近期筆者在解題教學(xué)時(shí)遇到一道市級聯(lián)考題，考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，也考查了分析問題，解決問題的能力尤其是運(yùn)算求解能力，本文現(xiàn)對其解法進(jìn)行探究，并給出一般性的結(jié)論．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)P的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與直線AN交于點(diǎn)D．設(shè)直線MB，MD的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．

1．推廣探究

評注：上述證明方法思路自然，邏輯順暢，利用設(shè)而不求和韋達(dá)定理策略處理斜率之積為定值問題，但是運(yùn)算量大，學(xué)生不易算到最后結(jié)果．

評注：此方法看似繁瑣，實(shí)質(zhì)有多次運(yùn)用同構(gòu)思想簡化運(yùn)算，利用二次函數(shù)的對稱性得到斜率關(guān)系，相比證法一減少了很多運(yùn)算量．而且有一個(gè)意外收獲，即kBN＝kMD，因此可知BN∥MD，由此可得命題2．

2．類比探究

橢圓與雙曲線有很多相似的性質(zhì)，于是考慮橢圓是否也具有相似的結(jié)論呢［1］？經(jīng)探究，可得如下命題：

以t＝kMD，即kBN＝kMD，所以BN∥MD．

評注：注意到點(diǎn)P是橢圓在點(diǎn)M處切線上的一點(diǎn)，由此考慮將命題3推廣到更加一般性的情況，得到如下命題．

如圖3，利用GeoGebra軟件，不難驗(yàn)證結(jié)論是正確的．命題4的證明方法類似命題3，因運(yùn)算較繁瑣，本文不再贅述，有興趣的讀者可以自行完成．

3．結(jié)語

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、演繹證明、反思與構(gòu)建等思維過程.圓錐曲線的定值問題的研究無窮無盡，需要師生堅(jiān)持不懈地探索與反思，這樣才會在學(xué)習(xí)中提升數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］何雪冰.學(xué)會“選擇” 綻放“精彩”——一道高考題的教學(xué)反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（04）：73-74.

［2］ 王中學(xué)，蔡忠芬.追根溯源求本質(zhì) 反思感悟探新知［J］.數(shù)學(xué)通訊，2021（04）：34-36+38.