函數(shù)切線問題一直是高考中比較頻繁出現(xiàn)的一個基本考點(diǎn)，考查題型往往涉及切線方程的要素確定與求解、參數(shù)值的求解或取值范圍的確定、切線條數(shù)的判定以及兩條切線的位置關(guān)系等相關(guān)問題．本文結(jié)合一道高考題加以說明.

1．真題呈現(xiàn)與剖析

該題以含有絕對值的指數(shù)型函數(shù)為問題背景，以一個分段函數(shù)所對應(yīng)圖象的兩部分分別作切線，形成“一（函數(shù)）拖二（段圖象）”形式，結(jié)合過圖象上兩點(diǎn)的切線互相垂直并分別與y軸確定相應(yīng)的交點(diǎn)，建立這兩點(diǎn)與y軸上交點(diǎn)的連線，求解所確定的線段長度的比值的取值范圍．本題巧妙融合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的相關(guān)知識，有“數(shù)”有“形”，有“動”有“靜”，是一道新穎性強(qiáng)、融合度高的創(chuàng)新題．

具體破解時，可以從代數(shù)視角切入，借助代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理進(jìn)行分析；也可以從幾何視角切入，借助數(shù)形結(jié)合與邏輯推理進(jìn)行分析．不同思維視角切入，而破解的關(guān)鍵就是抓住導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立兩切線垂直關(guān)系所對應(yīng)的參數(shù)值之間的關(guān)系，進(jìn)而或代數(shù)運(yùn)算，或幾何直觀，巧妙推理，合理辨析，正確破解．

2．真題破解

評注：方法1通過參數(shù)的正負(fù)取值情況以及對應(yīng)的函數(shù)解析式，分別求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定相應(yīng)的切線斜率，結(jié)合兩切線互相垂直建立有關(guān)斜率的關(guān)系式，進(jìn)而確定參數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合弦長公式的應(yīng)用來轉(zhuǎn)化相應(yīng)的比值關(guān)系，結(jié)合參數(shù)的消元處理，利用變量的取值情況確定對應(yīng)比值的取值范圍．而方法2主要是利用函數(shù)圖象的數(shù)形結(jié)合處理，通過直角三角形的相似的性質(zhì)應(yīng)用，以及直線的斜率定義，結(jié)合函數(shù)圖象的特征來確定對應(yīng)角的正切值的取值范圍，即為對應(yīng)比值的取值范圍．

3．變式拓展

探究1 通過改變函數(shù)的解析式，化指數(shù)型函數(shù)為對數(shù)型函數(shù)，以及交點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，其他條件保留不變，得到新的一個變式問題．

探究2 改變問題的設(shè)置角度，從同一點(diǎn)出發(fā)作指數(shù)函數(shù)的兩條切線，進(jìn)而確定相關(guān)代數(shù)式之間的關(guān)系．

變式2 （2021年新高考Ⅰ卷第7題）若過點(diǎn)（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（）.

A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea

解析：由于函數(shù)y=ex是定義域R上的增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)y′=ex＞0恒成立，設(shè)切點(diǎn)為（t，et），則切線方程為y=et（x－t）+et，則有b=et（a－t）+et，整理可得（t－a－1）et+b=0，構(gòu)造函數(shù)f（t）=（t－a－1）et+b，求導(dǎo)可得f′（t）=（t－a）et，由f′（t）=0解得t=a，則知當(dāng)t∈（－∞，a）時函數(shù)f（t）單調(diào)遞減，當(dāng)t∈（a，+∞）時函數(shù)f（t）單調(diào)遞增，而由題意可知，f（t）=0有兩解，所以f（t）min=f（a）=－ea+blt;0，即blt;ea；又因?yàn)楫?dāng)t→+∞時，f（t）→+∞，則存在x1∈（a，+∞），使得f（x1）=0，而當(dāng)t→－∞時，f（t）→b，則應(yīng)有bgt;0，此時存在x2∈（－∞，a），使得f（x2）=0.綜上可得0lt;blt;ea，故選D．

4．教學(xué)啟示

解決相應(yīng)的單切線問題，主要是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，借助曲線在切點(diǎn)（x0，y0）處的斜率k=f′（x0）來展開，可以很好地解決一些涉及切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率、切線方程、參數(shù)值以及相關(guān)應(yīng)用問題等．單切線的破解關(guān)鍵就是進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，并建立關(guān)系式k=f′（x0）．而解決相應(yīng)的多切線問題，也是在利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義的基礎(chǔ)上，借助其中一條切線方程的設(shè)置或求解，再與另一條切線建立題目條件情境的關(guān)系式，進(jìn)而加以分析與應(yīng)用．破解的關(guān)鍵就是從給定的曲線入手，建立關(guān)系，合理串聯(lián)，巧妙轉(zhuǎn)化．