【摘 要】初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)歷來是教研重點(diǎn)，也是課程建設(shè)的一個(gè)難點(diǎn)。檢索發(fā)現(xiàn)，當(dāng)下關(guān)于“初高中銜接”類文獻(xiàn)多是從高中視角開展的研究或提出的教學(xué)建議。從初中視角看初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)，可以重點(diǎn)關(guān)注以下方面：初高中研究路徑的銜接、初高中思想方法的銜接、初高中解題策略的銜接、初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；初高中銜接；研究路徑；思想方法；解題策略；數(shù)學(xué)知識(shí)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）39-0041-05

【作者簡(jiǎn)介】劉東升，江蘇省南通市教育科學(xué)研究院（江蘇南通，226006）初中數(shù)學(xué)教研員，高級(jí)教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在“前言”的“主要變化”中特別提出“加強(qiáng)了學(xué)段銜接”，既要注重幼小銜接，也要重視小初銜接，同時(shí)還提到“了解高中階段學(xué)生特點(diǎn)和學(xué)科特點(diǎn)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備”［1］4。而“學(xué)段之間的銜接歷來是課程建設(shè)的一個(gè)難點(diǎn)”［2］2。檢索發(fā)現(xiàn)，當(dāng)下關(guān)于“初高中銜接”類文獻(xiàn)多是從高中視角開展的研究或提出的教學(xué)建議。本文基于初中視角提出初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的一些思考與建議。

一、構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，注重初高中研究路徑銜接

新課標(biāo)在課程實(shí)施的“教學(xué)建議”中指出：“核心素養(yǎng)是在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中逐漸形成的，核心素養(yǎng)在不同學(xué)段的主要表現(xiàn)體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的階段性和各階段之間的一致性?！保?］85

章建躍博士曾對(duì)一節(jié)“圓與圓的位置關(guān)系”課例做出深度評(píng)析，提醒初中教師在教學(xué)“圓與圓的位置關(guān)系”時(shí)要抓住重點(diǎn)（從定性分析到定量刻畫，從概念出發(fā)研究性質(zhì)）、突破難點(diǎn)（利用極端位置，采取先易后難的策略），并指出要努力“構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考”。［3］上述教學(xué)建議中提到的“研究路徑”不但對(duì)于初中學(xué)段平面幾何的同類課題（如點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等）的教學(xué)具有普遍指導(dǎo)價(jià)值，同樣也有利于高中階段立體幾何、解析幾何的教學(xué)銜接。

王紅權(quán)老師選取初中起始階段七年級(jí)有理數(shù)和幾何圖形初步的教學(xué)內(nèi)容，給出具體的教學(xué)設(shè)計(jì)，從操作層面詳細(xì)解讀了“小初銜接”的主要內(nèi)容，包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言（研究工具）、學(xué)習(xí)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路（研究方式）和發(fā)展適合初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法（學(xué)習(xí)習(xí)慣）。［4］可以發(fā)現(xiàn)，王老師在該文中給出的雖然是“小初銜接”教學(xué)指導(dǎo)，實(shí)則也指明了“初高中銜接”的教學(xué)要義。因?yàn)?，這與章建躍博士所指出的“初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接任務(wù)應(yīng)包括知識(shí)技能、語言表達(dá)、思想方法、思維方式等方面”［2］4是“一脈相承”的。

還可提及，初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)二次函數(shù)y=ax2圖象時(shí)，應(yīng)該注重由“數(shù)（式）”想“形”的過程，即引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式，探索它的圖象可能具有什么特征，再由“形”想“數(shù)”，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的一些變化規(guī)律。這樣，學(xué)生在高中學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的圖象時(shí)，就有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。筆者二十多年來跟隨全國著名特級(jí)教師李庾南老師學(xué)習(xí)，李老師在教學(xué)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，都是采取了先由“數(shù)（式）”想“形”，再由“形”想“數(shù)”的研究路徑，并且經(jīng)過多輪次的培訓(xùn)、觀摩與評(píng)課指導(dǎo)后，目前南通地區(qū)初中函數(shù)圖象和性質(zhì)的教學(xué)中，老師們大多采取上述做法。

