一、問(wèn)題呈現(xiàn)

二、模型探究

將函數(shù)y=xlnx與其它函數(shù)組合成函數(shù)模型來(lái)研究它的性質(zhì)，是高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中的一個(gè)熱點(diǎn)．文獻(xiàn)［1］對(duì)例1中的函數(shù)模型進(jìn)行了變式拓展探究，得到函數(shù)y=xlnx與兩個(gè)特殊一次函數(shù)（即y=ax－1與y=x－b）組成函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)和的上、下界估計(jì)．其實(shí)，我們可以將這兩個(gè)特殊一次函數(shù)一般化為y=ax+b，依然可探究得到類似性質(zhì)．

性質(zhì)1 若x1，x2為方程xlnx=ax+b的兩個(gè)根，則2ea－1lt;x2+x1lt;ea．

如圖1，結(jié)合題意，可知b∈（－ea－1，0）．不妨設(shè)0lt;x1lt;ea－1lt;x2lt;ea，從圖象可觀察出f（x）的極值點(diǎn)左偏，根據(jù)常規(guī)的“極值點(diǎn)偏移”問(wèn)題處理方法，可證明x1+x2gt;2ea－1．

要證x1+x2gt;2ea－1，即證x2gt;2ea－1－x1，即證f（x2）gt;f（2ea－1－x1），即證f（x1）gt;f（2ea－1－x1）．構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）－f（2ea－1－x），0lt;xlt;ea－1，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性可得到g（x）gt;0恒成立，則f（x1）gt;f（2ea－1－x1），即x1+x2gt;2ea－1．

以下證明x1+x2的范圍上限．

由0lt;x1lt;ea－1，得lnx1lt;a－1，x1lnx1lt;（a－1）x1，有x1lnx1－ax1lt;－x1，則x2lnx2－ax2lt;－x1，即x1lt;ax2－x2lnx2，從而x1+x2lt;（a+1）x2－x2lnx2．令φ（x）=（a+1）x－xlnx，x∈（ea－1，ea），則φ′（x）=a－lnxgt;0，可得φ（x）在（ea－1，ea）上單調(diào)遞增，有x1+x2lt;φ（ea）=ea．

綜上，可知2ea－1lt;x2+x1lt;ea．

以下我們只討論特殊二次函數(shù)y=ax2與y=xlnx組合時(shí)是否也有類似性質(zhì)的模型．性質(zhì)1的分析是基于函數(shù)f（x）的圖像類似于二次函數(shù)，為保持這圖象特征，需限制alt;0，從而探究得到如下性質(zhì)．

不難得知，存在x0∈（0，1），滿足lnx0=ax0，即x0為f（x）的零點(diǎn)．

圖2如圖2，結(jié)合題意，可知b∈（clnc－ac2，0）．不防設(shè)0lt;x1lt;clt;x2lt;x0，猜想：2clt;x1+x2lt;x0．

先證2clt;x1+x2，即證x2gt;2c－x1，其中2c－x1gt;c，則只需證f（x2）=f（x1）gt;f（2c－x1）．

參考文獻(xiàn)

［1］周威.對(duì)2021年新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)題中函數(shù)模型的探究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2021（15）：38-39+43.