1.試題呈現(xiàn)

題目 （2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第19題）已知函數(shù)f（x）=aex+a－x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

2.試題溯源

（1）課本題源：（人教版選擇性必修第二冊(cè)P99綜合運(yùn)用12題）

利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：（1）ex＞1+x，x≠0;（2）lnx＜x＜ex，x＞0.

（人教版選擇性必修第二冊(cè)P104拓廣探索18題）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.當(dāng)m≤2時(shí)，求證f（x）＞0.

（3）競(jìng)賽題源：（2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建省賽區(qū)）預(yù)賽）已知f（x）=ex，（1）當(dāng)x≥0時(shí)，不等式x－1f（x）≥mx2－1恒成立，求m的取值范圍.（2）求證：當(dāng)xgt;0時(shí)，f（x）gt;4lnx+8－8ln2.

3.試題探究

第（1）問(wèn)是考查函數(shù)的單調(diào)性，需要先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再進(jìn)行分類討論：

f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=aex－1，當(dāng)a≤0時(shí)， f′（x）lt;0，f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)agt;0時(shí)，令 f′（x）=0，得x=－lna，所以，當(dāng)x∈－∞，－lna時(shí)，f′（x）lt;0，f（x）在（－∞，－lna）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈－lna，+∞時(shí)，f′（x）gt;0，f（x）在－lna，+∞上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)， f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)agt;0時(shí)，f（x）在－∞，－lna上單調(diào)遞減，－lna，+∞上單調(diào)遞增.

第（ 2） 問(wèn)是多元變量導(dǎo)數(shù)不等式證明，用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題一般要通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明，其求解可以改變不等式結(jié)構(gòu)，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s處理，重新構(gòu)造函數(shù)證明不等式.就本題解題思路探究如下：

3.1 橫向探究

思路1：本題是有關(guān)證明f（x）gt;k的題型，關(guān)于x的函數(shù)，先求出f（x）的最小值.

思路2：移項(xiàng)構(gòu)造新函數(shù)g（x），求出新函數(shù)g（x）的最小值.

評(píng)注：把函數(shù)不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，構(gòu)造差函數(shù)的證法是函數(shù)不等式證明中最常規(guī)的方法.

思路3：局部位置放縮處理，重新構(gòu)造函數(shù)證明不等式處理.

評(píng)注：利用切線不等式ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào)）進(jìn)行放縮處理.

評(píng)注：利用切線不等式lnx≤x－1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到等號(hào)）進(jìn)行放縮處理.

評(píng)注：本解法借助同構(gòu)法與兩個(gè)切線不等式lnx≤x－1，ex≥x+1同時(shí)進(jìn)行放縮處理，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想，也體現(xiàn)了微積分中以直代曲，無(wú)限逼近的思想.

3.2 縱向探究

研究中可嘗試從多角度對(duì)本題進(jìn)行改編探究.

探究一：改變參數(shù)a的位置

已知函數(shù)f（x）=eax+a－x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

探究二：改變背景函數(shù)

已知函數(shù)f（x）=alnx+a－x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

探究三：加入三角元素

已知函數(shù)f（x）=ex－a－1x+cosx－2，證明：當(dāng)a≤1，xgt;0時(shí)，f（x）gt;0.

簡(jiǎn)解：f′（x）=ex－a+1－sinx≥e0－a+1－sinx=1－a+1－sinx≥0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）gt;f0=e0－a－1·0+cos0－2=0.

3.3 逆向探究

受上述探究的啟發(fā)，我們還可對(duì)上述題型進(jìn)行逆向探究，即對(duì)導(dǎo)數(shù)恒成立求參數(shù)范圍的一類問(wèn)題進(jìn)行研究，例如，

例1 （2017年全國(guó)Ⅱ卷文科第21題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=1－x2ex.（1）略;（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

例2 （2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷第22題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=xeax－ex.（1）略;（2）當(dāng)xgt;0時(shí)，f（x）lt;－1，求a的取值范圍.

例3 （2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=aex－1－lnx+lna.

（1）略;（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

對(duì)導(dǎo)數(shù)恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，可采用通過(guò)分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、變更主元、放縮法、端點(diǎn)效應(yīng)、必要性探路等方法進(jìn)行小結(jié)和歸類，并對(duì)多種方法混合運(yùn)用破解以上實(shí)例.

4. 感悟反思

一道好的數(shù)學(xué)試題，應(yīng)立足于考查考生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷第19題其命題立意深刻、設(shè)計(jì)新穎，具有典型性、示范性、引領(lǐng)性，是教學(xué)研究的良好素材.教學(xué)中要善于研究高考試題命題的背景與意圖，從教材例題、習(xí)題以及往年的高考題、競(jìng)賽試題中找到原型，通過(guò)對(duì)高考試題的多角度探究，尋找試題的命制本源和解法本源，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)改變不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，并達(dá)到靈活應(yīng)用，從而有效落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)培育，實(shí)現(xiàn)解決一道題收獲一系列題的學(xué)習(xí)目的.

參考文獻(xiàn)

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