高考數(shù)學(xué)命題注重創(chuàng)新.在近年高考或各地模擬考試中，出現(xiàn)了許多結(jié)構(gòu)新穎、情境鮮活、“非同尋?！钡膭?chuàng)新命題，很好地考查了考生在新的信息、背景和設(shè)問(wèn)等命題形式下，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法，獨(dú)立地分析、思考和探索，進(jìn)而圓滿解答問(wèn)題的能力.本文擷取并分類解析出現(xiàn)在近年各地模擬考試中的創(chuàng)新題型，供參考.

例1（2023屆淮北市一模7）如圖1，對(duì)于Г線所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角α，使得對(duì)于曲線Г上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B恒有∠AOB≤α成立，則稱角α為曲線Г的相對(duì)于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線Г的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”.已知

點(diǎn)評(píng)：本題首先給出“界角”、“確界角”新定義，在理解新定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析曲線解析式的特點(diǎn)和性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和向量夾角公式求解，在考查新定義信息遷移的同時(shí)，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)及創(chuàng)新思維能力，新穎別致.

點(diǎn)評(píng)：本題以三角形的“圖形拼接”為載體，考查了識(shí)圖能力及正、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用.

例3 （2024屆“Fiddie學(xué)派”高考一模13）1995年，安德魯·懷爾斯成功證明了費(fèi)馬大定理：當(dāng)整數(shù)n＞2時(shí)，方程an+bn=cn沒(méi)有正整數(shù)解.而早在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉就證明了費(fèi)馬大定理中的情形.某同學(xué)想尋找情形的簡(jiǎn)單證明，即證“方程a3+b3=c3沒(méi)有正整數(shù)解”.他的證明過(guò)程為：若存在正整數(shù)a，b，c使得a3+b3=c3，

則a3=c3-b3①，所以a3=（c-b）（c2+cb+b2）②.

因?yàn)閍＜a2，并且c-b≤c2+cb+b2，所以a=c-b并且a2=c2+cb+b2③.消掉a，可得（c-b）2=c2+cb+b2④.于是c2-2ab+b2=c2+cb+b2⑤.所以3cb=0，從而b=0或c=0，這與b，c都是正整數(shù)矛盾⑥.

綜上，方程a3+b3=c3沒(méi)有正整數(shù)解.

該名同學(xué)的證明過(guò)程（填“正確”或“錯(cuò)誤”），如果你認(rèn)為證明過(guò)程錯(cuò)誤，首個(gè)錯(cuò)誤步驟的序號(hào)是（如果第一個(gè)填了“正確”，無(wú)需作答第二個(gè)空）.

解析：步驟①只進(jìn)行了移項(xiàng)，沒(méi)有問(wèn)題；步驟②只運(yùn)用了立方差公式，也沒(méi)有問(wèn)題；步驟③存在問(wèn)題，首先根據(jù)a≤a2，c-b＜c≤c2＜c2+cb+b2，并不能推出a=c-b并且a2=c2+cb+b2.這里其實(shí)我們也無(wú)法給出一個(gè)具體的反例，因?yàn)橛少M(fèi)馬大定理可知不存在正整數(shù)a，b，c使a3+b3=c3.由于注意到，若c-b=1，則b≥1，c≥2，于是a2=c2+cb+b2≥4+2+1=7，因此a≥2，這時(shí)是不可能有a=c-b的，所以步驟③是錯(cuò)誤的.故第一空填錯(cuò)誤；第二空填③.

點(diǎn)評(píng)：本題給出一種比較新穎的命題模式——從證明過(guò)程中找出錯(cuò)誤，很好地考查了考生的邏輯推理及數(shù)學(xué)思辨能力.

A.15 B.31 C.63 D.127

點(diǎn)評(píng)：本題將數(shù)列遞推關(guān)系滲透在向量的分解關(guān)系中，運(yùn)用向量知識(shí)得到數(shù)列遞推公式后轉(zhuǎn)化求解，是一道數(shù)列與向量有機(jī)結(jié)合的試題，頗為新穎.

點(diǎn)評(píng)：本題創(chuàng)新試題的設(shè)問(wèn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的公式化簡(jiǎn)題設(shè)條件，確定a，b的關(guān)系后，由此作出判斷的.

例6 （2023屆衡水中學(xué)綜合素養(yǎng)評(píng)價(jià)10）圓錐曲線為什么冠以圓錐之名？因?yàn)樗梢詮膱A錐中截取獲得.我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面去截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角θ不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與θ和圓錐軸截面半頂角α有如下關(guān)系（θ，α

有一定線段AB與平面β夾角φ（如圖5），B為斜足，β上一動(dòng)點(diǎn)P滿足∠BAP=γ，設(shè)P點(diǎn)在β的運(yùn)動(dòng)軌圖5跡Г是，則（ ）.

解析：由于AB是定線段，且∠BAP=γ為定值，因此動(dòng)點(diǎn)P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，其中圓錐軸截面的半頂角為γ，β與圓錐軸AB的夾角為φ.對(duì)于A，由于φ＞r，所以P點(diǎn)在平面β的運(yùn)動(dòng)軌跡Г是橢圓，所以A正確；對(duì)于B，由于φ＞r，所以P點(diǎn)在平面β的運(yùn)動(dòng)軌跡Г是橢圓，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于φ=r時(shí)，所以P點(diǎn)在平面β的運(yùn)動(dòng)軌跡Г是拋物線，所以C正確；對(duì)于D，由于φ＞r，所以P點(diǎn)在平面β的運(yùn)動(dòng)軌跡Г是橢圓，所以D正確.綜上，選ACD.

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓錐曲線名稱“由來(lái)”的背景材料，在對(duì)所給材料閱讀理解題的基礎(chǔ)上，設(shè)置“軌跡”判斷問(wèn)題，然后根據(jù)題中所給的材料信息，逐一分析作出判斷的.