在許多的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常常顯示出或隱含著某些“特征”，這些“特征”是問(wèn)題的題眼，是解決問(wèn)題的入手點(diǎn).數(shù)學(xué)解題中善于發(fā)掘這些“特征”，既可以提高解題思路決策的敏捷性，也能使題目的解決過(guò)程得到優(yōu)化，從而起到“四兩撥千斤”的解題效果.本文從幾個(gè)方面闡述善于發(fā)掘“特征”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1.數(shù)值“特征”

在數(shù)學(xué)題目中，那些具有某些“特征”的數(shù)值，會(huì)對(duì)解題起著導(dǎo)向作用.從這些特殊數(shù)值中展開(kāi)聯(lián)想，并順藤摸瓜去尋找解題途徑，則能使題目獲得新穎、獨(dú)創(chuàng)的解法.

點(diǎn)評(píng)：本題是“積式型”三角函數(shù)計(jì)算求值問(wèn)題，根據(jù)角之間的二倍關(guān)系“特征”，可運(yùn)用正弦二倍角公式求解.

2.圖形“特征”

對(duì)于一些數(shù)量關(guān)系的題目，若挖掘或運(yùn)用其蘊(yùn)含的圖形“特征”，將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為直觀的圖形來(lái)求解，從圖形“特征”中尋找解題途徑，則思路直觀、清晰.

分析：在△ABC中，由AD為∠BAC的平分線，得到∠BAD=∠CAD=30°，然后利用等積法求解.

點(diǎn)評(píng)：該解法根據(jù)角平分線的“特征”，運(yùn)用面積相等和兩邊及夾角正弦的面積公式求解，思路清晰，過(guò)程十分簡(jiǎn)捷.

例4 （2022年新高考Ⅰ卷15）若曲線y=（x+a）ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．

分析：設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)這一位置“特征”得到關(guān)于x0的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不等實(shí)根，求得a的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：利用“切線”求參數(shù)的范圍是“切線”問(wèn)題的逆向應(yīng)用.本題通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，進(jìn)而表示出切線方程，根據(jù)切線過(guò)原點(diǎn)這一“特征”，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，最后利用判別式求得參數(shù)的取值范圍.

3.結(jié)構(gòu)“特征”

一些題目的結(jié)構(gòu)往往能起到“窗口”作用，著眼于對(duì)題目結(jié)構(gòu)的觀察、分析并以此作為解題入手點(diǎn)，則能迅速尋找到解題的途徑.

點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用均值不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)，有時(shí)不一定恰好能用上均值不等式，因此還必須對(duì)所給的函數(shù)或代數(shù)式進(jìn)行變形整理，通過(guò)“拆、拼、湊”等技巧的使用（一般是配湊出“和”或者“積”為定值）構(gòu)造出均值不等式的形式再進(jìn)行求解.

4.差異“特征”

數(shù)學(xué)解題的過(guò)程，從一定意義上講，就是實(shí)現(xiàn)從題設(shè)到結(jié)論的推證過(guò)程過(guò)渡，而識(shí)別題設(shè)與結(jié)論或量與量之間的差異“特征”，則能幫助我們尋找解題途徑.

分析：由于x1為任意量，x2為存在量，從量與量的這一差異“特征”中我們可以認(rèn)識(shí)到需要把題目轉(zhuǎn)化方可奏效.

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)“任意量”和“存在量”的差異關(guān)系“特征”，由此把條件不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)間的最值關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及二次函數(shù)的最值求解的.