1.真題再現(xiàn)

該題以等差數(shù)列為背景，考查三角函數(shù)周期性與數(shù)列的函數(shù)本質(zhì).先表示出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得函數(shù)y=cosan的周期為3，獲得函數(shù)的值域最多含有3個(gè)數(shù)，再根據(jù)集合元素的互異性確定函數(shù)值.

2.解法探究

思路1 利用三角函數(shù)的周期性

思路2 利用單位圓，數(shù)形結(jié)合.

解法2：由解法1可知cosa1，cosa2，cosa3中，cosa1=cosa2≠cosa3或cosa1≠cosa2=cosa3.

思路3 利用特殊值.

此題的設(shè)計(jì)創(chuàng)新點(diǎn)在于將函數(shù)的周期與等差數(shù)列相結(jié)合，三角函數(shù)的所有正周期按照由小到大順序排列就是一個(gè)等差數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)也是函數(shù)，從而獲得一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題，解法1主要是根據(jù)函數(shù)周期和值域S中元素個(gè)數(shù)建立三角方程，利用余弦曲線求解等差數(shù)列的首項(xiàng)，從而獲得等差數(shù)列通項(xiàng). 解法2是根據(jù)在單位圓中角α余弦的定義直觀觀察出a，b的值.

本題源于課本中等差數(shù)列的概念和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及三角函數(shù)的周期性，涉及數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).數(shù)列問(wèn)題可以從特殊到一般，也可以從一般入手研究數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而得到規(guī)律. 解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵是歸納、猜想、證明.

3.背景分析

4.變式及推廣

解：根據(jù)周期為5，由集合S元素的個(gè)數(shù)必有數(shù)列{an}前五項(xiàng)中兩項(xiàng)終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)且一項(xiàng)終邊在x上，所以5項(xiàng)正弦和為0，即T2025=0.

參考文獻(xiàn)

［1］教育部教育考試院.深入考查基礎(chǔ)知識(shí)和能力 助力人才選拔和“雙減”落地——2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析［J］.中國(guó)考試，2023（07）：15-21.