“算兩次”是一種基本的數(shù)學(xué)方法，其思想就是把同一個(gè)量從兩個(gè)不同角度計(jì)算“兩次”，進(jìn)而建立等量關(guān)系.單墫教授將“算兩次”法的解題形式其比喻成“三步舞曲”，即從兩個(gè)方面考慮一個(gè)適當(dāng)量，“一方面…，另一方面…，綜合起來(lái)可得…”.“算兩次”法蘊(yùn)含了化歸轉(zhuǎn)化和方程思想的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的諸多方面都有廣泛的應(yīng)用.下面從幾個(gè)方面舉例說(shuō)明“算兩次”法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

例1 （2022屆陜西省咸陽(yáng)市二模理11）已知a∈（e，+∞），則函數(shù)f（x）=alnx+ax-xex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)確定兩個(gè)函數(shù)g（x）和h（x）的凸凹性，由兩個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（x0，y0）處有公切線時(shí)應(yīng)用“算兩次”法列方程求得a=e，然后當(dāng)a＞e時(shí)，由h（x）的圖象在公切線附近向上伸展，從而根據(jù)兩函數(shù)的凸凹性確定出函數(shù)f（x）必有兩零點(diǎn).

例2 （2023屆湖北省七市州3月聯(lián)考18）設(shè)數(shù)列an的前n數(shù)項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，2nan-2Sn=n2-n，n∈N*.

（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

點(diǎn)評(píng)：（2）在求解Rn的過(guò)程中，應(yīng)用“算兩次”法兩次運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解的.

例3 （2018年高考江蘇卷13）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為．

點(diǎn)評(píng)：利用內(nèi)角平分線的性質(zhì)，把一個(gè)大三角形面積和分割為兩個(gè)小三角形面積之和這兩個(gè)角度應(yīng)用“算兩次”法得到a、c的關(guān)系后，通過(guò)進(jìn)行1的代換利用均值不等式求解.

例4 （2020年全國(guó)Ⅲ卷理15）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)作出軸截面，把空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，然后應(yīng)用“算兩次”法分別表示S△ABC后，建立等量關(guān)系求解.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件作出輔助線，然后應(yīng)用“算兩次”法求出比例式后得出為的角平分線和為的角平分線，最后結(jié)合平面幾何知識(shí)推導(dǎo)證明的.