非特殊角度條件往往是解析幾何問題中轉(zhuǎn)化的一個難點，本文將一道經(jīng)典教材習(xí)題中的角度一般化，借助信息技術(shù)探究并利用三角函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)等相關(guān)知識嚴格證明，得到了一些有意義的結(jié)論，希望對大家命題及解題有所啟示.

1.探究緣起

在人教版高中數(shù)學(xué)老教材選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程中，有這樣一道橢圓習(xí)題：

這個問題等價于探究用頂點在原點的直角去截橢圓所產(chǎn)生的定值與最值，將直角一般化為定值角度θ（0lt;θlt;π），借助信息技術(shù)探索，可以得到許多類似有趣的最值和定值.

2.問題情境

3.問題解答

仿照極坐標(biāo)的思想，初始時，讓△OAB的OA邊與x軸的正半軸重合，當(dāng)△OAB繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)時，記OA邊與x軸正方向所成角度為x（0≤x≤π），如圖1.（說明：為簡化運算，基于橢圓的對稱性，只探究半個橢圓的情形，下述結(jié)論在整個橢圓上依舊成立）.為便于求解，先表示出線段OA，OB的長.

若考慮整個橢圓的情形，結(jié)合橢圓對稱性也較容易求出S取到另外兩個最大值時x的值.

（2）∠OAB為鈍角時，可類比上述銳角情形進行詳細推理，這里僅給出結(jié)論，不再贅述.

（3）∠OAB為直角時.

4 結(jié)語

除了上述探究的問題之外，還有很多值得探究的問題，例如sin∠OAB、弦長AB及△OAB周長的最值等，感興趣的讀者可以繼續(xù)深入探究.將問題情境中的原點替換成橢圓的焦點、頂點，甚至類比到雙曲線和拋物線，仍然有許多類似的美妙結(jié)論，定角截圓錐曲線最值問題還有廣闊的探索空間.

參考文獻

［1］普通高中課程標(biāo)準實驗教科書選修4-4［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［2］孫承雄.對一道課本教材習(xí)題得探究與推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師大），2019（10），27-28.