摘要：范氏氣態(tài)方程考慮了氣體分子體積壓強和分子引力壓強，所以，范氏氣體的內能也應考慮分子體積勢能和分子引力勢能，而以往大學物理教材給出的范氏氣體內能公式是沒有考慮分子體積勢能的，顯然是不符合實際的。下面將在以往大學物理教材給出的范氏氣體內能公式的基礎上，結合范氏氣體的勢能曲線圖，導出考慮分子體積勢能的范氏氣體內能公式的積分式，并進行了驗證。其作為擴展內容，在補充說明中又提出了考慮體積勢能的范氏氣體內能公式的簡化式，范氏氣體定壓熱容公式，一般氣體定壓熱容公式，一般氣體內能方程。

關鍵詞：范氏氣體內能；理想氣體內能；體積勢能；引力勢能

1公式的導出

以往大學物理教材給出的N摩爾范氏氣體內能公式為：

U=CVT-N2aV（1）

式中：U——范氏氣體內能；CVT——理想氣體內能；-N2aV——分子引力勢能。

由范氏氣體勢能曲線可見，式（1）的適用范圍是分子間距離r>d（d為分子有效直經）時，如果在r=d時，則式（1）應修正為：

U=CVT+E體-N2aV（2）

式中：E體——分子體積勢能。

范氏氣體膨脹時，增加的分子體積勢能，等于反抗分子體積壓強所做的功，而分子體積壓強P體所做的功微分式為：

dA=P體dV=NRTV-bN-NRTVdV=N2bRT（V-bN）VdV（3）

則分子體積勢能的增量為：

dE體=-dA=-N2bRT（V-bN）VdV（4）

對式（4）積分得：

E體=-∫N2bRT（V-bN）VdV（5）

式（5）便是體積勢能E體的公式。

把式（5）代入式（2）得：

U=CVT-∫N2bRT（V-bN）VdV-N2aV（6）

式（6）便是考慮體積勢能的范氏氣體內能公式。

2公式的驗證

由式（6）可見，分子勢能（體積勢能和引力勢能）為：

E勢=-∫N2bRT（V-bN）VdV-N2aV（7）

E勢VT=dE勢dV=-N2bRT（V-bN）V+N2aV2（8）

在V=2bN，T=a2Rb的情況下，式（8）可簡化為：

E勢VT=-N2aV2+N2aV2=0（9）

因為在等壓最大值參量V=2bN，T=a2Rb的情況下范氏氣體可過渡到理想氣體，所以在這種情況下，勢能E勢隨體積V的變化率E勢VT必定等于零（和理想氣體一樣），由式（9）可見，E勢VT=0，這就驗證了式（6）是符合實際的，是正確的（這一驗證叫焦耳實驗）。

