一、習(xí)題呈現(xiàn)與分析

試題 （多選）已知圓O：x2+y2=4，直線l：x+y+m=0，則下列結(jié)論正確的有（ ）.

A.當(dāng)m=2時，直線l與圓O相交

D.若直線l上存在點P，圓O上存在兩點A，B，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是［－4，4］

有6個未知數(shù)，無法構(gòu)建m的不等式.

面對這樣的兩種原因，筆者也嘗試從幾何與代數(shù)兩方面進行探究，以期和大家交流.

二、解法探究

分析1：由于直線l的斜率為定值，要求m的范圍，實際上是求直線l在y軸上的截距的取值范圍.因為點P在直線l上，A，B兩點在圓O上，且使得∠APB=90°.所以從幾何角度考慮，就是要求以圓O上任意兩點A，B為直徑的圓與直線l有公共點即可.由于以圓O上任意兩點A，B為直徑的圓的半徑所屬范圍（0，2］.因此，我們只需要求出其中一個圓，使得直線l與其有公共點且在y軸上的截距取得最值即可.

解法1：如圖1，A，B兩點是圓O上任意兩個不同的點，以線段AB為直徑作圓C.對于一個固定的圓C來講，若直線l與圓C相交，則直線l在y軸上的截距取不到最值.因此，只有當(dāng)直線l與圓C相切時，直線l在y軸上的截距才能取到最值.但是，此時直線l與圓C的切點不一定是離點O最遠的點.所以，我們只需要找到一個圓C，使得該圓上離點O距離最遠的點同時也是直線l與圓C的切點即可.假設(shè)以線段AB為直徑的圓C的半徑為r，點M是圓C上離點O最遠的

分析2：從直線l與圓O的位置關(guān)系入手.若直線l與圓O相交或相切，則只需要線段AB為圓O的一條直徑就可滿足條件.因此，只需考慮直線l與圓O相離的情形.

解法2：如圖3，直線PC和PD是圓O的任意兩條割線，直線PA和PB是圓O的兩條切線，從圖可看出，∠CPD≤∠APB.也就是說，若A，B兩點是圓O上任意兩個不同的點，點P是圓O外的任意一點，當(dāng)且僅當(dāng)PA和

評注：解法1和解法2都是基于幾何直觀解答.解法1解決了以線段AB為直徑的圓上離點O距離最遠的點的軌跡問題（一般地，設(shè)圓O：（x－a）2+（y－b）2=r2（rgt;0），則以圓O的任意弦AB為直徑的圓上的點的軌跡方程為（x－a）2+（y－b）2=2r2），并且利用直線l與此圓相切求出了答案.從該解法中可以看出，問題的關(guān)鍵不是直線l上存不存在點P，關(guān)鍵在于求出以線段AB為直徑的圓上離點O距離最遠的點的軌跡，只要求出了這個軌跡，直線不管是斜率固定還是截距固定，還是沒有任何特征的直線，都是當(dāng)直線與這個軌跡相切時取得最值.并且，也可以將直線換成其他的幾何圖形.解法2從直線l與圓O的位置關(guān)系入手，先討論了與圓O相交和相切的情形，再討論了相離的情形.另外，從解法2中還獲得了一些額外的知識，如，∠APB取最大值時的幾何條件，進一步的可得解法1中以線段AB為直徑的圓上離點O距離最遠的點的軌跡實際上圓O外一點P作圓O的兩條切線，當(dāng)兩條切線互相垂直時的點P的軌跡.解法3依靠于解法2，學(xué)生之所以沒有順利解決，一個是沒有考慮到臨界時刻，導(dǎo)致方程無法化簡，另一個是對方程有解，不等式有解的處理方法不熟悉.解法3缺失了部分直觀因素，但是對于邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的提升是有幫助的.

三、直接變式

對于本題可從線段的長度，夾角的大小，動點軌跡等角度入手變式.將直線固定，圓的半徑變化，可得：

變式1 設(shè)圓O：x2+y2=r2（rgt;0），直線l：x+y+4=0，若直線l上存在點P，圓O上存在兩點A，B，使得∠APB=90°，則r的取值范圍是.

保持圓O不變，將直線換成動圓，可得：

變式2 設(shè)圓O：x2+y2=4，圓N：（x－m）2+（y－m）2=4，若圓N上存在點P，圓O上存在兩點A，B，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是 .

保持圓O不變，改變直線的幾何特征，可得：

變式3 設(shè)圓O：x2+y2=4，直線l：y=k（x－3），若直線l上存在點P，圓O上存在兩點A，B，使得∠APB=90°，則k的取值范圍是 .