二、精選典型問題變式教學(xué)促進(jìn)深度思考，注重初高中思想方法銜接

日本數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中提到“貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)中的精神”，包括“充滿在整個(gè)數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一建設(shè)的精神”，并指出很多同類問題“無論表面上看來多么不同，都可用同樣的方法處理”。［5］人民教育出版社課程教材研究所姜航高級(jí)編輯指出，“初高中銜接不僅要關(guān)注知識(shí)的補(bǔ)充，更重要的是還要以知識(shí)為載體培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法”［6］。初中教材上有很多典型問題，如何發(fā)揮這些典型問題的教學(xué)價(jià)值是一個(gè)值得深入探討的教研課題。筆者以為，重視典型問題的變式教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度思考，感悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，可以促進(jìn)初高中思想方法上的銜接。

以“雞兔同籠”問題為例。這類問題學(xué)生在小學(xué)時(shí)往往就作為算術(shù)題練習(xí)過，但是常常不能理解所列算式，到了七年級(jí)學(xué)習(xí)方程（組）之后，理解起來就比較自然、順利。這說明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)展和新工具的出現(xiàn)，使得原先較難的問題變得簡(jiǎn)單，學(xué)生也就感受到“從算術(shù)到方程”的解法優(yōu)勢(shì)。這個(gè)過程不但讓學(xué)生學(xué)會(huì)了經(jīng)典問題的不同解法，初步感悟方程思想方法的威力，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓他們對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識(shí)、工具充滿期待，使得非認(rèn)知因素在數(shù)學(xué)銜接上的價(jià)值得到彰顯。

再如，“三角形角平分線”問題。高中學(xué)生解三角形問題時(shí)，常常要用到三角形的角平分線所帶來的比例性質(zhì)，而初中幾何教材對(duì)這一性質(zhì)并沒有直接提及。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師可以圍繞一些典型習(xí)題適時(shí)變式、補(bǔ)充拓展。例如，八年級(jí)學(xué)習(xí)全等三角形之后，常常會(huì)訓(xùn)練這樣一道習(xí)題。

習(xí)題1：如圖1，△ABC中，BD是三角形角平分線。求證[S△ABDS△BCD] = [ABBC]。

八年級(jí)教學(xué)時(shí)如果只是滿足于作出兩條垂線段，利用面積法證出結(jié)論（見下頁圖2），則是“入寶山而空返”。此時(shí)教師應(yīng)該追問學(xué)生，如何證出[ABBC] = [ADDC]。待到九年級(jí)學(xué)習(xí)相似三角形之后，可再構(gòu)造如圖3這樣的平行線，再次證明角平分線的性質(zhì)。此種方式可以讓學(xué)生感受到隨著所學(xué)知識(shí)的增多、新工具的出現(xiàn)，對(duì)典型問題的解決又新增了不同方法。這也正如章建躍博士所指出的，“數(shù)學(xué)思想方法不僅蘊(yùn)含在一個(gè)個(gè)概念、原理中，更體現(xiàn)在概念的體系、知識(shí)的聯(lián)系中”。在銜接教學(xué)中，“對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行回顧整理，用新的語言進(jìn)行再表達(dá)，形成思想性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性更強(qiáng)的認(rèn)識(shí)”［2］3。

三、訓(xùn)練“程序性解題”要避免思維定式，注重初高中解題策略銜接

我國著名數(shù)學(xué)教育家曹才翰先生曾指出：“初中代數(shù)教材中，大量的是按法則、公式的形式出現(xiàn)，而這些法則、公式大都是帶有程序性的?！保?］具體來說，一元一次方程（不等式）、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程等解法都帶有“程序性解題”的特征。當(dāng)然，代數(shù)“程序性解題”有其積極的一面，比如有利于形成技能，大面積提升解題教學(xué)質(zhì)量。但是，過量的“程序性解題”容易造成思維定式，對(duì)學(xué)生思維靈活性的發(fā)展無益。比如，下面這道七年級(jí)一元一次方程的習(xí)題。

習(xí)題2：若關(guān)于x的一元一次方程[12023]x + 4 =3x + m的解是x = -2023，那么關(guān)于y的一元一次方程[12023]（y - 1） -4 = 3y - m - 3的解是 。

解法分析：如果只是想到常規(guī)“程序性解題”思路，由已知條件，將x = -2023代入所給的關(guān)于x的方程，求出m的值，再代入關(guān)于y的一元一次方程，求出y，解法比較繁瑣，沒有體現(xiàn)出思維靈活性。如果能認(rèn)真觀察所給的兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征，將關(guān)于y的一元一次方程恰當(dāng)變形為[12023]（1-y）+4 = 3（1-y）+m，對(duì)比關(guān)于x的方程的結(jié)構(gòu)特征，可以直接看出1-y = -2023，求出y = 2024。

