5）×1=n－1．結合題設可得bk=2024，由bk=k－1=2024，解得k=2025，故選C．

評注：上述解法抓住題設條件中的對應的遞推關系式的結構特征，找出同型或共性，合理同構數(shù)列，是解決問題的關鍵所在．特別是涉及數(shù)列中的一些參數(shù)問題時，合理抓住數(shù)列場景中的關系式，借助數(shù)列通項或遞推關系式等加以變形轉(zhuǎn)化，為進一步抽取性質(zhì)與巧妙同構奠定基礎，合理變形，從而實現(xiàn)問題的突破與求解．

3．數(shù)列中的求和問題

數(shù)列求和問題中的同構思維，往往是依托數(shù)列求和中相關項的巧妙同構與合理相消處理，給數(shù)列求和開創(chuàng)一個全新的局面，實現(xiàn)數(shù)列中的求和應用.

例3 （2023年邵陽市二模試題）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1=2，滿足Sn+1=Sn+4an－3，記數(shù)列{bn}的通項為bn=log2（an－1）+3．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式和數(shù)列{bn}的通項公式；

分析：（1）借助an與Sn的關系加以變形與轉(zhuǎn)化，合理同構數(shù)列{an－1}來確定對應數(shù)列{an}的通項公式，進而結合條件來分析與求解數(shù)列{bn}的通項公式；（2）利用數(shù)列關系式的變形與轉(zhuǎn)化，合理進行同構裂項處理，進而通過數(shù)列求和來變形，分奇數(shù)項來合理放縮與證明．

解：（1）由Sn+1=Sn+4an－3，得Sn+1－Sn=4an－3，所以an+1=4an－3，則an+1－1=4（an－1）．又a1－1=2－1=1，所以數(shù)列{an－1}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以an－1=4n-1=22n－2（n∈N*），即an=22n－2+1（n∈N*）．因為bn=log2（an－1）+3，所以bn=log222n－2+3=2n+1（n∈N*）．

評注：數(shù)列求和問題中的裂項相消技巧方法一直是高考命題的一種基本視角，是一種重要而靈活的命題方式．而依托同構思維，結合一些常見的緒如指數(shù)型、無理型、奇偶性以及三角型等幾個比較新穎的裂項問題，合理同構思維，巧妙分析與處理，實現(xiàn)數(shù)列的求和與應用問題．

基于此，在那些有規(guī)律可循的數(shù)列問題之中，同構意識與同構應用成為解決一些復雜數(shù)列問題或創(chuàng)新數(shù)列問題中一種創(chuàng)新思維與應用.實際上，這體現(xiàn)了回歸數(shù)列的函數(shù)性，求解時往往可依托函數(shù)的基本性質(zhì)等來合理同構，進而利用數(shù)列的知識來轉(zhuǎn)化與應用.由此，教學時對結構的同構意識、理念尤其重要．并且，解題實踐中應注重求同存異，趨同結構，重新建構，使得結構達成同構化，從而解決數(shù)列中的通項，求和等諸多問題，進而全面提升數(shù)學關鍵能力，優(yōu)化數(shù)學良好品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)．