對于范氏氣體有：

N2aV2=TPTV-P（10）

把式（10）代入式（8）得：

E勢VT=-N2bRT（V-bN）V+TPTV-P（11）

式（11）便是考慮體積勢能的范氏氣體內能方程，而范氏氣態(tài)方程可寫為：

P=NRTV+N2bRT（V-bN）V-N2aV2（12）

則TPTV的表達式為：

TPTV=NRTV+N2bRT（V-bN）V（13）

把式（13）、式（12）代入式（11）得：

E勢VT=-N2bRT（V-bN）V+N2aV2（14）

可見，式（14）就是式（8），這就從氣體的內能方程來驗證了式（6）是符合實際的，是正確的。

3補充說明

由式（5）得：

E體=-∫N2bRT（V-bN）VdV=-∫N2bRT1-bNVV2dV（15）

對式（15）直接積分很困難，但在式（15）中，1bNV，所以可把1-bNV近似看作常量，這樣，也就可以把N2bRT1-bNV近似看作常量，則由式（15）得：

E體=-N2bRT1-bNV∫dVV2=-N2bRT1-bNV-1V+C（16）

式（16）中，C為積分常量，如果取氣體無限稀薄時，分子間的勢能為零，則C=0，則由式（15）、式（16）得：

E體=-∫N2bRT（V-bN）VdV=N2bRT1-bNVV=N2bRT（V-bN）（17）

把式（17）代入式（6）得：

U=CVT+N2bRT（V-bN）-N2aV（18）

式（18）便是式（6）的簡化式：

在V=2bN，T=a2Rb的情況下，式（18）簡化為：

U=CVT+N2aV-N2aV=CVT（19）

式（19）正是焦耳實驗的結果。這就驗證了式（18）和式（6）一樣，是符合實際的，是正確的。

在式（17）中，求E體對V的導數得：

dE體dV=dN2bRT1-bNVVdV（20）

在式（20）中，同樣把N2bRT1-bNV近似看作常量，則：

dE體dV=N2bRT1-bNV·d1VdV=N2bRT1-bNV·-1V2=-N2bRT（V-bN）V（21）

在式（5）中，求E體對V的導數得：

dE體dV=-d∫N2bRT（V-bN）VdVdV=-N2bRT（V-bN）V（22）

可見，式（22）和式（21）相同，則二者的微分均為：

dE體=-N2bRT（V-bN）VdV（23）

可見，式（23）便回歸到式（4），這就說明，前面積分和求導作近似性處理是可以的。

實際上，范氏氣態(tài)方程本身就有近似性，前面積分和求導的近似性，正好對得住范氏氣態(tài)方程本身的近似性。

前面式（11）又可寫為：

E勢VT+P=TPTV-N2bRT（V-bN）V（24）

由式（24）可得考慮體積勢能的范氏氣體定壓熱容為：

CP=CV+E勢VT+PVTP

=CV+TPTV-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+TPTVVTP-N2bRT（V-bN）VVTP（25）

把前面式（13）代入式（25）得：

CP=CV+NRTV+N2bRT（V-bN）VVTP-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+NRTVVTP+N2bRT（V-bN）VVTP-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+NRTVVTP（26）

式（26）便是考慮體積勢能的范氏氣體定壓熱容公式，式中：

VTP=NRNRTV+N2bRT（V-bN）V-2N2a（V-bN）V3（27）

在等壓最大值參量V=2bN，T=a2Rb的情況下，式（27）簡化為：

VTP=NRNRTV=VT（28）

把式（28）代入式（26）得：

CP=CV+NRTV·VT=CV+NR（29）

而N摩爾理想氣體的定壓熱容公式為：

CP理=CV+NR（30）

因為在等壓最大值參量V=2bN，T=a2Rb的情況下，范氏氣體可過渡到理想氣體，所以在這種情況下，范氏氣體的內能U必定等于理想氣體的內能CVT，由式（19）可見，U=CVT，同時范氏氣體的定壓熱容CP也必定等于理想氣體的定壓熱容CP理，由式（29）和式（30）可見，CP=CP理，由此可見，考慮體積勢能的范氏氣體內能公式（6）和式（18）的正確性，與考慮體積勢能的范氏氣體定壓熱容公式（26）的正確性起到了相互驗證的作用。

如果用一般氣體的體積勢能E體隨體積V的變化率E體VT來取代式（11）中的-N2bRT（V-bN）V則式（11）成為：

E勢VT=E體VT+TPTV-P（31）

式（31）叫考慮體積勢能的一般氣體內能方程，如果用一般氣體的E體VT取代式（25）中的-N2bRT（V-bN）V，則式（25）成為：

CP=CV+TPTVVTP+E體VTVTP（32）

式（32）叫考慮體積勢能的一般氣體定壓熱容公式。

結語

本文提出了考慮體積勢能的范氏氣體內能公式的積分式（6），在補充說明中又提出了考慮體積勢能的范氏氣體內能公式的簡化式（18），考慮體積勢能的范氏氣體定壓熱容公式（26），考慮體積勢能的一般氣體定壓熱容公式（32），考慮體積勢能的一般氣體內能方程式（31），這5個公式的提出，是物理學上的一大進步。

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［7］范宏昌.熱學［M］.北京：科學出版社，2003

［8］趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程：熱學［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005.

作者簡介：王子佳（1953—），男，廣西玉林人，工程師，教師，礦井設計師，從事礦井設計及物理研究工作。