相較于常規(guī)的函數(shù)最值問題，含有根式的函數(shù)最值問題較為復(fù)雜.解答此類問題的關(guān)鍵在于采用適當(dāng)?shù)募记扇サ舾?hào)，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)最值問題來求解.下面以一道根式函數(shù)最值題為例，探討一下求解此類問題的方法.

例題：求函數(shù)y=3+的最大值.

該函數(shù)式涉及了兩個(gè)根式，無(wú)法直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求最值，需先求得函數(shù)的定義域；然后將函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、?gòu)造，以從新的角度找到解題的思路.

一、三角換元法

對(duì)于含有根式的函數(shù)，通?？梢酝ㄟ^三角換元來去掉根式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，以利用三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性來求最值.在換元時(shí)，通常要將根式或根號(hào)下的式子用三角函數(shù)替換，再通過三角恒等變換將函數(shù)式化為只含一種三角函數(shù)名稱的式子，這樣便于快速求得最值.

解：y=3+=3+×，所以1≤x≤4，則0≤≤1.

設(shè)=sin2θ，θ∈[0，]，所以x=3 sin2θ+1，

所以y=3+=3 sinθ+cosθ

=sin（θ+φ），其中tanφ==，

則當(dāng)θ+φ=時(shí)，y取最大值.

運(yùn)用三角換元法解題的關(guān)鍵在于合理設(shè)元，以根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式等去根號(hào)，將函數(shù)式化簡(jiǎn).值得注意的是，對(duì)于根式，需確保其有意義，并據(jù)此確定函數(shù)的定義域以及換元后角的取值范圍.

二、構(gòu)造向量法

向量是連接代數(shù)與幾何的“橋梁”.對(duì)于含有根式的函數(shù)，我們可以將其與向量的模、數(shù)量積、幾何意義等關(guān)聯(lián)起來，構(gòu)造出合適的向量模型，就可以直接利用向量的數(shù)量積、向量三角不等式等來求最值.

解：

我們將目標(biāo)式視為兩個(gè)向量 α =（3， 2）、β=（ x - 1， 4 - x） 的數(shù)量積，即可利用向量不等式 α?β= |α|?|β|? cos lt; α，βgt; ≤ |α|?|β| 求得目標(biāo)式的最值.

三、數(shù)形結(jié)合法

在求根式函數(shù)的最值受阻時(shí)，我們可以轉(zhuǎn)換思考問題的角度，將根式視為兩點(diǎn)之間的距離、圓的方程、反比例函數(shù)等，將“數(shù)”化“形”，這樣便可借助幾何圖形來尋找目標(biāo)式取得最值的情形，從幾何角度找到問題的答案.

解：

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題，需仔細(xì)研究目標(biāo)式，挖掘其幾何意義，構(gòu)造出合適的幾何圖形，以根據(jù)圖中點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)解題.

四、導(dǎo)數(shù)法

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求根式函數(shù)的最值，需先根據(jù)求導(dǎo)公式（xn）′=nxn-1以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則yx′=yu′?ux′對(duì)函數(shù)式求導(dǎo)；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值，從而求得函數(shù)的最值.

解：

一般地，對(duì)根式函數(shù)求導(dǎo)的過程較為復(fù)雜，且運(yùn)算量較大，容易出錯(cuò)，同學(xué)們需謹(jǐn)慎計(jì)算，避免出錯(cuò).

一般來說，三角換元法、數(shù)形結(jié)合法比較常用，構(gòu)造向量法較為靈活，導(dǎo)數(shù)法較為復(fù)雜.雖然根式函數(shù)最值問題較為復(fù)雜，但是我們只要靈活運(yùn)用三角換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造向量法、導(dǎo)數(shù)法，就能順利破解難題.

（作者單位：江蘇省鹽城市第一中學(xué)）