一、習(xí)題及其解

分析：中點(diǎn)弦問題，可使用點(diǎn)差法解決，避免復(fù)雜的運(yùn)算．當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，可得直線l方程，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法，假設(shè)點(diǎn)P（1，1）為線段AB的中點(diǎn)，可得直線l的斜率，進(jìn)而可得直線l的方程，與雙曲線聯(lián)立，判別式Δlt;0，方程無解，l不存在，綜合即可得答案．

綜上，點(diǎn)P不能是線段AB的中點(diǎn)．

二、習(xí)題探究

探究1 為什么直線方程求出來以后，需要與雙曲線方程聯(lián)立，驗(yàn)證直線與雙曲線是否相交？

這是因?yàn)辄c(diǎn)差法的不等價(jià)性．使用點(diǎn)差法的時(shí)候，是假設(shè)P為線段AB中點(diǎn)，從而得到x1+x2=2，y1+y2=2，而這個(gè)假設(shè)可能會(huì)不成立，存在不確定性，所以求出直線方程后需要與雙曲線方程聯(lián)立驗(yàn)證是否相交．

探究2 之前學(xué)習(xí)橢圓的時(shí)候，也有類似的利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題，當(dāng)時(shí)卻沒有強(qiáng)調(diào)驗(yàn)證相交的問題，利用點(diǎn)差法解決橢圓的中點(diǎn)弦問題需要驗(yàn)證嗎？

探究3 不用根的判別式，是否有其他方法可以判定直線l不存在？

下面再證明結(jié)論1：

B，且P是線段AB的中點(diǎn)．

（3）當(dāng)x0gt;0且y0gt;0時(shí)，此時(shí)P在第一象限，三個(gè)區(qū)域分別討論：

（4）利用對(duì)稱性，易得P在第二、第三、第四象限時(shí)，在對(duì)應(yīng)的區(qū)域Ⅰ及區(qū)域Ⅱ，都存在直線l，使得P是線段AB的中點(diǎn)，在對(duì)應(yīng)的區(qū)域Ⅲ，都不存在直線l，使得P是線段AB的中點(diǎn)．

綜上所述，結(jié)論1成立．

三、變式練習(xí)

利用上述結(jié)論，可以快速判斷某個(gè)點(diǎn)作為中點(diǎn)作直線與雙曲線是否相交的問題．

A．0，2 B．－1，2 C．1，1 D．1，4

參考文獻(xiàn)

［1］ 章建躍，李增滬．普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)［M］．北京：人民教育出版社，2020：128.