讓我們?cè)賮砜匆坏栏呖碱}。

習(xí)題3：（2022年全國高考甲卷）已知△ABC中，D在邊BC上，∠ADB = 120°，AD = 2，CD = 2BD。當(dāng)[ACAB]取得最小值時(shí)，BD = ____。

解法分析：設(shè)BD = x，CD = 2x，運(yùn)用余弦定理，在△ACD，△ABD中可分別得出：AC2 = 4x2-4x+4，AB2 = x2+2x+4。要使[ACAB]取得最小值，即[AC2AB2]最小，也就是要分析[4x2-4x+4x2+2x+4]的最小值。對(duì)這個(gè)分式最小值的分析有不同的方法，讓我們從恰當(dāng)變形的角度做如下處理：

[4x2-4x+4x2+2x+4] = [4（x2+2x+4）-12x-12x2+2x+4] =4-12·[x+1x2+2x+4]=4-12·[x+1（x+1）2+3]=4-[12（x+1）+3x+1] 。

連續(xù)“逆向”變形，直到出現(xiàn)基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，可得（x+1）+[3x+1]≥2[3]，此時(shí)[AC2AB2]≥4-2[3]，當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）2 = 3時(shí)（x = [3]-1或-[3]-1（舍去））可取等號(hào)，故BD = [3]-1。

寧連華教授針對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)新高考中答題素養(yǎng)上的四個(gè)不足：想得不深、變得不當(dāng)、算得不好、寫得不精，建議數(shù)學(xué)教學(xué)要重視“教深度思考，教合理變換，教運(yùn)算思維，教精準(zhǔn)表達(dá)”。［8］從本文關(guān)注的初高中銜接教學(xué)來看，在初中階段開展必要的“程序性解題”訓(xùn)練的同時(shí)，還應(yīng)該重視像“習(xí)題2”這樣“合理變換”的解題策略，為學(xué)生進(jìn)入高中處理類似“習(xí)題4”連續(xù)“逆向變形”進(jìn)行解題策略上的銜接訓(xùn)練。

四、采取螺旋方式逐漸拓展加深課程內(nèi)容，注重初高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接

新課標(biāo)在“課程內(nèi)容的呈現(xiàn)”中明確提出，“根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，適當(dāng)采取螺旋式的方式，適當(dāng)體現(xiàn)選擇性，逐漸拓展和加深課程內(nèi)容，適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展需求”［1］3。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，采取螺旋上升的方式對(duì)一些前后聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)逐漸拓展并加深，的確有利于提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí)。以下選取高中階段基本不等式、二項(xiàng)式定理兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建出初中階段螺旋上升式的知識(shí)生長(zhǎng)圖示（如圖4）。

從圖4可見，七年級(jí)一些基礎(chǔ)知識(shí)在八年級(jí)學(xué)習(xí)完全平方式、九年級(jí)學(xué)習(xí)圓和相似之后，可以融合在一起如“藤蔓一樣繼續(xù)生長(zhǎng)”［9］，自然而然地拓展出高中基本不等式和二項(xiàng)式定理的雛形。至于對(duì)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的深刻理解、系統(tǒng)梳理并繼續(xù)運(yùn)用它們解題，則留待高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)探究。

本文主要是從初中角度看初高中銜接教學(xué)，對(duì)于初中學(xué)段七、八、九三個(gè)年級(jí)的銜接也有一定的啟示。當(dāng)初中各個(gè)年級(jí)的任課教師都能“站在高處”理解“學(xué)材”（教學(xué)內(nèi)容）時(shí)，也就能更好地把握重點(diǎn)、看清難點(diǎn)，從而在本年級(jí)教學(xué)過程中做到削枝強(qiáng)干、突出重點(diǎn)。特別是面對(duì)一些對(duì)后續(xù)銜接教學(xué)意義不大的人為編造的“無趣題”時(shí)，也就能果斷刪減、及時(shí)舍棄。在一定意義上說，這也正是為“切實(shí)減輕學(xué)生過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)”做出一份貢獻(xiàn)吧！

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