讓A，B兩點在直線l上，點P在圓上，可得：

這是線段AB的最小值.隨著A，B兩點在直線上運

保持直線不變，將圓換成橢圓，可得：

當(dāng)然，也可以將圓換成雙曲線或者拋物線等等，在此不再贅述.通過前面的解法分析，對于本題還可以研究長度，角度，面積，軌跡等問題.下面以長度和角度給出幾個引申變式，以供參考.

四、引申變式

引申1 設(shè)圓O：x2+y2=4，直線l：x+y+4=0，點P在直線l，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，求切線長的最小值.

設(shè)計意圖：本題意圖在于鞏固學(xué)生對切線的掌握，還可以在直線中設(shè)置參數(shù)，已知切線長的最小值，求參數(shù)的值，同時也可設(shè)置成求四邊形OAPB的面積最小值問題.

解：由于|MN|=2是定長，故線段MN的中點H在圓（x－1）2+y2=3（從前面的解法1中獲得方法）上運動，如圖5，作M關(guān)于N的對稱點M′，N關(guān)于M的對稱點N′，則有|M′N|=|MN|=|MN′|=6，且線段M′N′的中點與線段MN的中點H重合.從而M′和N′在圓（x－1）2+y2=12上運

設(shè)計意圖：本題的設(shè)計一是強化前面解法1中的體現(xiàn)出來的圓內(nèi)定弦的中點軌跡問題，二是考查向量的轉(zhuǎn)化以及圓上動點與直線上動點的距離最值問題的求解方法.

引申3 設(shè)P（1，m），圓C：（x+2）2+y2=4，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求sin∠ACB的最大值.

設(shè)計意圖：本題的設(shè)置意在強化解法2中的兩條切線張角最大問題.從本題可以看出，當(dāng)|PC|最小時，∠APB最大，此時∠ACB最小.如果點∠APB沿著直線朝無窮遠處移動時，∠APB在變小，而∠ACB在增大且無限接近于π.可得如下結(jié)論：若點P在直線l上運動，當(dāng)圓心距離P最近時，∠APB最大.此時，圓心與點P的連線垂直于直線l.

五、教學(xué)思考

習(xí)題評講課是日常教學(xué)不可或缺的一個環(huán)節(jié)，有效的習(xí)題評講課有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)解題的過程中“四基”得到鞏固，“四能”得到提高.那么，習(xí)題的評講要怎樣才是有效的呢？才是成功的呢？可以肯定的是對答案不加思索，照本宣科肯定不可取，對習(xí)題的挖掘只停留在表面也是不可取的.如果學(xué)生聽完一道題目的講解，只收獲了該題的答案，而沒有收獲經(jīng)驗，提高能力，提升素養(yǎng).那么，這樣的講評是無效的.基于此，筆者嘗試給出下列想法.

5.1 立足學(xué)情，精心設(shè)計

在講評之前，應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的答題情況.調(diào)查學(xué)生試題答錯的原因，弄清到底是學(xué)生的能力不足，還是試題本身超出學(xué)生的認知水平，亦或者是學(xué)生根本就沒認真作答.弄清原因之后，要對癥下藥，精心設(shè)計，逐個擊破學(xué)生的障礙.

5.2 問題引導(dǎo)，啟發(fā)思考

在講評過程中，要設(shè)置有啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，開展多種教學(xué)活動，盡可能地讓每一位學(xué)生都參與進來.對于不同層次的問題應(yīng)當(dāng)采取不同的教學(xué)方法，借助不同的教學(xué)手段.例如，對于抽象程度較高的問題，應(yīng)當(dāng)借助數(shù)學(xué)軟件直觀演示，以化解問題難度.對于試卷中的壓軸題，應(yīng)當(dāng)采取合作探究為好，給學(xué)生留下思考，交流表達時間.

5.3 積極反思，變式鞏固

在講評結(jié)束后，應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生做好解后反思.并將反思以問題鏈的形式給出.如對本文中例題教學(xué)的反思問題鏈可考慮：請大家評價一下這幾種方法（從運算量，思維能力，是否容易想到等方面）；從3種解法中還能夠獲得什么（方法是否可以遷移，能不能得出新結(jié)論等方面）等等

最后，還要對原題進行改編，以便于學(xué)生鞏固學(xué)到的知識和經(jīng)驗.在編制變式題的時既要有知識鞏固型變式，方法遷移運用型變式，也要有問題引申型變式，即橫向變式和縱向變式或橫縱向交叉變式.